Ako neku glasinu prenesete samo jednoj osobi te ako je ta osoba sljedeći dan prenese jednoj novoj osobi, itd. trač se neće proširiti daleko. Nakon 30 dana proširit će se na 30 osoba.
Ako svaka osoba glasinu prenese na dvije nove osobe, tada će nakon 30 dana glasina doprijeti do više od milijardu ljudi; 230 = 1.073.741.824. Kako takva naizgled mala promjena – prenošenje na dvije osobe umjesto na samo jednu – može napraviti tako veliku razliku?
Radi se o razlici između linearnog i eksponencijalnoga rasta. Linearni rast je spor i stabilan, sa stalno istim prirastima. U našem slučaju 1 osoba dnevno. S druge strane, eksponencijalni rast karakteriziraju prirasti koji se multipliciraju: 2 nove osobe 1. dan, 4 nove osobe 2. dan, 8 osoba 3. dan, 16 osoba 4. dan itd. Za razliku od linearnog rasta, eksponencijalni rast se ubrzava – brzina rasta i sama raste. To dovodi do razlike između 30 osoba (na grafu žuto) i milijarde osoba (na grafu plavo) koje su čule glasinu nakon 30 dana.
Infekcije se šire poput glasina. Netko ih pokupi i proslijedi nekom drugom. Postoje razlike, ali isti matematički model koristan je u obje situacije. U našem jednostavnom primjeru vidjeli smo kako naizgled mala razlika u brzini prijenosa glasine stvara veliku razliku u tome koliko ju je ljudi u konačnici čulo. Isto vrijedi za zarazne bolesti. Razlika između prenošenja infekcije na jednu osobu i prenošenja na dvije osobe razlika je između izoliranih slučajeva i epidemije.
Infekcije se šire brzinom koja ovisi o mnogim biološkim i socijalnim faktorima. Epidemiolozi pokušavaju sažeti utjecaj svih tih faktora u “osnovni reprodukcijski broj” infekcije, koji označavaju s R0. To je prosječni broj novih infekcija koji u svojem zaraznom razdoblju prouzroči zaražena osoba. U kontekstu našeg primjera prenošenja glasina, osnovni reprodukcijski brojevi bili su R0 = 1 (svaka osoba prenosi glasinu na 1 novu osobu) i R0 = 2 (svaka osoba prenosi glasinu na 2 nove osobe), a „zarazno razdoblje“ bilo je jedan dan.
Evo osnovnih reprodukcijskih brojeva nekih poznatih infekcija.
Bolest
R0
Ospice
12-18
Vodene kozice
5-7
Zaušnjaci
4-7
COVID19
2-3 (?)
Uočite da su svi reprodukcijski brojevi veći od 1. To je jedan od razloga zašto su te bolesti opasne. Budući da će svaka zaražena osoba zaraziti više od jedne osobe, broj zaraženih će eksponencijalno rasti, što može biti pogubno. Zato je ključno pitanje možemo li R0 svesti na 1.
Razmislimo o tome što nam govori osnovni reprodukcijski broj. Na primjer, R0 = 2 znači da će zaražena osoba (u prosjeku) zaraziti 2 nove osobe. Ako se zaražena osoba u razdoblju zaraze susretne s 10 ljudi, svi kontaktirani imaju šanse biti zaraženi, ali činjenica da je R0 = 2 znači da će se (u prosjeku) zaraziti 2 od ovih 10 osoba. Dakle, svaka od tih 10 osoba ima 2/10, ili 20 %, šanse da se zarazi.
Pretpostavimo sada da su 4 od tih 10 osoba cijepljene pa se ne mogu zaraziti. No, svaka od preostalih 6 osoba još uvijek ima 20 % šanse da se zarazi. To znači da će u prosjeku biti zaraženo 20 % od tih 6 osoba, što je (u prosjeku) 1,2 osobe.
Dakle, ako su 4 od 10 osoba cijepljene, tada će jedna zaražena osoba (u prosjeku) zaraziti samo 1,2 osobe. Cijepljenjem je osnovni reprodukcijski broj ove bolesti smanjen s R0 = 2 na R0 = 1,2.
Možemo li osnovni reprodukcijski broj svesti na 1 kako bismo izbjegli eksponencijalni rast?
Opet pretpostavimo da naša zaražena osoba dolazi u kontakt s 10 osoba tijekom zaraznog razdoblja i da svaka necijepljena osoba ima 20 % šanse da se zarazi. Pretpostavimo da je C od tih 10 osoba cijepljeno. Tada će se zaraziti 20 % od 10 – C necijepljenih osoba ili 0,2 × (10 – C). Da bi rast bio linearan, a ne eksponencijalan, prosječan broj novih infekcija mora biti 1. Dakle, moramo riješiti jednadžbu:
0,2 × (10 – C) = 1.
Rješenje je C = 5. Dakle, cijepljenjem 5 od 10 osoba, tj. 50% osoba, R0 smo reducirali na 1.
Taj se postupak može generalizirati za bilo koji R0. Ako pretpostavimo da svaka zaražena osoba kontaktira N novih osoba u zaraznom razdoblju, tada možemo očekivati da će u prosjeku R0/N tih osoba biti zaraženo. Ali ako je C broj cijepljenih među N kontaktiranih, onda (R0/N) (N – C) predstavlja broj novo zaraženih. Želimo da on bude 1 pa imamo jednadžbu
(R0/N) (N – C) = 1
iz koje odmah slijedi
C/N = 1 – 1/R0.
Dakle, ako procijepimo 1 – 1/R0 populacije svaka će zaražena osoba zaraziti samo 1 novu osobu, tj. 1 – 1/R0 čarobni je postotak koji rezultira linearnim, a ne eksponencijalnim rastom bolesti.
Na toj razini procijepljenosti populacija postiže kolektivni imunitet. To nije imunitet pojedinaca, nego redukcija eksponencijalnoga rasta zaraze na linearni rast. Postotak cijepljenja potreban za postizanje kolektivnog imuniteta (tj. za redukciju eksponencijalnoga rasta zaraze na linearni rast) naziva se „prag kolektivnog imuniteta” (s kraticom HIT za “herd immunity threshold”). Evo HIT-ova za gornje zarazne bolesti.
Bolest
R0
HIT
Ospice
12
1–1/12 = 0.917 = 91.7%
Vodene kozice
5
1–1/5 = 0.8 = 80%
Zaušnjaci
4
1–1/4 = 0.75 = 75%
COVID19
2 (?)
1–1/2 = 0.5 = 50% (?)
Očito je da cijepljenje ne pruža potencijalnu korist samo cijepljenim nego i necijepljenim pojedincima u populaciji. Budući da je manje vjerojatno da će se bolest široko proširiti, svi su u manjem riziku, uključujući i one koji nisu cijepljeni. To je posebno važno za osobe kojima cijepljenje nije medicinski preporučljivo, poput novorođenčadi ili starijih i nemoćnih osoba.
Da zaključimo, dramatičnu razliku između linearnog i eksponencijalnog rasta, koja je za mnoge razlika između života i smrti, moguće je premostiti odgovarajućim procjepljivanjem populacije i to je jedna od najvećih blagodati medicine uopće.
Je li nužno vjerovati u boga da biste bili moralni i imali prave vrijednosti?
Postotak stanovnika pojedinih zemalja koji odgovaraju potvrdno prikazan je na sljedećoj karti svijeta:
Kako su ti postoci korelirani s BDP-om vidimo na sljedećem grafu:
Kako su potvrdni odgovori distribuirani po dobi ispitanika vidimo na sljedećem grafu.
U desnom stupcu je razlika postotka najstarijih i najmlađih koji odgovaraju potvrdno (npr. u Južnoj Koreji je 44 % više najstarijih nego najmlađih koji misle da je nužno vjerovati u boga da biste bili moralni i imali prave vrijednosti):
Kako su potvrdni odgovori distribuirani po obrazovanju ispitanika vidimo u sljedećoj tablici.
U desnom stupcu je razlika postotka više i manje obrazovanih koji odgovaraju potvrdno (npr. u Argentini je 33 % manje obrazovanijih nego neobrazovanijih koji misle da je nužno vjerovati u boga da biste bili moralni i imali prave vrijednosti):
I na kraju još tri grafa koji govore o važnosti vjere u životu građana pojedinih zemalja.
Prvi nam to govori na skali od “nimalo” preko “ne naročito” i “donekle” do “jako”:
Kakva je dobna distribucija onih u čijem je životu vjera važna prikazuje sljedeći graf:
Kako se postotak onih Europljana u čijem je životu vjera važna promijenio od 1991. do 2019. vidimo u sljedećoj tablici.
U desnom stupcu je razlika postotka iz 2019. i 1991. (npr. u Španjolskoj je 2019. bilo 26 % manje onih u čijem je životu vjera važna nego što ih je bilo 1991.):
Zarazne bolesti oduvijek su bile jedna od najvećih prijetnji čovječanstvu. Prije izuma antibiotika infekcije su ubijale polovinu sve djece do njihove 15. godine. Međutim, koliko god strašno bilo njihovo ukupno djelovanje, čak i najgore zarazne bolesti ubijaju relativno malo zaraženih. Od tuberkuloze se razboli manje od 10% zaraženih, a španjolska je gripa imala stopu smrtnosti manju od 3%.
Razlike u težini bolesti obično se pripisuje vanjskim čimbenicima, različitoj virulenciji raznih sojeva patogena, količini izloženosti patogenu, prehrani, općem zdravstvenom stanju pacijenta i sl. No stručnjaci sve više sumnjaju da uzrok te varijabilnosti leži u genima pacijenata.
Ideja o genetskoj komponenti potiče iz 1905. godine, kada je Rowland Biffen otkrio gen ključan za razornu gljivičnu bolest koja je uništavala pšenicu i smanjivala prinose širom Engleske. Otkrio je da je kod nekih biljaka otpornost na gljivice recesivna osobina koja se prenosi s roditelja na potomstvo, a da pritom ne utječe na ostale karakteristike biljke. Otkriće ga je proslavilo, a njegova metoda uzgoja rezistentnih biljaka i danas se naveliko koristi. Takvi geni kasnije su otkriveni u drugim biljkama i životinjama.
Ljudska genetska imuno deficijencija nije privlačila pažnju sve do 1950-tih kada se stanje dječaka koji je prebolio 19 pneumokoknih meningitisa (koji su opetovano liječeni antibioticima) poboljšalo tek nakon što je njegov liječnik Ogden Bruton otkrio da u dječakovoj krvi gotovo i nema gama globulina. Bruton ga je odmah počeo liječiti injekcijama gama globulina i dječak je ozdravio. To otkriće kasnije je prepoznato kao prekretnica u shvaćanju oštećenja imunološkog sustava kao katalizatora infekcije. Ta su oštećenja nazvana “urođenim pogreškama imuniteta.”
Od tada je dokumentirano više od 400 urođenih pogrešaka imuniteta. Mnoge od njih uzrokuju opću osjetljivost na patogene, poput SCID-a (severe combined immunodeficiency) s nadimom “bubble boy” po poznatom slučaju iz 1970-ih:
No, neke mutacije dovode do ciljane imuno deficijencije koja uzrokuje osjetljivost na točno jedan patogen. Takva imuno deficijencija može se uočiti samo ako osoba dođe u kontakt s točno tim patogenom. To su one „potpuno zdrave osobe koje iznenada podlegnu patogenu koji u većine ne izaziva gotovo nikakve probleme“. Nađene su mutacije koje uzrokuju takva teška oboljenja od virusa herpes simpleksa, humanog papiloma virusa, gripe i mikobakterija (patogena povezanih s tuberkulozom).
To je dovelo do promjene paradigme pa se sve češće govori da osnovni uzrok bolesti nije vanjski patogen nego genetska promjena koja nositelja čini neotpornim na patogen.
Ovim ciljanim imuno deficijencijama već se više od tri desetljeća bavi Jean-Laurent Casanova. Pokušavao je shvatiti zašto neka djeca, koja su inače savršeno zdrava, teško obole nakon primanja BCG cjepiva. Kod ogromne većine ljudi to cjepivo ima malo ili nimalo nuspojava, ali u veoma maloj skupini djece izaziva tešku infekciju i katkada smrt. Casanova je prikupio je podatke o djeci koja su u Francuskoj cijepljena između 1974. i 1994. U tih 20 godina 30 je djece cijepljenjem životno ugroženo. Trinaest ih je imalo SCID, dvoje AIDS, a ostalih petnaest nije imalo neku poznatu opću imuno deficijenciju. Casanova je posumnjao na ciljanu imuno deficijenciju i u sljedećih 25 godina zaista je otkriveno 17 mutacija (na 9 gena) koje utječu na pojavu mikobakterijskih infekcija. Danas se dijete koje dobije tešku mikobakterijsku infekciju testira na ove genetske nedostatke i odmah prima injekcije gama interferona koje ga uspješno liječe.
Uspjeh u liječenju genetskih poremećaja vezanih uz mikobakterijske bolesti otvara nadu da je sličan uspjeh moguć s COVID-om i već se istražuje jesu li ljudski geni odgovorni za teže ili lakše oblike te bolesti. Projekt COVID Human Genetic Effort uključuje stotine pacijenata koji su završili na intenzivnoj njezi. “Nadam se da ćemo shvatiti genetsku osnovu teškog COVID-a kod pacijenata svih dobnih skupina, bez obzira na popratne bolesti i tako otkriti mehanizam koji ih čini ranjivima na SARS-CoV-2” rekao je Casanova koji je suosnivač toga projekta.
Neki genetski tragovi možda već dolaze na vidjelo. Tim nizozemskih istraživača objavio je preliminarnu komunikaciju
o četvero mladih pacijenata iz dvije obitelji, koji su svi pretrpjeli teške respiratorne oblike COVID-a. Muškarci u dobi između 21 i 32 godine nisu imali povijest kroničnih medicinskih problema, ali je otkriveno da svaki od njih ima rijedak oblik gena na svom X kromosomu koji je povezan s nedostatnim imunološkim odgovorom.
Bit će potrebno mnogo više studija kako bi se utvrdilo jesu li slični nedostaci, možda i na drugim genima, uzrok najgorih slučajeva COVID-a. Biologe i medicinare čeka još mnogo posla.
Aja Sofija, crkva svete mudrosti, građena je od 408. do 415. godine. Dovršena je 10. 10. 415. godine, ali je potpuno uništena u požaru usred pobune Nika 532. godine, kada je bizantski car Justinijan I. Veliki zamalo izgubio prijestolje. On ju je dao ponovno izgraditi i velebno se uzdigla za samo pet godina, teškim radom 10.000 radnika. Bila je središte kršćanskoga istoka do 1453. godine kada joj je dvadesetpetogodišnji sultan Mehmed II, nakon što je osvojio Carigrad, dodao četiri minareta, mozaike joj prekrio vapnom i pretvorio je u carsku džamiju. Mustafa Kemal Atatürk, potpisivanjem dekreta 1934. godine, pretvorio je tada sjedište islamskog kalifata u svjetovni muzej, oslobađajući od vapna tisućljeće stare mozaike. Turski predsjednik Recep Tayyip Erdoğan dodao je četvrti sloj ovom prastarom palimpsestu. Dekretom od 10. 7. 2020. godine, posvetio je Atatürkov Muzej božanske mudrosti pretvorivši ga opet u Aya Sofya Camii. Tako je, nakon osamnaest godina vlasti, ispunjeno ključno obećanje Erdoğanove islamističke stranke.
Otkako je Aja Sofija prije pola tisućljeća pretvorena u džamiju, muslimani dvoje oko njene islamske vrijednosti. Za militantne muslimane ona simbolizira Mehmeda II, osvajača svijeta. No ona je i grobnica mletačkoga dužda Dandola, jednoga od vođa 4. križarskog rata, a tu su i mozaici kršćanskih svetaca, da ne spominjemo onaj bizantske carice Zoe, trovačice i preljubnice. Molitva uz takve simbole za mnoge je muslimane bogohulna. Upravo zbog ovog dvosmislenog statusa, muzealizacija Aje Sofije 1934. godine bila je genijalna ideja. Potekla je od Thomasa Whittemorea koji je 1930. osnovao bizantski institut, sprijateljio se s Atatürkom i uvjerio osnivača Turske republike da obnovi mozaike Aje Sofije, koji su pet stoljeća bili pokriveni islamskim motivima, i pretvori je u muzej. Te je godine grčki premijer Venizelos nominirao Atatürka za Nobelovu nagradu za mir.
Necip Fazıl Kısakürek, avangardni islamistički pjesnik i vodeći turski antisemit dvadesetog stoljeća (preveo je i objavio Protokole Sionskih mudraca), šezdesetih godina prošloga stoljeća opisuje muzealizaciju Aja Sofije kao “zapadnu zavjeru”. Atatürk je navodno htio da Aja Sofia ostane džamija, ali je netko na dekretu lažirao njegov potpis u sklopu grozne zavjere da se “skrši duh Turaka”. Kao Kısakürekov ideološki učenik, Erdoğan se svim srcem složio i u intervjuu islamskom magazinu al-Mujtama 1994. godine, kao novoizabrani gradonačelnik Istanbula, obećao da će Aja Sofiju opet pretvoriti u džamiju.
No tijekom sljedeća dva desetljeća Erdoğan je stasao u real-političara. Njegov se islamizam smirio. Postao je konzervativni demokrat koji svoju zemlju želi uvesti u Europsku uniju (tu je primio mnoge udarce pa su ga dijelom i oni vratili na stari put). Još 2019. grupi studenata na nacionalnoj televiziji rekao je “Račun za pretvaranje Aje Sofije u džamiju bio bi preskup” i “Još nisam izgubio smjer kao vođa pa da upadnem u zamku otvaranja Aje Sofije za molitve.”
Erdoğanova promjena uslijedila je ubrzo nakon toga, otprilike u vrijeme kada je izgubio gradonačelničke izbore 2019. godine. Istanbul je izabrao kandidata iz Republikanske narodne stranke, Atatürkove stranke. Njezin vođa, Ekrem İmamoğlu, recitirao je Kur’an u džamiji, držao se pobožno kao i Erdoğan te pobijedio na izborima s 10-postotnom razlikom (čak i nakon ponavljanja izbora koje je Erdoğan proglasio nevažećima). Po prvi put Erdoğanova taktika političke polarizacije nije uspjela, a Atatürkova stranka dokazala je svoju pravovjernost odmičući se od modernizacije osnivača.
Vlada je htjela steći političke bodove, makar pravni postupak kojim Aja Sofiju pretvara u džamiju i nemao nekog smisla. On se poziva na izjavu sultana Mehmeda II. iz 15. stoljeća: “Onaj tko promijeni status Aja Sofije počinio je najteži grijeh od svih … prokletstvo Alaha, njegovog Poslanika, njegovih meleka, svih vladara i svih muslimana zauvijek će biti na njemu”. To ponovo legitimira zakone koji su ukinuti osnutkom Turske republike 1923. godine (po istoj logici, potomci osmanske sultanske obitelji, koje je Atatürk poslao u egzil, mogli bi podnijeti zahtjev za vlasništvo nad mnogim istambulskim četvrtima).
Dekret koji je Erdoğan obznanio 10. 7. zrcalna je slika Atatürkovog dekreta. Kao da je želio uplašiti sekulariste na isti način na koji je Atatürk uplašio islamiste 1934. godine. Bio je to podsjetnik na islamističke traume – ukidanje kalifata, zabrane arapskog poziva na molitvu, marama, sefova itd.
Na zgražanje vlade, opozicija se nije zaprepastila. Umjesto toga, novi gradonačelnik Istanbula pozdravio je promjenu statusa Aja Sofije: “U mom srcu to je bila džamija od 1453. godine”. (Pod njegovom upravom, Istanbul je nedavno kupio portret sultana Mehmeda II. na aukciji u Christieu za milijun dolara.) Skoro svi opozicijski čelnici klimaju glavom s odobravanjem. Erdoğanu se možda ispunila želja koja bi bila politički isplativija da je ostala neispunjena. U namjeri polariziranja turske opozicije, vlada ju je objedinila – rezultat, moglo bi se reći, božanske mudrosti.
U emisiji Znanost i društvo urednice Blanke Jergović govorim o testiranju, statističkoj i matematičkoj nepismenosti i sl. Možete me poslušati cca 20 minuta ovdje:
Svi znamo da starije osobe, pogotovo one iznad 85 godina, češće umiru od covida19. Evo podataka za SAD, dok je umrlih bilo još bitno manje od 100 000.
Dobna skupina
Broj umrlih
ispod 1
3
1-4
2
5-14
7
15-24
76
25-34
463
35-44
1 186
45-54
3 338
55-64
8 312
65-74
14 447
75-84
18,621
iznad 85
22 543
Radi li se tu o slabijoj obrani od te specifične bolesti ili o vjerojatnijoj općoj smrtnosti starijih osoba?
Prema aktuarskim tablicama vjerojatnost da osoba stara 85 godina umre u sljedećih 12 mjeseci iznosi 10%. Za osobu staru 25 godina ona iznosi svega 0.1%. Dakle, neovisno od covida, 85-godišnjak ima 100 puta veće šanse od 25-godišnjaka da umre u sljedećih 12 mjeseci. Mislim da to bolje objašnjava veću smrtnost starijih osoba nego njihova specifična neotpornost na virus.
Osim toga, gornja tablica ništa ne govori o potencijalno izgubljenim godinama života. Očekivani broj preostalih godina života jednog 25-godišnjaka je 54 godine, a svega je 4 godine za 85-godišnjaka, prema istim aktuarskim tablicama. Zato je zanimljivo vidjeti koliko je godina života izgubila pojedina dobna skupina, a ne samo koliko je života ona izgubila. (Očekivane preostale godine života za svaku skupinu srednje su vrijednosti očekivanih godina za sva godišta te skupine.)
dobna skupina
broj umrlih x preostale godine života
= izgubljene godine života
Do 1
3 x 76
= 228
1-4
2 x 74
= 148
5-14
7 x 67
= 469
15-24
76 x 57
= 4 332
25-34
463 x 48
= 22 224
35-44
1 186 x 39
= 46 254
45-54
3 338 x 30
= 100 140
55-64
8 312 x 22
= 182 864
65-74
14 447 x 15
= 216 705
75-84
18,621 x 8.5
= 158 278
iznad 85
22 543 x 3
= 67 629
Vidimo da je najviše godina covid19 oduzeo skupini od 65 do 75 godina (u koju i sam spadam) i to je, u tom smislu, najugroženija skupina. Po tom istom kriteriju, od onih koji su stariji od 85 godina manje su ugroženi samo oni mlađi od 45 godina.
