Zbunjujuće vjerojatnosti

Ovaj stari problem iz vjerojatnosti (ne toliko slavan kao Monty Hall ili dvije omotnice) zbunjuje mnoge i dan danas.

  1. PROBLEM

Bar jedno dijete majke s dvoje djece je kćer. Kolika je vjerojatnost da je i njeno drugo dijete kćer?

 Automatski odgovor većine (uključujući i matematičare) je 1/2. Nakon malo razmišljanja, većina matematičara će ipak zaključiti da je tražena vjerojatnost 1/3. Naime, četiri jednako vjerojatne mogućnosti za dvoje djece su:

  Prvo dijete Drugo dijete
1. Kćer Kćer
2. Kćer Sin
3. Sin Kćer
4. Sin Sin

Budući da je 4. mogućnost isključena (jer majka ima bar jednu kćer), šanse za obje kćeri su 1:2, tj. tražena vjerojatnost je 1/3.

No, to nije sve. Obično slijedi ovaj problem.

  1. PROBLEM

Prvo (starije) dijete majke s dvoje djece je kćer. Kolika je vjerojatnost da je i njeno drugo dijete kćer?

Sada su svi (uključujući i matematičare) oprezni. Možda je i to 1/3, ili je sad ipak 1/2?

Pogledamo li opet tablicu svih mogućnosti za dvoje djece, vidimo da su sada isključene 3. i 4. mogućnost (jer je prvo dijete kćer). Dakle, šanse za obje kćeri sada su 1:1, tj. tražena vjerojatnost je 1/2.

Mnoge, bez obzira na ovu korektnu matematičku argumentaciju, i dalje zbunjuje razlika u odgovorima na prvi i drugi problem.

Zašto se informacija da je bar jedno dijete kćer toliko razlikuje od one da je prvo dijete kćer? Zašto ta razlika implicira promjene odgovarajućih vjerojatnosti?

Prije nego objasnimo tu zbunjenost, pogledajmo još jednu formulaciju tih istih problema:

  1. PROBLEM

Obitelj ima dvoje djece, Vanju i Sašu. Ako je jedno dijete djevojčica kolika je vjerojatnost da je i drugo djevojčica?

  1. PROBLEM

Obitelj ima dvoje djece, Vanju i Sašu. Ako je Vanja djevojčica kolika je vjerojatnost da je i Saša djevojčica?

„Jedno“ u prvom pitanju treba shvatiti kao „bar jedno“. To je matematički standard koji je u opreci s uobičajenim razumijevanjem. (Uobičajeno „jedno“ znači ono što za matematičare znači „točno jedno“. Za nematematičare je „točno“ nepotrebni dodatak.)

Odgovarajuća tablica mogućih slučajeva sada izgleda ovako:

  Vanja Saša
1. Kćer Kćer
2. Kćer Sin
3. Sin Kćer
4. Sin Sin

I odgovori su isti. Prvo pitanje isključuje 4. mogućnost (jer je bar jedno dijete djevojčica), pa je tražena vjerojatnost 1/3.

Drugo pitanje isključuje 3. i 4. mogućnost (jer je Vanja djevojčica) pa je tražena vjerojatnost 1/2.

Ova formulacija, bez obzira na korektnu matematičku argumentaciju, mnoge zbunjuje još i više.

Po čemu je informacija o „jednom i drugom“  različita od informacije o „Vanji i Saši“? Zašto ta razlika implicira promjene odgovarajućih vjerojatnosti? Zar nije potpuno nebitno kako se djeca zovu?

Problem je kako razumijemo „jedno“. Već smo rekli da „jedno“ može značiti bar jedno, ali i točno jedno. No, može značiti i određeno jedno. Kada majku vidim s jednom njezinom kćeri to je potpuno određena djevojčica (ta koju upravo vidim). S druge strane, kada kažem da majka ima jednu kćer nisam time potpuno odredio tu djevojčicu.

Ako je djevojčica točno jedna onda je drugo dijete sigurno dječak (tj. vjerojatnost da je drugo dijete kćer je 0). Ako je djevojčica određena jedna (npr. ova koju vidim ili ona koja je starija ili ona koja se zove Vanja itd.) onda je vjerojatnost da je drugo dijete kćer 1/2. Ako je djevojčica bar jedna (dakle, ne znam je li ova ili ona od majčina dva djeteta) onda je vjerojatnost da je drugo dijete kćer 1/3 (naravno, ni za to drugo dijete ne znam je li ovo ili ono).

Da se stvarno radi o tome na koje značenje termina „jedno“ mislimo, pokazuje i sljedeći rezultat psihološkog eksperiment koji je više puta repliciran:

Kada ljudima postavite pitanje „Ako majka ima dvoje djece i bar jedno od to dvoje je kćer, kolika je vjerojatnost da je i drugo kćer?“ njih 85% pogrešno odgovara da je to 1/2.

Ako im postavite zapravo isto pitanje „Ako majka ima dvoje djece i to nisu dva sina, kolika je vjerojatnost da su obje kćeri?“ postotak pogrešnih odgovora pada na 39%.

Mislim da je razlog naprosto to što se u drugoj formulaciji ne pojavljuje višeznačni termin „jedno“.

Osim toga, automatski prvi odgovor 1/2  postaje jasniji ako razmislite koje su moguće interpretacije uvjeta:

Bar jedno dijete majke s dvoje djece je kćer.

Ako anketirate majke koje imaju bar jednu kćer i jedna vam kaže da ima dvoje djece onda je vjerojatnost da joj je i drugo dijete kćer 1/3.

Međutim, ako ste majku sreli s tom kćeri i ona vam je rekla da ima još jedno dijete onda je vjerojatnost da je drugo dijete kćer zaista 1/2.

Druga je situacija prirodnija (i to objašnjava automatski odgovor 1/2). No, u tom slučaju koristite više informacija nego je zadano. Naime, koristite se informacijom da je ta „bar jedna kćer“ upravo određena djevojčica koju vidite s majkom. To u problemu nije zadano (iako je prirodnije) i zato je točan odgovor 1/3, a ne 1/2.

((( Takvo automatsko podrazumijevanje informacija koje zapravo nemamo često je. Ono je posebno uobičajeno u situacijama u kojima sa zadanim informacijama problem ne možemo riješiti. Kako biste na primjer riješili sljedeći problem.

  1. PROBLEM

Bacam dvije kovanice. Medu (5 kuna) i slavuja (2 kune). Vi ne vidite rezultat bacanja ali ja vam kažem da je rezultat bacanja mede glava. Kolika je vjerojatnost da je i rezultat bacanja slavuja glava?

Vjerojatno ćete odgovoriti 1/2, pretpostavljajući da je ono što vam kažem o medi ekvivalentno vašem viđenju mede. Pod tom pretpostavkom to je točan odgovor. No ta pretpostavka ne slijedi iz prešutne pretpostavke da vas ja istinito informiram.

Možda postupam na sljedeći način. Ako je rezultat točno jednog bacanja glava kažem vam koji je novčić s tim rezultatom. Ako su oba rezultata glava, slučajno odaberem jedan novčić i kažem vam da je rezultat bacanja tog novčića glava. Ako rezultat nijednog bacanja nije glava, kažem vam upravo to. U tom slučaju točan je odgovor 1/3.

Bayesovci će razumjeti da se tu radi o tome da vjerojatnosti najčešće nisu svojstva stvarnosti nego su mjere naših znanja o stvarnosti; no to je nova velika tema. )))

Prije završne riječi o „određenom i neodređenom jednom“, ukazat ću na još jedan način rješavanja gornjih problema, koji je mnogima razumljiviji.

Umjesto o vjerojatnostima možete misliti o frekvencijama. Rješenje 1. problema tada izgleda ovako.

Zamislite skup od 4000 majki koje sve imaju po dvoje djece. Pošaljete kući one majke koje nemaju kćeri, a od preostalih neka dignu ruku one koje imaju dvije kćeri.

Kući je otišlo cca 1000 majki, a od preostalih cca 3000 majki ruku je diglo njih cca 1000. Dakle, vjerojatnost da majka s bar jednom kćeri  ima dvije kćeri je 1/3.

Sada lakše vidimo da se zapravo ne radi o majkama nego o obiteljima koje one predstavljaju. Obitelji su tipa KK, KS, SK i SS i populacija obitelji (predstavljenih majkama) izgleda ovako:

Obitelji
KK cca 1000
KS cca 1000
SK cca 1000
SS cca 1000

 

(Naravno, KK je kratica za „starije dijete je kćer i mlađe je dijete kćer“, KS za „starije je dijete kćer i mlađe je dijete sin“ itd.)

Obitelji čije su predstavnice poslane kući su precrtane, pa je frekvencija obitelji tipa KK među preostalim obiteljima cca 1000/3000, tj. vjerojatnost da obitelj s bar jednom kćeri  ima dvije kćeri je 1/3.

Razmotrimo na isti način i sljedeći problem.

  1. PROBLEM

Bar jedno dijete majke s dvoje djece je kćer. Kolika je vjerojatnost da kćer iz takve obitelji ima sestru?

Sada zamislite skup od 4000 majki (koje sve imaju po dvoje djece), a na kojem je i njihovih 8000 djece. Pošaljete kući (zajedno s njihovom djecom) one majke koje uopće nemaju kćeri, a od preostalih kćeri neka dignu ruku one koje imaju sestru.

Tu se ne radi ni o majkama, ni o obiteljima koje one predstavljaju, nego o kćerima. Populacija kćeri u obiteljima tipa KK, KS, SK i SS sada izgleda ovako:

Kćeri
KK cca 2000
KS cca 1000
SK cca 1000
SS 0

 

Na skupu je ostalo cca 2000 kćeri bez sestre i cca 2000 kćeri sa sestrom, pa je frekvencija kćeri koje imaju sestru cca 2000/4000, tj. vjerojatnost da kćer u obitelji s dvoje djece ima sestru je 1/2.

Dakle, razlika između 1. i 6. primjera je razlika među populacijama koje razmatramo. U 1. slučaju razmatramo populacije obitelji s dvoje djece, a u 6. populacije kćeri iz takvih obitelji.

I na kraju još samo par riječi o „određenom i neodređenom jednom“.

Vidjeli smo da „neodređeno“ bar jedno dijete u 1. problemu daje vjerojatnost 1/3, dok „određeno“ starije dijete u 2. problemu daje vjerojatnost 1/2.

No, između potpune neodređenosti bar jednog i potpune određenosti starijeg postoje mnoge gradacije određenosti. Na primjer, kako bismo riješili sljedeći problem.

  1. PROBLEM

U nedjelju rođeno dijete majke s dvoje djece je kćer. Kolika je vjerojatnost da je i njeno drugo dijete kćer?

Na prvi pogled može nam se činiti kako informacija da je kćer rođena u nedjelju ne znači ništa (kada ne razumijemo značaj neke informacije najčešće mislimo da je ona beznačajna). To nije točno. Može se pokazati da je u ovom slučaju vjerojatnost obje kćeri 13/27, no to prelazi okvire ovoga bloga.

Oglasi
Objavljeno u matematika | Ostavi komentar

Kuda ide kapitalizam?

Kako zamišljate suvremeno financijsko tržište? Veliki ured u kojem trgovci jedni drugima izvikuju svoje ponude prateći cijene na svojim računalima? Tako npr. izgleda Njujorška burza kada nam je prikažu na televiziji.

Naravno, pretpostavljate da se sve to odvija transparentno i da sve nadgleda neko zakonodavstvo i neke općeprihvaćene norme.

To je, međutim, samo slika za televiziju i posjetitelje, koju npr. Njujorška burza održava radi očuvanja vizualne prepoznatljivosti. Stvarna akcija zbiva se u podatkovnim centrima i nimalo ne liči na tradicionalno trgovanje.

Tržište je sve češće splet kablova koji idu prema podatkovnim centrima u koje stižu i kablovi hedge fondova specijaliziranih za high-frequency trgovanje. Tu više ne kupuju i prodaju ljudi, nego računalni programi koji koriste minorne razlike u cijenama, a pronalaze ih u vremenskim intervalima često ne duljim od milijuntoga djelića sekunde.

Osim toga, u mnogim područjima ogromna većina transakcija je OTC (over the counter, tj. provodi se neposredno između zainteresiranih stranaka), pa ne samo da ih nitko ne nadgleda nego nitko ni ne zna koje su. (Npr. OTC tržište financijskih derivata, odgovornih za financijsku krizu 2007, i dalje je nepoznanica koju bazelska središnja banka svih središnjih banaka tek procjenjuje na 500 000 milijardi dolara; usporedbe radi ukupni svjetski brutoproizvod procjenjuje se na 100 000 milijardi dolara.)

Ima li takvo trgovanje i dalje one blagotvorne konzekvence na koje je ukazivao Adam Smith u „Bogatstvu nacija“:

Trgovina … postepeno uvodi red i dobro upravljanje, a s njima sigurnost i slobodu pojedinaca … koji su prije živjeli u skoro stalnom stanju rata sa svojim susjedima i u pokornoj ovisnosti o svojim nadređenima. Iako najmanje uočena, to je najvažnija njena konzekvenca.

Transparentne i općeprihvaćene norme trgovanja danas polako nestaju. Nestaju li s njima i Smithove  blagotvorne konzekvence?

Do nedavno je kapitalizam na sebe gledao kao na moralno superioran sustav (u Smithovom smislu). Danas i kod njegovih mladih lavova to izaziva podsmjeh i kolutanje očima. Njihov pogled na kapitalizam formirali su austerity, rast nejednakosti, nedodirljivost velikih financijskih i tehnoloških kompanija i žalosni fenomen zaposlenog siromaštva.

Desetljećima se podrazumijevalo da će nezaposleni biti siromašni i da će ih poduprijeti država, ali se isto tako podrazumijevalo da zaposleni neće biti siromašni i da im potpora države neće trebati. U razvijenom kapitalizmu 21. stoljeća većina onih koji primaju državnu potporu zaposleni su, ali taj posao nije dovoljan da ih izbavi iz siromaštva.

To temeljno urušavanje pretpostavljenog društvenog ugovora dovelo je do toga da je standard većine mladih u razvijenom kapitalizmu niži no što je bio onaj njihovih roditelja. To podjednako užasava djecu i njihove roditelje. I okreće ih populizmu.

Meki lijevi i desni centar ne može jasno odgovoriti na pitanje: Za što se vi zapravo zalažete i gdje ste bili kada se sve ovo zbilo? Indikativno je da glasove dobivaju mladi političari – predsjednik Kanade ima 43 godine, Francuske 39, Austrije 31, Novoga Zelanda 37, a američki predsjednik (kao i francuski) bili su izabrani bez prethodnih političkih pokušaja. Ideološki su potpuno različiti. Zajedničko im je samo to da nemaju političke veze sa stagnacijom životnog standarda i deregulacijom koje karakteriziraju zadnjih par desetljeća.

Sve je to dosta sumorna slika puta kojim ide kapitalizam.

No, ona je parcijalna. Prije 10 godina, na početku velike recesije, 19% svjetske populacije živjelo je u apsolutnom siromaštvu (koje UN definira kao život s manje od cca 10 kuna dnevno). Danas tako živi manje od 9% svjetske populacije. To je statistika na koju se s pravom mogu pozvati oni koji drže da je kapitalizam i dalje moralno superioran drugim sustavima.

Branko Milinović, ekonomist koji je učinio najviše za razumijevanje rasta nejednakosti, u svojoj knjizi „Globalna nejednakost“ ima ovaj izvanredni graf koji odlično ilustrira životne ishode proteklih desetljeća u razvijenom i tek razvijajućem svijetu.

slon.jpg

Graf je postao svjetski poznat kao „slonovski graf“ (iz očitih razloga) i na njemu jasno vidite da je najmizerniji ukupni rast prihoda zabilježio dio populacije koja se smjestila između 80% i 90% najbogatijih. Najveći dio te populacije čini baš radnička i srednja klasa razvijenoga svijeta. Najbogatiji dio razvijenoga svijeta zauzima kraj surle i njemu ide bolje nego ikad.

Naravno, nijedna vlada razvijenoga svijeta nikada nije rekla svojim građanima da su već dovoljno bogati, te da bi bilo moralno da svoj rast bogatstva prepuste braći iz svijeta koji se tek pokušava razviti. Čak i da jesu, što je samo po sebi nevjerojatno, i čak da su dobili pristanak svojih građana, što je još nevjerojatnije, sigurno ne bi dobili pristanak za neviđeni rast na kraju surle.

Još jedna zapanjujuća činjenica o ukupnom svjetskom bogatstvu jest da svijet u opetovanim mjerenjima stalno ima deficit. Kad bismo trgovali sa svemircima to bi imalo smisla, no budući smo (bar za sad) osuđeni na naše unutar zemaljske transakcije to nema nikakvog smisla. A deficit nije mali. Prema Zucmanovom „Skrivenom bogatstvu nacija“ taj deficit (prema njegovoj konzervativnoj procjeni) iznosi 9 000 milijardi dolara (sjetite se da je ukupni svjetski brutoproizvod oko 100 000 milijardi dolara).

Zucman nam u istoj knjizi objašnjava gdje je taj deficit. On neregistriran (i zato u mjerenjima neprepoznat) leži u poreznim oazama u kojima ga drže super bogataši s kraja surle. Taj svijet s kraja surle nije od ostalih smrtnika odvojen samo svojim ogromnim bogatstvom nego i svojim pristupom poreznim uplatama.

Toleriranje tog deficita sigurno nije znak moralne superiornosti kapitalizma, pa se ono najčešće opravdava iznimno teškom međunarodnom koordinacijom akcija koje bi dovele bar do njegova smanjenja ako već ne i ukidanja. Taj argument blijedi u sjeni nedavnog gotovo prekonoćnog blokiranja svih oligarha povezanih s Putinovim režimom. Kao i u tom slučaju, dovoljno bi bilo ilegalnim proglasiti bankovna poslovanja sa svim zemljama (ili najčešće zemljicama) koje ne prihvaćaju međunarodna pravila o poreznoj transparentnosti. No, čini se da je prevelika interesna povezanost onih koji stvaraju taj deficit i onih koji bi ga trebali dokinuti.

Iz ovih nekoliko crtica sigurno ne možemo zaključiti kuda ide kapitalizam, ali možda možemo početi misliti o toj velikoj temi.

 

Objavljeno u Ekonomija | Ostavi komentar

Kako odgajati kocku

Često možemo čuti da pohvala i pokuda psihološki djeluju na oprečne načine. Hvalimo li nekoga postat će lošiji, kudimo li ga postat će bolji. Neki su iz toga čak izveli odgojne metode i upravljačke tehnike.

No, možda se radi samo o „regresiji prema sredini“.

Iza ovog pompoznog termina skriva se jednostavni uvid, koji ću ilustrirati hvaljenjem i kuđenjem obične kocke.

Bacite, dakle, šestostranu kocku i kada god padne 1 oštro je pokudite zbog tog ekstremno lošeg rezultata. Kada padne 6 nježno je pohvalite zbog tog ekstremno dobrog rezultata.

Vidjet ćete da kocka reagira u skladu s gore opisanim psihološkim očekivanjima. Nakon kuđenja ona se (u sljedećem bacanju) obično poboljša, a nakon hvale obično se pogorša.

Dakle, ili kocki trebate priznati osobnost s ljudskim psihološkim karakteristikama ili dopustiti da su neke promjene naprosto slučajne, a ne rezultat naših hvala i pokuda.

P.S.

Ako mrgud koji uvijek kudi primijeni svoju metodu stalnoga kuđenja na običnu kocku zaključit će da ona odlično djeluje na loše, ali ne i na dobre (čini se da oni naprosto ne mogu biti bolji). Naravno, ako to učini dobrica čija je metoda stalna hvala zaključiti će isto.

Ako ikoji od njih ikada sazna da iste rezultate kao i on postiže onaj drugi (ona neznalica koja se koristi potpuno pogrešnom metodom), vjerojatno će biti šokiran.

Još je vjerojatnije da naprosto neće vjerovati da je to istina (nego da je to samo lažna propaganda tih šarlatana i neznalica).

Objavljeno u statistika | Ostavi komentar

Dva primjera političke matematike

  1. Primjer

Danska političarka Aase D. Madsen u jednoj parlamentarnoj raspravi usp.

http://webarkiv.ft.dk/?/Samling/19991/salen/L78_BEH1_17_7_20.htm

ustvrdila je da 69% Danaca ne posjećuje danske knjižnice.

Naime, prema njoj dostupnim podacima 39% muškaraca i 30% žena nikada ne ide u knjižnice.

Dakle, zaključit će ona, 69% Danaca nikada ne ide u knjižnice.

(Pretpostavljam, da u knjižnice ne ide 100% žena i 100% muškaraca, Aase bi zaključila da u knjižnice ne ide 200% Danaca.)

2. Primjer

Često od političara možemo ćuti i sljedeće:

Naš BDP opada. Prošlogodišnji mu je rast bio 3%, a ove je godine pao na 2%.

Kako to shvatiti? Ovogodišnji BDP je za 2% veći od prošlogodišnjeg, dakle nije pao. BDP i dalje raste, iako ne tako brzo kao prije.

Možda to političarima nije jasno, a možda i je.

Naime, ako pretpostavljaju da je rast BDP-a od 3% očekivana norma, onda ovogodišnji rast od 2% možda smatraju padom BDP-a u odnosu na očekivanje.

Ili možda ipak precjenjujem političare?

Objavljeno u matematika | 3 komentara

Pas koji liježe jaja

Od 100% prehrambenih artikala na skladištu, 50% je kobasica i 50% jaja. Nakon što pas u tom skladištu provede neko vrijeme postotak jaja znatno se poveća u odnosu na postotak kobasica. Zaključak: taj pas liježe jaja!

Složiti ćete se da je taj zaključak potpuno besmislen.

Što mislite o sljedećem zaključivanju?

Prije tridesetak godina na tržište je pušten lijek koji od onda uspješno rješava mnoge srčane probleme. No, nedavno je ustanovljeno da je među korisnicima toga lijeka postotak onih koji umiru od karcinoma veći nego među onima koji ga ne koriste. Zaključak: lijek je kancerogen!

Ljudi su zgranuti, mediji histeriziraju, krenule su tužbe.

Nije li međutim i tu riječ o „psu koji liježe jaja“?

Ljudi sigurno umiru, pa će oni koji uspješno liječe srčane probleme češće umirati zbog drugih zdravstvenih problema, npr. karcinoma. Smanjeni postotak srčanih umiranja sigurno dovodi do povećanog postotka ostalih, kao što smanjeni postotak kobasica sigurno dovodi do povećanog postotka jaja.

Statistike nije lako interpretirati i zato svatko treba dobro razmisliti prije nego iz njih izvlači bilo kakve zaključke.

(Naravno, moguće je da lijek povećava izglede za karcinom, ali sama činjenica da „je među korisnicima lijeka postotak onih koji umiru od karcinoma veći nego među onima koji ga ne koriste“ nije dovoljna da bismo to zaključili.)

Objavljeno u statistika | Ostavi komentar

Kako računa mala genijalka

Čitam na netu objavu jednog oca čija kćer oduzima brojeve na nestandardni način koji ne razumiju ni otac ni njen učitelj, iako im se čini da njena metoda funkcionira.

https://math.stackexchange.com/questions/2667980/why-does-this-innovative-method-of-subtraction-from-a-third-grader-always-work

Naime , ona npr. 61 – 27 računa tako da posebno oduzme desetice (60 – 20 = 40), a posebno jedinice (7 – 1 = 6) i zatim oduzme jedinice od desetica (40 – 6 = 34).

Naravno, kada računa 67 – 21 onda posebno oduzme desetice (60 – 20 = 40), a posebno jedinice (7 – 1 = 6) i zatim zbroji desetica i jedinice (40 + 6 = 46). To je standardno.

Kako zna kada treba zbrojiti, a kada oduzeti i otkud joj uopće ta ideja?

Standardni račun bez „prenošenja“ izgleda ovako:

67 – 21 = 60 + 7

…..          –20 – 1 =

…..            40 + 6 = 56

 

Standardni račun s „prenošenjem“ izgleda ovako:

61 – 27 = 60 + 1

…..         – 20 – 7 =

…..            50 + 11

…..         – 20 –  7  =

…..            30 +  4  = 34

(Ne možemo oduzeti 1 – 7 pa  “prenosimo 10 iz 60 u jedinice” da možemo oduzeti 11 – 7).

 

Račun male genijalke u prvom je slučaju isti, a u drugom  izgleda ovako:

61 – 27 = 60 + 1

…..         – 20 – 7  =

…..            40 – 6  = 34

 

Neki misle da ona radi s negativnim brojevima (1 – 7 = –6) koje je nekako sama dokučila. Ako jest svaka joj čast.

No stvari su možda jednostavnije. Ona možda računa baš kako svi mi (ili bar većina nas) računa „napamet“:

61 – 27 → (– 20) 41 → (– 1) 40 → (–6) 34

Uočite da prvo oduzimamo desetice (kao i ona) zatim oduzimamo 1 da dođemo do okruglih 40 i konačno oduzimamo preostalih 7 – 1 (opet kao ona).

To je potpuno prirodan postupak.

Mislim da nitko neće (npr.) 1004 – 9 računati na standardni način:

1004 – 9 = 900 + 90 + 14

…..                               –   9  =

…..               900 + 90 +  5   = 995

 

nego će sigurno računati na njen način:

1004 – 9 → (–4) 1000 → (–5) 995.

Kako bilo, pravo je osvježenje makar i na netu susresti dijete koje na satima matematike razmišlja umjesto da samo slijedi naputke i pravila, za koje nažalost većina učenika misli da jesu matematika (a naravno da nisu).

Objavljeno u matematika, obrazovanje | 5 komentara

Thompson i viceprvaci

Nedvojbeno je da dio Hrvatske obožava Thompsona i smatra ga simbolom hrvatske slobode i nezavisnosti. Jednako je nedvojbeno da postoji i dio koji ga prezire smatrajući ga simbolom ustašoidne Hrvatske. Većina je bliže ili dalje tim ekstremima, no malo tko je ravnodušan.

Ono o čemu se svi mogu složiti jest da Thompson Hrvatsku dijeli i sukobljava (kako oni koji to žele tako i oni koji to ne žele).

S druge strane hrvatski viceprvaci uspjeli su Hrvatsku ujediniti kao malo što u njenoj kratkoj povijesti. Slavlje je opće i nepodijeljeno, na lijevoj i desnoj, konzervativnoj i liberalnoj, pro Thompsonovoj i anti Thompsonovoj strani.

Zato je Dalićeva i Modrićeva odluka da Thompsona uvedu u to opće i nepodijeljeno slavlje loša, bez obzira kojoj strani oni osobno pripadali.

Mogli su Thompsona uvesti u svoja privatna slavlja, a Hrvatskoj su trebali dopustiti da bar koji dan slavi nepodijeljena uobičajenim sukobima i netrpeljivostima. Pogotovo bih to očekivao od onih čiji se uspjeh dobrim dijelom temeljio na razumijevanju važnosti jedinstva i zajedništva.

Objavljeno u nema | 14 komentara