Stvarni Monty Hall

U američkom časopisu Parade svojevremeno je postojala kolumna Pitajte Marilyn. Pisala ju je Marilyn vos Savant žena s najviše ikada postignutih bodova na IQ testu (najviše među svim ljudima, muškarcima i ženama). U kolumni je odgovarala na matematičko-logička pitanja svojih čitatelja. Godine 1990. postavljeno joj je sljedeće pitanje, u vezi sa stvarnom TV-igrom koju je vodio Monty Hall.

Ideja TV-igre je osvojiti nagradu, u ovom slučaju automobil. Monty vam pokazuje troja vrata i obavještava vas da je iza jednih vrata automobil, dok su iza preostalih vrata koze. Vi trebate odabrati jedna vrata i dobiti ono što je iza njih.

Nakon što odaberete jedna vrata Monty odmah ne otvara odabrana vrata, nego otvara jedna od neodabranih i to ona iza kojih je koza (Monty, naime, zna što je iza kojih vrata). Nudi vam da se predomislite, prije nego otvori vrata koja ste konačno odabrali (katkada zahtijeva da platite manji iznos, npr. $50, ako želite promijeniti vrata). Što biste vi učinili?

Merilyn je svojim čitateljima savjetovala da svakako prihvate ponudu i promijene vrata prije konačnog otvaranja. Objasnila im je da se time šanse za dobitak s 1/3 povećavaju na 2/3, dakle udvostručuju se.

Intuicija većine ljudi jest da promjena ne donosi ništa jer su šanse da je automobil iza jednih od dvaju neotvorenih vrata jednake. Mariliyn je detaljno objasnila zašto to nije točno, no mnoge nije uspjela uvjeriti. U više od 90% pisama u vezi s Monty Hall problemom, pokušavali su joj objasniti da je pogriješila, a mnoga od njih napisali su matematičari.

Najjednostavnije objašnjenje da treba mijenjati jest ono koje pokazuje da je Montyjeva ponuda jednaka ponudi da umjesto odabranih vrata možete odabrati druga dvoja (i time vjerojatnost dobitka s 1/3 povećati na 2/3). Naime, vi unaprijed znate da će iza vrata koja će Monty otvoriti biti koza. To je određeno pravilima igre pa je Montyjevo otvaranje potpuno nebitno. To znači, kao što smo rekli, da su te dvije ponude jednake.

Uvjerava li vas ovaj argument da je Marilyn bila u pravu? Moje je iskustvo da većinu ne uvjerava. Zato, za one koji još nisu uvjereni, predlažem da odigraju dvije runde od po 30 ponavljanja igre (npr. s dvije crne karte i jednom “nagradnom” crvenom). U prvoj rundi neka nijednom ne mijenjaju odabir, a u drugoj neka ga svaki put mijenjaju. U prvoj će rundi imati cca 10 crvenih “nagrada”, a u drugoj će ih imati cca 20. (Naravno morate imati Montyja koji će okretati crnu neodabranu kartu.) Koga ni to ne uvjeri, ne znam što bih mu dalje rekao.

To je sve dobro poznato i o tome sam već pisao, ali nedavno sam pročitao da Monty svoja vrata nije birao kako je to opisala Marylin, nego ih je birao slučajno, mada nije sasvim jasno je li slučajno birao samo između vrata koja vi niste izabrali ili je slučajno birao bilo koja vrata.

U prvom slučaju mogao je slučajno otvoriti vrata iza kojih je auto i vi biste dobili kozu, ili je mogao slučajno otvoriti vrata iza kojih je koza i tada bi vam nudio promjenu.

U drugom slučaju mogao je slučajno otvoriti vrata koja ste vi izabrali i vi biste dobili ono što je iza njih, ili je mogao slučajno otvoriti vrata koja nisu vaša i iza kojih je auto i vi biste dobili kozu, ili je mogao slučajno otvoriti vrata koja nisu vaša i iza kojih je koza i tada bi vam nudio promjenu.

Kako sam gore objasnio, u originalnom Marylinom problemu promjena povećava vjerojatnost dobitka s 1/3 na 2/3. Isto vrijedi i ako Monty slučajno bira bilo koja vrata. Međutim, ako Monty slučajno bira između vrata koja vi niste izabrali onda se može dokazati da je promjena nebitna jer su vam šanse i za kozu i za auto 1/2.

Dakle, odgovor „promjena ne donosi ništa“ točan je ako Monty između preostalih vrata slučajno izabire kozu. Možda su na to mislili matematičari koji su protuslovili Marilyn vos Savant. A možda i nisu. Tko će znati? No, sigurno nisu točno odgovorili na problem kako ga je ona postavila. Možda nisu pažljivo pročitali formulaciju problema? To je karakteristično za „pametne i brzoplete učenike“.

Za one koji razumiju Bayesov teorem evo i dokaza gornjih tvrdnji.

U 1. koraku vi birate auto s vjerojatnošću P(A1) =1/3, a kozu s vjerojatnošću P(K1) =2/3.

Ako Monty u 2. koraku sigurno bira kozu (na slici vjerojatnosti bez zagrada ) onda je:

P(K1 / K2 )=(2/3 ⋅1)/(1/3 ⋅1+2/3 ⋅1 )= 2/3

pa vam se promjena isplati jer su vam (bez promjene) šanse za kozu 2/3, a za auto 1/3.

Ako Monty u 2. koraku slučajno bira između preostalih vrata (na slici vjerojatnosti u zagradama ) i izabere kozu onda je:

P(K1 / K2 )=(2/3 ⋅1/2)/(1/3 ⋅1+2/3 ⋅1/2 )= 1/2

pa vam je promjena nebitna jer su vam šanse za kozu i auto iste, 1/2.

Ako Monty u 2. koraku slučajno bira bilo koja vrata (na slici vjerojatnosti u dvostrukim zagradama ) i izabere kozu onda je:

P(K1 / K2 )=(2/3 ⋅2/3)/(1/3 ⋅2/3+2/3 ⋅2/3 )= 2/3

pa vam se promjena isplati jer su vam (bez promjene) šanse za kozu 2/3, a za auto 1/3.

Rat sjećanja

Hladni rat tzv. realnoga socijalizma i kapitalizma završen je pobjedom kapitalizma pred gotovo 30 godina, no još uvijek bijesni rat različitih sjećanja na realni socijalizma 20. stoljeća. Na jednoj su strani simpatizeri socijalističkih ideja, uz koje su i ogromne mase istočnoeuropskih građana nostalgično zagledanih u svoju socijalističku prošlost. Na drugoj su strani oni antitotalitaristi koji inzistiraju da svaki socijalistički eksperiment nužno završava gulagom. Jedna strana razaznaje nijanse sivila, druga vidi crno bijeli svijet.

Preživjeli socijalisti koji traže veću ulogu države u očuvanju socijalnih prava misle da su babice pred 30 godina s prljavom vodom totalitarizma bacale i dosta zdrave djece. Pobjednički konzervativci, pogotovo oni puni nacionalnog naboja (koji su jučer često stradali, a danas često profitiraju), svaki argument u prilog redistributivne politike pomoći slabijima diskreditiraju podsjećanjem na progone totalitarnih vremena.

Nakon početne euforije oslobođenja ali i ubrzane demontaže socijalnih sigurnosnih mreža, koju je nužno pratilo siromaštvo masa i bogatstvo elita, pogled na vlastitu socijalističku prošlost počeo se mijenjati. U anketi PEW-a iz 2010. na pitanje „ je li ekonomska situacija običnog čovjeka lošija, ista ili bolja nego pod komunizmom“ 72% Mađara te 62% Ukrajinaca i Bugara odgovorilo je da je ona lošija. Najveći postotak onih koji su smatrali da je bolja bio je 47% u Poljskoj:

Konzervativni odgovor na ovaj neočekivani obrat jest Praška deklaracija o potrebi bolje edukacije o zločinima komunizma. S istom je svrhom nastao i konzorcij organizacija koje promoviraju izjednačavanje komunizma s nacizmom u udžbenicima europske povijesti 20. stoljeća (Platforma o Europskom sjećanju i savjesti iz 2011.). Na tom je valu i Nacionalni dan žrtava komunizma 7. studeni, koji je proglasio predsjednik SAD Donald Trump. Najdalje je otišla Ukrajina koja je čak zakonski regulirala nedavnu povijest. Ako novinar o razdoblju 1918. – 1990. ne piše u skladu sa službenom poviješću njegove novine mogu biti ugašene, a on može biti osuđen na 5 do 10 godina zatvora. Teško izborena sloboda tiska zagubila se u bespućima nove povijesti.

Je li to tek upozorenje da ne ponovimo stare greške, kako tvrde oni koji nam pričaju „ još uvijek neispričanu priču o komunističkoj pošasti“ ? S obzirom na izuzetno malu vjerojatnost povratka komunizma na Zapad 21. stoljeća mora da se radi o nečem drugom.

Osnovni argument „ ljudi su masovno ubijani u komunističkim sustavima i stoga komunizam treba odbaciti kao političku opciju“ zahtijeva dodatnu premisu „ ako je sustav temeljen na nekoj ideologiji masovno ubijao onda tu ideologiju treba odbaciti kao političku opciju“.

Ta se dodatna premisa obično prešućuje jer se lako može iskoristiti za analogni argument protiv kapitalizma. Naravno, i u kapitalističkim se sustavima masovno ubijalo. Dovoljno se sjetiti ropstva i istrebljivanja urođenika diljem svijeta.

Dakle, potrebna je neka druga dodatna premisa koja bi odbacila komunističke ali ne i kapitalističke sustave. Najčešća je „ako je sustav temeljen na ideologiji koja nužno vodi do masovnog ubijanja onda tu ideologiju treba odbaciti kao političku opciju“.

Pobornici kapitalizma s pravom će reći da „vjera u slobodno tržište i privatno vlasništvo ne vodi nužno do ropstva i istrebljenja domorodaca“. No, jednako tako „vjera u redistributivne politike i društveno vlasništvo ne vodi nužno do gulaga“. To može biti predmetom rasprave, ali u najmanju ruku nije bjelodano ni u jednom od ova dva slučaja.

S druge strane to jest bjelodano za nacizam. Taj je sustav u svojim temeljima imao ideologiju istrebljenja koju je i ozakonio. U tome se on bitno razlikuje i od kapitalizma i od komunizma i ne treba ga stavljati u isti koš s komunizmom, koliko god to danas bilo popularno.

Obrazovanje u medijima

 

U jučerašnjem Jutarnjem (utorak 3. 9. 2119.) čak su četiri cijele stranice posvećene školi i obrazovanju, a samo po dvije automobilima (čiji je rezervirani dan utorak) i nogometnoj reprezentaciji (koja sljedećih dana igra dvije važne utakmice). Pomislili biste, hvale vrijedna briga Jutarnjeg za obrazovanje. No, onda na drugoj stranici istaknuto u okviru vidite ovaj graf pod pretencioznim naslovom „Analiza“:

Učenik 6. razreda osnovne škole dobio bi jedinicu za tako nacrtani graf. Nastavnica bi mu objasnila, na primjer, da je razlika u postotcima između Francuske i Britanije ista kao i ona između Britanije i Italije, a da razlika u visinama njihovih stupaca prikazuje nešto sasvim drugo. Naravno, to je samo jedna od besmislica koje se mogu uočiti na ovom grafu. Živjelo obrazovanje.

Još o aksiomima

U jednom od prethodnih postova objasnio sam zašto aksiomatizacija neke teorije nije znak njene sigurnosti, nego baš suprotno, njene nesigurnosti. Konkretno, starogrčka aksiomatizacija geometrije rezultat je nekih nesigurnosti unutar starogrčke geometrije.

No, osim toga ona je i odgovor grčkih matematičara elejskim filozofima koji su negirali postojanje prostora i gibanja. Objasnit ću točnije što znači to negiranje, jer ono se najčešće pogrešno razumije.

Zenon je svuda oko sebe vidio gibanje i sigurno nije negirao to osobno iskustvo. On je negirao mogućnost da se prostor i gibanje shvate matematički. To su trebali dokazati njegovi slavni paradoksi, koji su često proglašavani praznim sofizmima.

Zašto se strijela ne može pomaknuti? Da bi preletjela jedan metar, ona prije toga mora preletjeti pola metra. No da bi preletjela pola metra, strijela prije toga mora preletjeti polovicu te polovice. Da bi preletjela tu polovicu polovice, ona prije toga mora preletjeti polovicu polovicine polovice, i to se ponavlja u beskonačnost, pa se strijela uistinu nikada i ne može pomaknuti.

Zašto brzonogi Ahil ne može sustići kornjaču koja ima jedan metar prednosti? Kada on stigne do mjesta njezina polaska, ona će već odmaknuti. Kada on stigne do mjesta do kojeg je ona odmakla, ona će još dalje odmaknuti. Kada on stigne do toga daljnjeg mjesta, ona će se odmaknuti do sljedećeg mjesta, i tako u beskonačnost, pa Ahil kornjaču nikada i neće stići.

Kakvi su to argumenti? Već smo rekli da oni ne potječu iz osjetilnog iskustva. Svatko će se lako uvjeriti u let strijele, a za neke on može biti i poguban.

To nije ni matematički argument o idealnim nematerijalnim dužinama. Nema ničeg kontradiktornog u tome da se matematička dužina može beskonačno dijeliti na sve kraće i kraće dužine (sjetimo se dokaza o nesumjerljivosti). Ali poistovjećivanje materijalne putanje strijele s idealnom matematičkom dužinom omogućava Zenonu da izvede zaključak o nepomičnosti strijele koji je u suprotnosti s osjetilnim iskustvom. (Zenonov matematički dio argumentacije nije bio korektan, no to ovdje nije bitno.)

Elejci će zaključiti da to poistovjećivanje nije moguće, tj. da prostor ne postoji kao apstraktni entitet podložan matematičkoj argumentaciji, te da znanost o prostoru i gibanju mora biti utemeljena u osjetilnom iskustvu.

Elejci, suprotno Pitagori, drže da geometrija nije primjenljiva u proučavanju prostora i gibanja. To je moralo uzdrmati vjeru u izvjesnost geometrije kod mnogih koji nisu tako radikalno razdvojili svijet ideja od materijalnoga svijeta i koji su vjerovali da geometrija ima što reći i o ovom drugom svijetu.

Mjesta na kojima je potrebno provesti poistovjećivanja koja će nas uvjeriti u primjenljivost geometrije, njezinom su aksiomatizacijom svedena na minimum koji čine aksiomi i time se kod uzdrmanih bar donekle mogla povratiti vjera u primjenljivost geometrije.

Nesumjerljivost

U ovom ću se postu detaljnije pozabaviti nesumjerljivošću koja je bila jednom od tema prethodnoga posta.

Pitagora je držao da se odnosi čistih geometrijskih formi mogu svesti na brojevne odnose, što znači da se geometrija može svesti na aritmetiku. U pozadini te redukcije primarna je težnja da se matematika zasnuje kao znanost o čistim formama ili idejama.

Naime, broj je sigurno najčišća matematička forma. Broj 5 lakše odvajamo od petočlane skupine materijalnih predmeta, nego apstraktnu ideju trokuta od konkretnoga materijalnog trokuta. Djeca uče aritmetiku predstavljajući si brojeve konkretnim skupinama predmeta samo u prvom i možda drugom razredu osnovne škole, dok si geometrijske ideje predstavljaju konkretnim materijalnim dijagramima tijekom čitavog školovanja.

Toga su bili potpuno svjesni i stari Grci. Proklo je napisao u svojim Komentaríma Euklidovih Elemenata: “Svakome je jasno da su brojevi čistiji i nematerijalniji od geometrijskih veličina, te da su brojevi kao počelo jednostavniji od geometrijskih veličina.”

Kamen temeljac pitagorejske redukcije bila je pretpostavka da su svake dvije dužine sumjerljive, tj. da uvijek postoji njihova zajednička mjera koja ima ulogu jedinice mjerenja pri uspostavljanju njihova brojevnog odnosa. Na primjer:

____________   a = 12j                _____   b = 5j                    a:b = 12:5

No sami pitagorejci dokazali su da stranica i dijagonala kvadrata nemaju takve zajedničke mjere. Evo i dokaza te činjenice, koji je značajan koliko i sama činjenica nesumjerljivosti.

Ako dužine a i b imaju zajedničku mjeru, npr. kao a = 12 j i b = 5 j na prethodnoj slici, onda uzastopno oduzimanje dužina, koje počinje s a i b, završava u konačnom nizu koraka. U našem slučaju:

12j-5j=7j      7j-5j=2j      5j-2j=3j      3j-2j=1j      2j-1j=1j      1j-1j=0j

Provedimo takvo uzastopno oduzimanje počevši od dijagonale d i stranice a zadanoga kvadrata.

Zbog sukladnosti zelenih trokuta prvo oduzimanje stranice a od dijagonale d daje

d – a = a1,

a drugo oduzimanje daje

a – a1 = d1

pa je treće oduzimanje opet oduzimanje stranice crvenog kvadrata a1 od njegove dijagonale d1. Ono se u smanjenom mjerilu ponavlja na isti način te vodi na sljedeći, još manji kvadrat, u kojem se opet ponavlja isti postupak, itd.

Uzastopno oduzimanje dužina koje počinje dijagonalom i stranicom kvadrata nikad se ne završava, jer generira beskonačni niz sve manjih kvadrata, u kojima se uvijek generira početna situacija. No kada bi dužine a i d imale zajedničku mjeru, postupak oduzimanja morao bi se završiti u konačnom broju koraka. Dakle, a i d nemaju zajedničku mjeru, tj. dijagonala i stranica kvadrata nisu sumjerljive.

Uočimo da je nesumjerljivost mogao dokazati samo teorijski um koji gleda savršene forme ili ideje. Dvije materijalne dužine možemo usporediti samo približno, tj. do neke mjere točnosti, pa svaka dužina kraća od te mjere točnosti praktički postaje zajedničkom mjerom tih dužina samom činjenicom da do nje ne dopire točnost praktičnog mjerenja. Nesumjerljivost stranice kvadrata i njegove dijagonale dokazuje se time što se teorijsko “mjerenje” sve manjih kvadrata ponavlja stalno na isti način, pa se zahvaljujući tome nikada ne završava.

Dakle, u dokazu nesumjerljivosti pojavljuje se beskonačni niz kvadrata koji sigurno prelazi granicu vidljivog, a i sama mogućnost njegove materijalizacije postaje krajnje upitnom. Potpuno je jasno da se dokaz bavi idejom kvadrata.

Pitagorejska težnja aritmetizaciji geometrije ozbiljno je uzdrmana otkrićem nesumjerljivosti. Usprkos tome ona će u matematici stalno biti prisutna i konačno će se realizirati u 19. stoljeću Cantor-Dedekind-Weierstrassovim utemeljenjem pojma realnog broja.

(S druge strane, primijetimo da valjanost pitagorejske zamisli po kojoj su geometrija i aritmetika konstitutivni elementi prirode ne ovisi nužno o međuodnosu aritmetike i geometrije.)

Jesu li aksiomi sigurne istine?

Razumijevanje aksioma kao izvjesnih i nedvojbeno sigurnih istina gotovo je univerzalno. Lako ga možemo dovesti u pitanje ako se upitamo zašto su grčki matematičari aksiomatizirali geometriju, ali ne i aritmetiku, iako njeni aksiomi nisu manje sigurni od aksioma geometrije.

Usporedite Euklidove aksiome geometrije koji su stari više od dva tisućljeća:

1. Neka se postulira da se od svake točke do svake točke može povući dužina.

2. I da se ograničena dužina može neprekinuto produžiti.

3. I da se svakim središtem i udaljenošću može opisati krug.

4. I da su svi pravi kutovi međusobno jednaki.

5. I ako dužina koja siječe dvije dužine čini unutarnje kutove s iste strane manjima od          dva prava kuta, te se dvije dužine (neograničeno produžene) sastaju s te strane (na            kojoj se kutovi manji od dva prava kuta).

I Peanove aksiome aritmetike koji su stari manje od dva stoljeća:

1. 1 je prirodan broj.

2. Svaki prirodni broj n ima točno jednog sljedbenika n + 1.

3. Broj 1 nije sljedbenik ni jednog prirodnog broja.

4. Ako su sljedbenici dva prirodna broja jednaki onda su i oni jednaki.

5. Ako skup sadrži broj 1 i sljedbenika svakog svog elementa onda on sadrži sve                      prirodne  brojeve.

Aritmetika je aksiomatizirana dva tisućljeća poslije geometrije, tek kada su je logicisti Frege i Dedekind počeli držati relativno neizvjesnom spram neupitno izvjesne logike. Slični su motivi vodili i starogrčke matematičare.

Dokaz nesumjerljivosti dijagonale i stranice kvadrata uzdrmao je izvjesnost geometrije. (U dokazu važnu ulogu igra beskonačni niz sve manjih kvadrata koji se ne da predstaviti nikakvim dijagramom; o tome više u sljedećem postu) . Matematika, kao izvjesna spoznaja, i tu će se više osloniti na sigurno spoznatljive elemente i pokušat će upitnije geometrijske uvide svesti na minimum. Zato će pokušati naći ograničeni broja elementarnih geometrijskih činjenica iz kojih logički slijede sve ostale.

Te osnovne geometrijske činjenice geometrijski su aksiomi, a cijeli ovaj postupak logičkog strukturiranja geometrije, koji je karakterističan za grčku matematiku, naziva se aksiomatizacijom. Dakle, aksiomatizacija matematike od samih grčkih početaka pokušaj je utemeljenja matematike kao izvjesne spoznaje redukcijom njezinih neizvjesnih elemenata na minimum koji čine aksiomi.

Upitna izvjesnost mnoštva matematičkih teorema aksiomatizacijom se svodi na pitanje o izvjesnosti ograničenog broja aksioma. Zato je aksiomatizacija važan korak prema odgovoru na pitanje o izvjesnosti, ali korak koji se čini samo tamo gdje postoji neivjesnost.

Ukratko, aksiomi su signal nesigurnosti, a ne sigurne istinitosti onoga što se aksiomatizira.

P.S.

Naravno, podrijetlo aksiomatizacije ne iscrpljuje sve njezine mogućnosti i ciljeve. Aksiomatska metoda, kada je jednom nastala, pokazala se prikladnim sredstvom za ispitivanje logičkih odnosa unutar bilo kojeg sustava znanja, bilo varljivoga bilo izvjesnoga. Zato će, katkada, njezina primjena ovisiti više o tehničkom razvoju same metode nego o zahtjevima predmeta na koji se ona primjenjuje.

Statistika u kaznenom postupku

1. scenarij:

Taksi je prouzročio nesreću i pobjegao. To je nedvojbeno. Poginula je jedna osoba. Za taksijem se traga. Svjedok nesreće tvrdi da je to bio žuti taksi kakve ima kompanija Gradski taksi. Nesreća se zbila noću, na osvjetljenom mjestu i svjedok nema problema s vidom. Iz prakse se zna da su takva svjedočenja pouzdana u 70% slučajeva pa istražni sudac svjedočenje prihvaća kao važnu indiciju.

2. scenarij:

Taksi je prouzročio nesreću i pobjegao. To je nedvojbeno. Poginula je jedna osoba. Za taksijem se traga. U gradu postoje dvije vrste taksija, Gradski taksi koji ima 75% taksija u gradu i Novi taksi koji ih ima samo 25%. Istražni sudac to ne prihvaća kao indiciju da je nesreću prouzročio vozač Gradskog taksija.

Gledano statistički istražni bi sudac u 2. scenariju imao više razloga za sumnjičenje Gradskog taksija nego u 1. scenariju; 75% naspram 70%. No, njegovo je uvjerenje da statistika u 2. scenariju nije dovoljan razlog za pouzdanu sumnju dok svjedočenje konkretne osobe jest.

To je intuicija većine ljudi. Iako, kao većina, i ja imam tu intuiciju ne razumijem zašto. Razumijete li vi?