Jesu li aksiomi sigurne istine?

Razumijevanje aksioma kao izvjesnih i nedvojbeno sigurnih istina gotovo je univerzalno. Lako ga možemo dovesti u pitanje ako se upitamo zašto su grčki matematičari aksiomatizirali geometriju, ali ne i aritmetiku, iako njeni aksiomi nisu manje sigurni od aksioma geometrije.

Usporedite Euklidove aksiome geometrije koji su stari više od dva tisućljeća:

1. Neka se postulira da se od svake točke do svake točke može povući dužina.

2. I da se ograničena dužina može neprekinuto produžiti.

3. I da se svakim središtem i udaljenošću može opisati krug.

4. I da su svi pravi kutovi međusobno jednaki.

5. I ako dužina koja siječe dvije dužine čini unutarnje kutove s iste strane manjima od          dva prava kuta, te se dvije dužine (neograničeno produžene) sastaju s te strane (na            kojoj se kutovi manji od dva prava kuta).

I Peanove aksiome aritmetike koji su stari manje od dva stoljeća:

1. 1 je prirodan broj.

2. Svaki prirodni broj n ima točno jednog sljedbenika n + 1.

3. Broj 1 nije sljedbenik ni jednog prirodnog broja.

4. Ako su sljedbenici dva prirodna broja jednaki onda su i oni jednaki.

5. Ako skup sadrži broj 1 i sljedbenika svakog svog elementa onda on sadrži sve                      prirodne  brojeve.

Aritmetika je aksiomatizirana dva tisućljeća poslije geometrije, tek kada su je logicisti Frege i Dedekind počeli držati relativno neizvjesnom spram neupitno izvjesne logike. Slični su motivi vodili i starogrčke matematičare.

Dokaz nesumjerljivosti dijagonale i stranice kvadrata uzdrmao je izvjesnost geometrije. (U dokazu važnu ulogu igra beskonačni niz sve manjih kvadrata koji se ne da predstaviti nikakvim dijagramom; o tome više u sljedećem postu) . Matematika, kao izvjesna spoznaja, i tu će se više osloniti na sigurno spoznatljive elemente i pokušat će upitnije geometrijske uvide svesti na minimum. Zato će pokušati naći ograničeni broja elementarnih geometrijskih činjenica iz kojih logički slijede sve ostale.

Te osnovne geometrijske činjenice geometrijski su aksiomi, a cijeli ovaj postupak logičkog strukturiranja geometrije, koji je karakterističan za grčku matematiku, naziva se aksiomatizacijom. Dakle, aksiomatizacija matematike od samih grčkih početaka pokušaj je utemeljenja matematike kao izvjesne spoznaje redukcijom njezinih neizvjesnih elemenata na minimum koji čine aksiomi.

Upitna izvjesnost mnoštva matematičkih teorema aksiomatizacijom se svodi na pitanje o izvjesnosti ograničenog broja aksioma. Zato je aksiomatizacija važan korak prema odgovoru na pitanje o izvjesnosti, ali korak koji se čini samo tamo gdje postoji neivjesnost.

Ukratko, aksiomi su signal nesigurnosti, a ne sigurne istinitosti onoga što se aksiomatizira.

P.S.

Naravno, podrijetlo aksiomatizacije ne iscrpljuje sve njezine mogućnosti i ciljeve. Aksiomatska metoda, kada je jednom nastala, pokazala se prikladnim sredstvom za ispitivanje logičkih odnosa unutar bilo kojeg sustava znanja, bilo varljivoga bilo izvjesnoga. Zato će, katkada, njezina primjena ovisiti više o tehničkom razvoju same metode nego o zahtjevima predmeta na koji se ona primjenjuje.

Oglasi

Statistika u kaznenom postupku

1. scenarij:

Taksi je prouzročio nesreću i pobjegao. To je nedvojbeno. Poginula je jedna osoba. Za taksijem se traga. Svjedok nesreće tvrdi da je to bio žuti taksi kakve ima kompanija Gradski taksi. Nesreća se zbila noću, na osvjetljenom mjestu i svjedok nema problema s vidom. Iz prakse se zna da su takva svjedočenja pouzdana u 70% slučajeva pa istražni sudac svjedočenje prihvaća kao važnu indiciju.

2. scenarij:

Taksi je prouzročio nesreću i pobjegao. To je nedvojbeno. Poginula je jedna osoba. Za taksijem se traga. U gradu postoje dvije vrste taksija, Gradski taksi koji ima 75% taksija u gradu i Novi taksi koji ih ima samo 25%. Istražni sudac to ne prihvaća kao indiciju da je nesreću prouzročio vozač Gradskog taksija.

Gledano statistički istražni bi sudac u 2. scenariju imao više razloga za sumnjičenje Gradskog taksija nego u 1. scenariju; 75% naspram 70%. No, njegovo je uvjerenje da statistika u 2. scenariju nije dovoljan razlog za pouzdanu sumnju dok svjedočenje konkretne osobe jest.

To je intuicija većine ljudi. Iako, kao većina, i ja imam tu intuiciju ne razumijem zašto. Razumijete li vi?

Rješenje zagonetke

 

 

Dakle, Hrvatska je rekorder po udjelu prekarnog rada u populaciji od 15-64 godine.

Za one koji ne znaju što je prekarni rad, to je onaj rad kojeg “karakteriziraju nesigurnost, povremenost i privremenost te niska ili nikakva radna prava i zaštita” (wiki.hr).

Detaljnije se možete obavijestiti u članku:

http://ideje.hr/hrvatska-europski-sampion-prekarnog-rada-nesigurnog-ponizavajuceg-i-rada-na-odredeno-vrijeme/

(iz kojega sam i preuzeo ovaj eurostatov graf), kao i u članku:

http://ideje.hr/hrvatski-intelektualac-na-prekarnom-radu-u-njemackoj-statistika-i-osobno-iskustvo/

Prvomajska zagonetka

Povodom skorašnjeg praznika rada evo jedne male zagonetke čije ću rješenje objaviti 1. maja:

Koja je veličina prikazana na donjem grafu (u odnosu na koju je Hrvatska najjača zemlja EU)?

P.S.

Potaknut pohvalama koji su mi neki čitatelji poslali ovih dana u povodu teksta o 1. maju, koji sam objavio prošle godine, ponavljam ga u cjelosti pod istim motom Upton Sinclaira:

“It is difficult to get a man to understand something, when his salary depends upon his not understanding it.”

ZAŠTO SLAVIMO 1. MAJ

Pred 150 godina 8-satni radni dan bio je tek radnički san; 12-16 sati rada u teškim i nesigurnim uvjetima bila je radnička stvarnost (smrt i ranjavanje bili su redovna pojava na mnogim radnim mjestima).

Agitiranje za kraći radni dan počelo je 1860-tih, no tek je 1880-tih radništvo postalo dovoljno organizirano da FOTLU (Federation of Organized Trades and Labor Unions) na svojoj nacionalnoj konvenciji u Chicagu 1884. proglasi „8-satni radni dan od 1. maja 1886.“  i objavi „da će ga poduprijeti demonstracijama i štrajkovima“.

I tako je 1. maja 1886. više od 300 000 radnika širom SAD-a prekinulo rad i proslavilo prvi May Day u povijesti. U Čikagu je 40 000 krenulo u povorku koja je putem narasla na 100 000 radnika koji su prekinuli rad. Sve je završilo mirno, bez nasilja koje su predviđale novine i vlast.

Do prvog nasilja došlo je 3. maja 1886. u sukobu između policije i štrajkača (s pridruženim anarhistima) koji su priječili ulaz štrajkolomcima u McCormickovu tvornicu. Policija je batinama krenula u razbijanje štrajkaške linije (picket line), štrajkači su uzvratili kamenjem, a policija oružanom vatrom. Dva su štrajkača ubijena i nepoznat broj je ranjen.

Puni gnjeva zbog policijske brutalnosti anarhisti su za sljedeći dan sazvali protestni skup na Haymarket Square-u. Skupilo se svega 3000 ljudi (vjerojatno zbog lošeg vremena i kratkoga roka), među njima i gradonačelnik Čikaga.

Tijekom govora poznatog novinskog izdavaća i anarhiste Augusta Spiesa detektivi su upozorili policiju da bi taj govor mogao dovesti do nasilja (iako je gradonačelnik kasnije izjavio da u govoru nije bilo ničega što bi uputilo na takav razvoj događaja), te da trebaju rastjerati prisutne. Policajci su krenuli u rastjerivanje i tada je netko na njih bacio bombu.

Razbješnjeli policajci poćeli su pucati u masu. Ubili su osam civila i sedam policajaca, te ranili četrdeset civila. Jednog policajca ubila je bomba.

Nikada nije utvrđeno tko je bacio bombu (spekulacije su u rasponu od anarhista do policijskih provokatora).

Uhićeno je osam anarhista, među njima i August Spies, i svi su osuđeni na smrt (samo su tri bila na Haymarketu i to na govornici s koje bomba sigurno nije baćena). Cijeli je svijet gledao kako se osam organizatora skupa osuđuje na smrt zbog njihovih političkih uvjerenja, a ne zbog stvarnih djela. Šest godina kasnije guverner Altgeld pomilovao je trojicu još nesmaknutih, a samo suđenje je nazvao „travestijom pravde“.

Danas je 1. maj praznik rada u 66 zemalja, a slavi se i u mnogim drugim zemljama, iako veoma rijetko u SAD gdje je rođen i gdje je vlast 1. maj proglasila „danom reda i zakona“.

Na Haymarketu ipak stoji spomenik s natpisom:

THE DAY WILL COME WHEN OUR SILENCE WILL BE MORE POWERFUL THAN THE VOICES YOU ARE THROTTLING TODAY.

(Doći će dan kada će naša šutnja biti snažnija od glasova koje danas gušite.)

Danas kada se sjećamo da su ljudi ubijani kako bismo mi imali 8-satni radni dan,  da su domovi s obiteljima spaljivani da bismo mi imali neradnu subotu, da su prosvjednici protiv dječjega rada brutalno premlaćivani, važno je sjetiti se da naš današnji položaj ne uzimamo „zdravo za gotovo“. Ljudi su se borili za dostojanstvo i prava koja mi danas uživamo i još je mnogo toga što trebamo izboriti. Te žrtve ne smijemo zaboraviti i zato slavimo 1. maj.

Škola za život

Indonezijski potres koji se zbio 26.12. 2004. izazvao je golemi cunami. On je zahvatio obalni pojas Indijskog oceana i ubio 280.000 ljudi. Među žrtvama bili su i mnogi na plažama Puketa u Tajlandu. Na jednoj puketskoj plaži začudo nije stradao nitko.

Za to je zaslužna Tilly Smith, desetogodišnja Engleskinja koja se s roditeljima kupala na toj plaži. Kada se neočekivano pojavila plima i počela lagano dizati i spuštati uokolo usidrene čamce Tilly je majci zabrinuto rekla, „Majčice, moramo otići s ove plaže. Mislim da dolazi cunami.“

Roditelji su njeno upozorenje shvatili veoma ozbiljno, upozorivši ostale kupače i hotelsko osoblje pa je plaža uskoro bila prazna. Cunami je uistinu došao i nitko nije stradao.

Kako je mala Tilly znala da stiže cunami i zašto su joj vjerovali?

Neposredno prije godišnjeg odmora na Tajlandu Tilly je na satu zemljopisa u svojoj školi gledala video o cunamiju na Havajima. Učiteljica je posebno upozorila na znakove koji predskazuju cunami i na koje je film jasno ukazao: neočekivana plima koja lagano diže i spušta usidrene čamce. Roditelji su s punim povjerenjem prihvatili u školi stečeno znanje svoje kćeri.

Bila je to doslovce škola za život.

Je li znanost pašnjak?

Kongres SAD umjetnost financira sa 170 milijuna dolara godišnje (preko National Endowment for the Arts), humanistička područja sa 150 milijuna dolara godišnje (preko National Endowment for the Humanities), a temeljnu znanost (preko raznih agencija) s 37 000 milijuna dolara godišnje. Nije teško dokučiti da je razlog ove ogromne razlike veza znanosti i ekonomskog rasta (znanstvena otkrića vode do novih tehnologija, koje vode do novih proizvoda i novih poslova).

Taj je rast u zadnjih 150 godina eksponencijalan. Na primjer, BDP per capita u SAD raste u zadnjih 140 godina ovako:

Naravno, veza znanosti i ekonomskoga rasta nije jednostavna (nekima je i upitna) ali je sigurno da ekonomski uspješnije zemlje veći postotak BDP-a ulažu u znanstvena istraživanja. Industrijski najjače zemlje u zadnjih 50 godina ulažu oko 3% dok one manje uspješne (u koje spada i Hrvatska) ulažu bitno manje.

Ipak, reći će skeptici, korelacija nije siguran znak uzročne veze. Jesu li bogati bogatiji zato što više ulažu u znanost ili više ulažu u znanost zato što su bogati? Ili možda postoji treći faktor koji uzrokuje i veća ulaganja i veće bogatstvo?

Tim su se pitanjima u zadnjih 50 godina bavili mnogi ekonomisti i došli su do prilično jasnih odgovora (Robert Solow je za svoj odgovor dobio Nobelovu nagradu).

Najprije podsjetimo da se svaki eksponencijalni rast temelji na pozitivnoj povratnoj sprezi: rast neke veličine potiče sama ta veličina, tj. produkcija neke veličine potiče još veću produkciju te iste veličine (za one koji znaju nešto matematike, eksponencijalne funkcije rješenja su diferencijalnih jednadžbi oblika y’ = cy).

To znači da eksponencijalni ekonomski rast mora uključivati produkciju nečega što je i samo faktor te produkcije.

Klasični su faktori produkcije, izučavani još od Smitha i Ricarda, prirodni izvori, ljudski rad i kapital. Prirodni izvori ne mogu ostvariti pozitivnu povratnu spregu (oni se ne umnažaju potaknuti time koliko ih ima). Rast populacije jest potaknut samom populacijom pa ekonomija raste s porastom stanovništva, ali to ne dovodi do rasta ekonomije per capita. Dakle samo kapital može ostvariti pozitivnu povratnu spregu koja vodi eksponencijalnom rastu ekonomije per capita.

Međutim, daljnja detaljnija istraživanja o tome koliko rasta nosi kapital uspješno su objasnila tek oko 50% postojećega rasta. Neobjašnjeni dio rasta, poznat kao Solowljev rezidual, uspješno je objašnjen tek novim faktorom produkcije: tehnološkim napretkom. Njega ne možemo smatrati kapitalom (iako je vezan s intelektualnim kapitalom) jer tehnološka razina neke ekonomije nema titulara (nije ničije vlasništvo), ali nedvojbeno ostvaruje pozitivnu povratnu spregu (tehnologija producira novu tehnologiju).

Potaknuti ovim uvidom mnogi su se ekonomisti bavili procjenom povrata na investicije u temeljnu znanost koja je glavni pokretač tehnološkog napretka. Pokazalo se da te investicije imaju ogromni povrat od 20% do čak 60%.

Zašto onda ne vidimo bitno veća ulaganja u temeljnu znanost kada je ona toliko isplativa? Problem za investitore jest taj da je povrat velik ali nije lako prisvojiv (appropriable). Iako se znanost destilira u tehnologiju (koja pak pokreće rast) to se nužno ne dešava u istom laboratoriju, ili čak u istoj zemlji, u kojoj je stvorena odgovarajuća znanost. Nagrada je velika ali investitor nije siguran da će biti njegova.

Ukratko, znanost je javno dobro u koje privatni sektor (zbog vlastitog ekonomskog interesa) najčešće ne investira, pa su za ostvarenje njenog punog potencijala nužne javne (tj. državne) investicije. Otuda 37 000 milijuna dolara SAD investicija u temeljnu znanost. Naravno, to je i razlog zašto u R&D (research & development) država uglavnom financira R, a biznis D.

Ipak, trendovi se mijenjaju. U doba uzleta američkog svemirskog programa 2/3 investicija u R&D bile su državne, a 1/3 je bila industrijska. Danas je 1/3 državna, a 2/3 su industrijske. Stvari se očito miču od R prema D, a jasno je i zašto.

Poslije Drugog svjetskog rata SAD su ostvarivale 50% svjetskog BDP-a. To je osiguravalo da je najmanje 50% povrata od investicija u R&D prisvojivo. tj. da ostaje u SAD. Taj je postotak sigurno bio i bitno veći budući da Europa i Japan u to vrijeme nisu imali potrebnih kapaciteta za apsorpciju rezultata američke temeljne znanosti.

Danas imaju i oni i mnogi drugi, a apsorpcija se zbiva brzinom interneta. To dovodi u pitanje ekonomsku isplativost investiranja u temeljnu znanost. Zato nije čudno da njeno financiranje u SAD stagnira (na 37 000 milijuna dolara) već 15 godina. Budući da to iz istih razloga slijede i druge zemlje, glavni faktor eksponencijalnog ekonomskog rasta mogao bi polako nestati.

Mogli bismo uskoro živjeti u svijetu u kojem svaka zemlja pokušava iskoristiti temeljnu znanost koju financiraju drugi, a da je sama nije spremna financirati. Takve se situacije zovu „tragedijama javnoga dobra“ (one su primjeri zatvorenikove dileme s više od dva igrača). Klasični je primjer zajednički pašnjak koji svi koriste, ali u čije održavanje nitko ne investira. Kada konačno propadne svi su na gubitku.

Prijeti li znanosti da postane takav pašnjak?

 

Albert Einstein (2)

Nakon 10 godina intenzivnoga rada (od 1905. do 1915.) Einstein konačno uspijeva svoju specijalnu teoriju relativnosti proširiti s jednolikih na ubrzana gibanja i uskladiti je s fenomenom gravitacije. Konačni rezultat je opća teorija relativnosti koja princip relativnosti (zahtjev da zakoni fizike imaju isti oblik u svim referentnim sustavima) proširuje na sustave koji se jedni u odnosu na druge gibaju bilo kako (a ne samo jednoliko kao u specijalnoj teoriji).

Sustav u kojem djeluje gravitacijska sila fizički je ekvivalentan sustavu koji je jednoliko ubrzan (ako padate prema Zemlji s ubrzanjem od 9.81 m/s² to može biti djelovanje Zemljine gravitacije ali može biti i Zemljino ubrzanje istoga iznosa). Ta fizička ekvivalentnost dokida pojam apsolutnoga ubrzanja referentnoga sustava (kao što je specijalna teorija dokinula pojam apsolutne brzine referentnoga sustava) i trivijalno objašnjava zašto sva tijela u gravitacijskom polju padaju jednako (npr. Galilejeve kugle bačene s tornja u Pisi).

Teorija gravitacije u Einsteinovoj općoj teoriji relativnosti tako postaje geometrijskom teorijom prostora i vremena, koju će Einstein smatrati svojim najvećim znanstvenim otkrićem. Objavio ju je u studenom 1915.

Einstein je bio uvjeren u korektnost svoje teorije zbog „njene matematičke ljepote“ i zbog njenog predviđanja do tada neobjašnjive precesije orbite Merkura. Teorija je predviđala i savijanje zrake zvjezdane svjetlosti oko Sunca, koju je Eddington potvrdio tijekom pomrčine Sunca 29. 5. 1919.

Pred Prvi svjetski rat Einstein je bio jedan od ukupno četiri njemačka intelektualca koji su potpisali manifest protiv njemačkog ulaska u rat. Zgrožen ratnim strastima nacionalizam je proglasio „kugom čovječanstva“ i zaključio da „u ovakvim vremenima čovjek shvati kakvoj jadnoj vrsti životinja pripada“.

Kada su radikalni studenti u studenom 1918. zauzeli Berlinsko sveučilište, uzevši rektora za taoca, postojala je bojazan da bi policijska intervencija mogla završiti krvoprolićem. Einstein i Max Born, obojica poštovani od studenata i profesora, mirno su razriješili tu potencijalno katastrofičnu situaciju.

U međuvremenu Einsteinov se brak raspadao u stalnim svađama oko djece i financija. Povrh svega, ušao je u vezu sa svojom sestričnom Elsom Löwenthal (prvom s majčine i drugom s očeve strane) kojom se kasnije i oženio. Rastao se 1919. uz dogovor da će novac od Nobelove nagrade, ako je ikada dobije, dati Milevi.

Da ju je dobio saznao je u Japanu 1921. (gdje se zatekao na svojoj prvoj svjetskoj turneji) i to za rad o fotoelektričnom efektu, a ne za teoriju relativnosti. Utjecaj teorije relativnosti na boljitak čovječanstva (što je ključni uvjet za dobivanje Nobelove nagrade) vjerojatno još nije prepoznat 1921. Mileva je dobila novce.

Einsteinova teorija relativnosti pokrenula je i modernu kozmologiju. Njegove jednadžbe predviđaju da svemir nije stacionaran, on se širi ili se suzuje. To je bilo u suprotnosti s tada prevladavajućom hipotezom stacionarnosti pa je Einstein ad hoc uveo kozmološku konstantu koja njegov model čini stacionarnim. Kada je Hubble 1929. empirijski utvrdio da se svemir ipak širi Einstein je kozmološku konstantu proglasio “svojim najvećim promašajem”. No, u današnjoj kozmologiji kozmološka konstanta opet ima važnu ulogu u objašnjenju tamne materije i energije (koje čine 85% ukupne materije i 25% ukupne energije). Čini se da je Einsteinov “najveći promašaj” presudan za sudbinu svemira.

Einsteinova uspješnost i slava bili su trn u oku nacistima. Teoriju relativnosti proglasili su židovskom fizikom i promovirali konferencije i knjige koje su je opovrgavale. U Hundert Autoren gegen Einstein koja je izdana 1931. sudjelovali su čak i nobelovci Philipp Lenard i Johannes Stark. Einsteinov komentar bio je da za opovrgavanje njegove teorije nije potrebno sto znanstvenika nego samo jedna činjenica.

Krajem 1932. Einstein je napustio Njemačku u koju se više nikada neće vratiti. Na naslovnici jednog njemačkog magazine objavljena je njegova fotografija uz naslov “Još nije obješen”.

Preduhitrio je Prusku akademiju u tome da ga izbaci tako da je sam istupio. Akademija je pokrenuti proces izbacivanja ipak završila pozdravljanjem njegova istupanja. U tome je sudjelovao čak i Max Planck izjavivši da je “Einstein svojim političkim ponašanjem /tj. osudom nacizma/ daljnje članstvo u Akademiji učinio nemogućim”.

U lipnju 1939. Einstein je američkom predsjedniku Rooseveltu predložio stvaranje atomske bombe kako bi se preduhitrila njemačka nastojanja u tom smjeru. Roosevelt je odgovorio da je osnovao Uranium Committee koji će istražiti to pitanje. Ostalo je povijest. Sam Einstein nije pozvan da sudjeluje u Manhattan Projectu zbog dugogodišnje povezanosti s pacifističkim i socijalističkim organizacijama.

David Ben-Gurion, izraelski premijer, ponudio je Einsteinu 1952. mjesto prvog izraelskog predsjednika, što je on odbio. Nastavio je svoja istraživanja u okviru teorije relativnosti, baveći se crvotočinama, crnim rupama, stvaranjem svemira itd. Ipak, odalečio se od fizikalne zajednice koja se poglavito okrenula kvantnoj teoriji, za koju on jest dobio Nobelovu nagradu ali nikada nije prihvatio njen nedeterminizam. Često je ponavljao „ Bog se ne kocka sa svemirom“ misleći pritom da u temelju svemira ne može biti puki slučaj.

Mnogi tu rečenicu vide kao dokaz Einsteinove vjere, no Bog o kojem se tu govori naprosto je priroda s njenim zakonima (u Spinozinom smislu). Uostalom, sam je to objasnio u pismu koje je na dražbi u Christieu pred dva mjeseca prodano za 3 milijuna dolara: „Riječ Bog za mene nije drugo do izraz i produkt ljudske slabosti, Biblija zbirka vrijednih ali ipak primitivnih legendi i nema te interpretacije, bez obzira koliko suptilne, koja to za mene može promijeniti“.

Umro je u Princetonu 18. 4. 1955. u 77 godini. Ostao je znanstvena i intelektualna ikona, po kojoj je nazvana mjerna jedinica koja se koristi u fotokemiji, kemijski element s rednim brojem 99 i jedan asteroid.