Kako računa mala genijalka

Čitam na netu objavu jednog oca čija kćer oduzima brojeve na nestandardni način koji ne razumiju ni otac ni njen učitelj, iako im se čini da njena metoda funkcionira.

https://math.stackexchange.com/questions/2667980/why-does-this-innovative-method-of-subtraction-from-a-third-grader-always-work

Naime , ona npr. 61 – 27 računa tako da posebno oduzme desetice (60 – 20 = 40), a posebno jedinice (7 – 1 = 6) i zatim oduzme jedinice od desetica (40 – 6 = 34).

Naravno, kada računa 67 – 21 onda posebno oduzme desetice (60 – 20 = 40), a posebno jedinice (7 – 1 = 6) i zatim zbroji desetica i jedinice (40 + 6 = 46). To je standardno.

Kako zna kada treba zbrojiti, a kada oduzeti i otkud joj uopće ta ideja?

Standardni račun bez „prenošenja“ izgleda ovako:

67 – 21 = 60 + 7

…..          –20 – 1 =

…..            40 + 6 = 56

 

Standardni račun s „prenošenjem“ izgleda ovako:

61 – 27 = 60 + 1

…..         – 20 – 7 =

…..            50 + 11

…..         – 20 –  7  =

…..            30 +  4  = 34

(Ne možemo oduzeti 1 – 7 pa  “prenosimo 10 iz 60 u jedinice” da možemo oduzeti 11 – 7).

 

Račun male genijalke u prvom je slučaju isti, a u drugom  izgleda ovako:

61 – 27 = 60 + 1

…..         – 20 – 7  =

…..            40 – 6  = 34

 

Neki misle da ona radi s negativnim brojevima (1 – 7 = –6) koje je nekako sama dokučila. Ako jest svaka joj čast.

No stvari su možda jednostavnije. Ona možda računa baš kako svi mi (ili bar većina nas) računa „napamet“:

61 – 27 → (– 20) 41 → (– 1) 40 → (–6) 34

Uočite da prvo oduzimamo desetice (kao i ona) zatim oduzimamo 1 da dođemo do okruglih 40 i konačno oduzimamo preostalih 7 – 1 (opet kao ona).

To je potpuno prirodan postupak.

Mislim da nitko neće (npr.) 1004 – 9 računati na standardni način:

1004 – 9 = 900 + 90 + 14

…..                               –   9  =

…..               900 + 90 +  5   = 995

 

nego će sigurno računati na njen način:

1004 – 9 → (–4) 1000 → (–5) 995.

Kako bilo, pravo je osvježenje makar i na netu susresti dijete koje na satima matematike razmišlja umjesto da samo slijedi naputke i pravila, za koje nažalost većina učenika misli da jesu matematika (a naravno da nisu).

Oglasi

Thompson i viceprvaci

Nedvojbeno je da dio Hrvatske obožava Thompsona i smatra ga simbolom hrvatske slobode i nezavisnosti. Jednako je nedvojbeno da postoji i dio koji ga prezire smatrajući ga simbolom ustašoidne Hrvatske. Većina je bliže ili dalje tim ekstremima, no malo tko je ravnodušan.

Ono o čemu se svi mogu složiti jest da Thompson Hrvatsku dijeli i sukobljava (kako oni koji to žele tako i oni koji to ne žele).

S druge strane hrvatski viceprvaci uspjeli su Hrvatsku ujediniti kao malo što u njenoj kratkoj povijesti. Slavlje je opće i nepodijeljeno, na lijevoj i desnoj, konzervativnoj i liberalnoj, pro Thompsonovoj i anti Thompsonovoj strani.

Zato je Dalićeva i Modrićeva odluka da Thompsona uvedu u to opće i nepodijeljeno slavlje loša, bez obzira kojoj strani oni osobno pripadali.

Mogli su Thompsona uvesti u svoja privatna slavlja, a Hrvatskoj su trebali dopustiti da bar koji dan slavi nepodijeljena uobičajenim sukobima i netrpeljivostima. Pogotovo bih to očekivao od onih čiji se uspjeh dobrim dijelom temeljio na razumijevanju važnosti jedinstva i zajedništva.

A sad finale

Doktrina komparativne prednosti

 

Paul Samuelson se još davne 1969 žalio da “tisuće važnih i inteligentnih ljudi nikako ne uspijevaju shvatiti doktrinu komparativne prednosti, niti u nju vjeruju čak i nakon što im je objašnjena”.

Ta je ekonomska činjenica poznata već 200 godina (objavio ju je Ricardo 1817. u svojim Principles of Political Economy) no ni do danas se stanje o kojem govori Samuelson nije promijenilo.

To je posebno pogubno u doba najave trgovačkih ratova, koje mnogi prizivaju i zato jer vjeruju da bez trgovine mogu bolje nego s njom. U to su čak apsolutno uvjereni ako proizvode koje kupuju mogu proizvesti efikasnije nego oni od kojih ih kupuju. Očito, zar ne? Ne, potpuno netočno!

Krenimo (što je uvijek najbolje) s primjerom.

Pretpostavimo da američki radnik uz svoje kapacitete u zadanom vremenu može proizvesti 100 t soje ili 4 t čelika, a kineski uz svoje kapacitete 30 t soje ili 3 t čelika.

	Amerikanac	Kinez
Soja	100 t	30 t
Čelik	4 t	3 t

Amerikanac je apsolutno produktivniji u obje djelatnosti, pa je očito najbolje da sam proizvodi i soju i čelik. Možda to djeluje očito ali je potpuno netočno.

Pretpostavimo da Amerikanac 75% svojih kapaciteta troši na soju i 25% na čelik, dok Kinez 50% troši na soju i 50% na čelik. Njihova će proizvodnja tada biti sljedeća:

	Amerikanac	Kinez
Soja	(75%)        75 t	(50%)        15 t
Čelik	(25%)          1 t	(50%)        1.5 t

Ako bi se Amerikanac potpuno posvetio soji, a Kinez čeliku imali bi sljedeću situaciju:

	Amerikanac	Kinez
Soja	(100%)        100 t	(0%)           0 t
Čelik	(0%)               0 t	(100%)       3 t

Razmjenom 20 t američke soje za 1.2 t kineskog čelika došli bi do sljedećeg konačnog rezultata:

	Amerikanac	Kinez
Soja	80 t	20 t
Čelik	1.2 t	1.8 t

On je očito povoljniji od onoga do kojeg dolaze samo vlastitom proizvodnjom bez razmjene (80 > 75, 20 > 15, 1.2 > 1 i 1.8 > 1.5).

Zašto je tomu tako i je li to samo karakteristika posebno odabranih američkih (75%, 25%) i kineskih (50%, 50%) udjela u samo vlastitoj proizvodnji soje i čelika?

Da bismo odgovorili na to pitanje uočimo najprije da za Amerikanca 100 t soje vrijedi 4 t čelika, ili skraćeno:

100S = 4Č          25S = 1Č          1S = (1/25)Č

dok za Kineza 30 t soje vrijedi 3 t čelika, ili skraćeno:

30S = 3Č          10S = 1Č          1S = (1/10)Č.

Komparativno gledano čelik je jeftiniji Kinezu (njemu 1 t čelika vrijedi 10 t soje, a Amerikancu 25 t), dok je soja jeftinija Amerikancu (njemu 1 t soje vrijedi 1/25 t čelika, a Kinezu 1/10 t).

Doktrina komparativne prednosti zapravo upozorava na ekonomsku činjenicu da je uvijek bolje da svatko proizvodi samo ono što mu je komparativno jeftinije, tj. samo ono u čemu je komparativno bolji (čak i ako je u svemu apsolutno bolji).

Da je to zaista uvijek tako (a ne samo u našem primjeru) možemo za matematički malo pismenije čitatelje dokazati na sljedeći način.

Neka su a i 1-a američki postotci angažmana na soji i čeliku (u našem primjeru a = 0.75 = 75%  i  1-a = 0.25 = 25%), a k i 1-k analogni kineski angažmani (u našem primjeru k = 0.5 = 50%  i  1-k = 0.5 = 50%). Tada će Amerikanac i Kinez proizvesti:

100Sa + 4Č(1-a)           odnosno           30Sk + 3Č(1-k).

Za svaki relativni odnos vrijednosti soje i čelika koji je između američkog 25S = 1Č i kineskog 10S = 1Č (a samo su te međuvrijednosti prihvatljive za američko kinesku trgovinu) lako je dokazati da je a = 1 američki optimum, ta da je  k = 0 kineski optimum (što znači da je optimalno da Amerikanac proizvodi samo soju, a Kinez samo čelik).

Naime, za mS = 1Č, gdje je 10 < m < 25 imamo

100Sa + 4Č(1-a) = 100Sa + 4(mS)(1-a) = (100 – 4m)Sa + 4mS = 4(25 – m)Sa + 4mS

i taj je iznos najveći kada je a najveći, jer je 25 – m > 0. No, to znači da je a = 1 optimalno, tj. optimalno je da Amerikanac proizvodi samo soju.

Slično nalazimo

30Sk + 3Č(1-k) = 30Sk + 3(mS)(1-k) = (30 – 3m)Sk + 3mS = 3(10 – m)Sk + 3mS

i taj je iznos najveći kada je k najmanji, jer je 10 – m < 0. No, to znači da je k = 0 optimalno, tj. optimalno je da Kinez proizvodi samo čelik.

Marx u Economistu

Povodom 200 godina rođenja:

Hrvatski izborni sustav i deve

Vjerojatno ste čuli za starca koji je trojici sinova ostavio 17 deva. Oporukom je odredio da najstariji sin dobije 1/2 deva, srednji 1/3 i najmlađi 1/9 deva. Naravno, 17 deva nije moguće podijeliti na 2, 3 i 9 dijelova (osim kao meso mrtvih deva) pa sinovima nije bilo sasvim jasno kako ispuniti očevu želju (a ne nauditi svojim devama).

Srećom, naišao je mudrac koji im je dao jednu svoju devu, pa su sada 18 deva lako podijelili na 2, 3 i 9 dijelova. Najstariji je dobio 9 deva, srednji 6 i najmlađi 2 deve. Tako su dobili ukupno 17 deva, a mudrac je uzeo svoju 18-tu i otišao svojim putem.

Priča je zanimljiva jer se zastupnička mjesta u mnogim parlamentima (pa tako i u hrvatskom) dijele kao deve.

Zamislite parlament sa 17 zastupničkih mjesta u koji ulaze zastupnici triju stranaka s 1/2, 1/3 i 1/9 dobivenih glasova. Zastupnička mjesta (kao ni deve) nisu dijeljiva tj. stranke ne mogu dobiti 17/2 = 8.5, 17/3 = 5.66 i 17/9 = 1.88 zastupničkih mjesta. U ovom slučaju očito je rješenje da se brojevi zaokruže na 9, 6 i 2 (kako smo mi manje mudri mogli učiniti i s devama).

Nažalost, takvo zaokruživanje može dovesti do ukupnog broja podijeljenih mjesta koji je veći ili manji od raspoloživog broja mjesta. Na primjer, da parlament ima 19 mjesta stranke bi dobile 19/2 = 9.5, 19/3 = 6.34 i 19/9 = 2.12 „mjesta“ što bi zaokruživanjem dalo 9, 6 i 2 mjesta, a to je ukupno 17 a ne 19.

Zato se za podjelu mjesta koriste složenije metode zaokruživanja, a jedna od njih je i D’Hondtova metoda (u Americi poznata kao Jeffersonova) koja se koristi u Hrvatskoj. Ta je metoda slična metodi našega mudraca.

Ona ima tri koraka:

I.  Proporcionalno izbornom uspjehu odrede se (necjelobrojni) brojevi „mjesta“ koji pripadaju svakoj stranci (npr. u našem slučaju to je 9.5 „mjesta“, 6.34 „mjesta“ i 2.12 „mjesta“).

II.  Ti se brojevi zaokruže na dole (npr. u našem slučaju na 9 mjesta, 6 mjesta i 2 mjesta –  što je ukupno manje od 19 raspoloživih mjesta).

III.  Ako smo tako rasporedili manji (odnosno veći) broj od raspoloživog broja mjesta onda broj raspoloživih mjesta povećamo (odnosno smanjimo)  i postupak ponovimo (npr. sa 20 raspoloživih mjesta dobili bismo 10, 6.67 i 2.23 „mjesta“, tj. 10, 6 i 2 mjesta što je još uvijek premalo; sa 21 raspoloživim mjestom dobili bismo 10.5, 7 i 2.34 „mjesta“, tj. 10, 7 i 2 mjesta što je točno 19 i to je konačna D’Hondtova podjela).

Druge metode istoga tipa ralikuju se po tome kako zaokružuju u 2. koraku. Na primjer, Adamsova metoda zaokružuje na gore, Websterova na uobičajeni način, a ima i drugih zaokruživanja. Ima i metoda koje nisu ovoga „deva“ tipa.

Naravno, svaka metoda ima svojih prednosti i svojih mana ali nijedna nije idealna. To se može i matematički dokazati.

Naime, Balinski i Young su 1982. dokazali da nema metode koja bi uvijek bila unutar kvote (tj. ako je broj „mjesta“ 8.47 onda broj mjesta mora biti 8 ili 9) i koja ima svojstvo monotonosti (tj. ako jedna stranka naraste više od druge, po broju glasova, onda se broj njenih mjesta u odnosu na drugu ne smije smanjiti).

Točnije, dokazali su da su monotone metode uvijek „deva“ tipa, a izborna je povijest već odavno pokazala da sve one mogu izići iz kvote.

Stvari ipak nisu beznadne. Neke „deva“ metode su uvijek monotone i gotovo nikada ne izlaze iz kvote, npr. Websterova metoda. Zašto onda ne koristimo nju umjesto D’Hondtove metode?

Zato što  D’Hondtova metoda češće zaokružuje u korist velikih stranaka , a na štetu malih, što je garant političke stabilnosti. Naravno, to je politički a ne matematički argument.

Humans of FSB

Kratki intervju na “humans of fsb”