Albert Einstein (2)

Nakon 10 godina intenzivnoga rada (od 1905. do 1915.) Einstein konačno uspijeva svoju specijalnu teoriju relativnosti proširiti s jednolikih na ubrzana gibanja i uskladiti je s fenomenom gravitacije. Konačni rezultat je opća teorija relativnosti koja princip relativnosti (zahtjev da zakoni fizike imaju isti oblik u svim referentnim sustavima) proširuje na sustave koji se jedni u odnosu na druge gibaju bilo kako (a ne samo jednoliko kao u specijalnoj teoriji).

Sustav u kojem djeluje gravitacijska sila fizički je ekvivalentan sustavu koji je jednoliko ubrzan (ako padate prema Zemlji s ubrzanjem od 9.81 m/sto može biti djelovanje Zemljine gravitacije ali može biti i Zemljino ubrzanje istoga iznosa). Ta fizička ekvivalentnost dokida pojam apsolutnoga ubrzanja referentnoga sustava (kao što je specijalna teorija dokinula pojam apsolutne brzine referentnoga sustava) i trivijalno objašnjava zašto sva tijela u gravitacijskom polju padaju jednako (npr. Galilejeve kugle bačene s tornja u Pisi).

Teorija gravitacije u Einsteinovoj općoj teoriji relativnosti tako postaje geometrijskom teorijom prostora i vremena, koju će Einstein smatrati svojim najvećim znanstvenim otkrićem. Objavio ju je u studenom 1915.

Einstein je bio uvjeren u korektnost svoje teorije zbog „njene matematičke ljepote“ i zbog njenog predviđanja do tada neobjašnjive precesije orbite Merkura. Teorija je predviđala i savijanje zrake zvjezdane svjetlosti oko Sunca, koju je Eddington potvrdio tijekom pomrčine Sunca 29. 5. 1919.

Pred Prvi svjetski rat Einstein je bio jedan od ukupno četiri njemačka intelektualca koji su potpisali manifest protiv njemačkog ulaska u rat. Zgrožen ratnim strastima nacionalizam je proglasio „kugom čovječanstva“ i zaključio da „u ovakvim vremenima čovjek shvati kakvoj jadnoj vrsti životinja pripada“.

Kada su radikalni studenti u studenom 1918. zauzeli Berlinsko sveučilište, uzevši rektora za taoca, postojala je bojazan da bi policijska intervencija mogla završiti krvoprolićem. Einstein i Max Born, obojica poštovani od studenata i profesora, mirno su razriješili tu potencijalno katastrofičnu situaciju.

U međuvremenu Einsteinov se brak raspadao u stalnim svađama oko djece i financija. Povrh svega, ušao je u vezu sa svojom sestričnom Elsom Löwenthal (prvom s majčine i drugom s očeve strane) kojom se kasnije i oženio. Rastao se 1919. uz dogovor da će novac od Nobelove nagrade, ako je ikada dobije, dati Milevi.

Da ju je dobio saznao je u Japanu 1921. (gdje se zatekao na svojoj prvoj svjetskoj turneji) i to za rad o fotoelektričnom efektu, a ne za teoriju relativnosti. Utjecaj teorije relativnosti na boljitak čovječanstva (što je ključni uvjet za dobivanje Nobelove nagrade) vjerojatno još nije prepoznat 1921. Mileva je dobila novce.

Einsteinova teorija relativnosti pokrenula je i modernu kozmologiju. Njegove jednadžbe predviđaju da svemir nije stacionaran, on se širi ili se suzuje. To je bilo u suprotnosti s tada prevladavajućom hipotezom stacionarnosti pa je Einstein ad hoc uveo kozmološku konstantu koja njegov model čini stacionarnim. Kada je Hubble 1929. empirijski utvrdio da se svemir ipak širi Einstein je kozmološku konstantu proglasio “svojim najvećim promašajem”. No, u današnjoj kozmologiji kozmološka konstanta opet ima važnu ulogu u objašnjenju tamne materije i energije (koje čine 85% ukupne materije i 25% ukupne energije). Čini se da je Einsteinov “najveći promašaj” presudan za sudbinu svemira.

Einsteinova uspješnost i slava bili su trn u oku nacistima. Teoriju relativnosti proglasili su židovskom fizikom i promovirali konferencije i knjige koje su je opovrgavale. U Hundert Autoren gegen Einstein koja je izdana 1931. sudjelovali su čak i nobelovci Philipp Lenard i Johannes Stark. Einsteinov komentar bio je da za opovrgavanje njegove teorije nije potrebno sto znanstvenika nego samo jedna činjenica.

Krajem 1932. Einstein je napustio Njemačku u koju se više nikada neće vratiti. Na naslovnici jednog njemačkog magazine objavljena je njegova fotografija uz naslov “Još nije obješen”.

Preduhitrio je Prusku akademiju u tome da ga izbaci tako da je sam istupio. Akademija je pokrenuti proces izbacivanja ipak završila pozdravljanjem njegova istupanja. U tome je sudjelovao čak i Max Planck izjavivši da je “Einstein svojim političkim ponašanjem /tj. osudom nacizma/ daljnje članstvo u Akademiji učinio nemogućim”.

U lipnju 1939. Einstein je američkom predsjedniku Rooseveltu predložio stvaranje atomske bombe kako bi se preduhitrila njemačka nastojanja u tom smjeru. Roosevelt je odgovorio da je osnovao Uranium Committee koji će istražiti to pitanje. Ostalo je povijest. Sam Einstein nije pozvan da sudjeluje u Manhattan Projectu zbog dugogodišnje povezanosti s pacifističkim i socijalističkim organizacijama.

David Ben-Gurion, izraelski premijer, ponudio je Einsteinu 1952. mjesto prvog izraelskog predsjednika, što je on odbio. Nastavio je svoja istraživanja u okviru teorije relativnosti, baveći se crvotočinama, crnim rupama, stvaranjem svemira itd. Ipak, odalečio se od fizikalne zajednice koja se poglavito okrenula kvantnoj teoriji, za koju on jest dobio Nobelovu nagradu ali nikada nije prihvatio njen nedeterminizam. Često je ponavljao „ Bog se ne kocka sa svemirom“ misleći pritom da u temelju svemira ne može biti puki slučaj.

Mnogi tu rečenicu vide kao dokaz Einsteinove vjere, no Bog o kojem se tu govori naprosto je priroda s njenim zakonima (u Spinozinom smislu). Uostalom, sam je to objasnio u pismu koje je na dražbi u Christieu pred dva mjeseca prodano za 3 milijuna dolara: „Riječ Bog za mene nije drugo do izraz i produkt ljudske slabosti, Biblija zbirka vrijednih ali ipak primitivnih legendi i nema te interpretacije, bez obzira koliko suptilne, koja to za mene može promijeniti“.

Umro je u Princetonu 18. 4. 1955. u 77 godini. Ostao je znanstvena i intelektualna ikona, po kojoj je nazvana mjerna jedinica koja se koristi u fotokemiji, kemijski element s rednim brojem 99 i jedan asteroid.

Oglasi
Objavljeno u povijest, znanost | 1 komentar

Albert Einstein

Albert Einstein rođen je u Ulmu 14. 3. 1879. u obitelji ne osobito uspješnog tvorničara Hermana Einsteina i kućanice Pauline Einstein, rođene Koch. Imao je i dvije godine mlađu sestru Mariju-Maju.

S pet godina posebno ga je očarao kompas „čijom su iglom upravljale nevidljive sile“. One će ostati njegovom životnom opsesijom. U dvanaestoj godini postao je toliko religiozan da je napisao nekoliko pjesama u božju slavu. No uskoro je pročitao svoju „malu svetu geometriju“ i druge znanstvene knjige koje su jasno proturječile njegovim religijskim uvjerenjima i povele ga drugim putem.

U petnaestoj godini, nakon poslovnog neuspjeha u Münchenu, roditelji sa sestrom sele u Milano, a on ostaje u školskom internatu ne bi li završio započeto školovanje. Nakon pola godine samovanja i jada bježi iz internata i neočekivano se pojavljuje na roditeljskom pragu u Milanu. Izgledi za nastavak školovanja bili su loši.

Na sreću, švicarska Eidgenössische Polytechnische Schule (buduća slavna Eidgenössische Technische Hochschule, tada još bez sveučilišnog statusa) prihvaćala je studente koji nemaju maturu, ako polože njen prijemni ispit. Albert je položio matematiku i fiziku ali nije prošao francuski, kemiju i biologiju. Zbog briljantnog uspjeha u matematici ipak je primljen, uz uvjet da prije toga maturira. To je i učinio u specijalnoj gimnaziji u Aarauu 1896.

Na studiju se odrekao njemačkog državljanstva pa je bio apatrid do 1901. kada je dobio švicarsko državljanstvo. Ciriških studija Einstein će se uvijek sjećati kao najsretnijih dana u svom životu. Kći Wintelerovih kod kojih je stanovao bila mu je prva ljubav (sestra Maja kasnije se udala za njihovog sina), tu je stekao doživotne prijatelje Michele Bessoa (koji je oženio drugu kćer Wintelerovih) i Marcela Grossmanna. Na studiju je upoznao i buduću suprugu Milevu Marić.

Završetak studija 1900. donio je teške dane. Einstein je preferirao samostalni studij naprednih kolegija pa često nije dolazio na predavanja što su mu neki profesori zamjerali, posebno Heinrich Weber. Ne znajući to Einstein je upravo Webera zamolio za preporuku pri nalaženju akademske pozicije, što je završilo tako da je odbijen gdje god je aplicirao.

Osim toga roditelji su se žestoko protivili njegovoj vezi s Milevom. Ipak, mladi par nije odustao nego je 1902. čak dobio kćer Lieserl. Njena je sudbina nejasna, možda je podlegla šarlahu, a možda je dana na usvajanje.

Bilo je to najteže razdoblje Einsteinova života. Bez zaposlenja nije mogao osnovati i uzdržavati obitelj. Davao je instrukcije iz matematike, koje su mu često otkazivane. Situacija je izgledala beznadno. Otac mu je još jednom bankrotirao, razbolio se, konačno blagoslovio njegov brak i umro. Einsteina je cijeloga života pratila neizmjerna tuga da mu je otac umro misleći o njemu kao promašaju.

Do sretnog je obrata došlo kada ga je otac odanoga prijatelja Grossmana preporučio za službenika Švicarskog patentnog ureda u Bernu. S malim ali redovitim prihodom Einstein se osjećao dovoljno sigurnim de se oženi Milevom, a ni posao nije bio loš i ponižavajući kakvim se obično prikazuje. Zapravo je bio idealan. Analiza patenata oduzimala mu je malo vremena pa se mogao posvetiti problemima fizike kojima je bio opsjednut još od svoje šesnaeste godine.

Rezultati su bili zapanjujući. U jednoj jedinoj 1905. godini (u fizici danas poznatoj kao „godini čuda“) objavio je četiri rada koji su svaki za sebe bili prekretnica u povijesti fizike i znanost uopće.

U Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt, uz pomoć tek nastajuće kvantne teorije, objasnio je kako fotoni (kvantni paketi svjetlosti) izbijaju elektrone iz metala. To je bila jedna od prvih potvrda kvantne teorije.

U Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen dao je prvi eksperimentalni dokaz za postojanje atoma čime je konačno dokinut koncept kontinuirane materije.

U Zur Elektrodynamik bewegter Körper uveo je specijalnu teoriju relativnosti koja je odbacila do tada neprikosnovenu Newtonovu mehaniku. Einstein je prvi shvatio da su Maxvelova teorija svjetlosti i Newtonova teorija gibanja međusobno kontradiktorne i da je ona koju treba odbaciti Newtonova.

U Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig? izveo je možda najslavniju jednadžbu svih vremena E = mc2. Ona je dala prvo korektno objašnjenje izvora energije na Suncu i bila je temelj stvaranju nuklearne energije na Zemlji.

Fizičari su njegove radove početno ignorirali. To se promijenilo nakon što je najutjecajniji fizičar toga vremena, utemeljitelj kvantne teorije Max Planck, ukazao na njihovu važnost (a i nakon nekoliko eksperimentalnih potvrda Einsteinovih teorija).

Einstein postaje znanstvena zvijezda kojoj se nude najutjecajnije akademske pozicije. Odabire Sveučilište u Berlinu gdje je od 1913. do 1933. direktor Kaiser-Wilhelm-Instituta za fiziku.

Od 1905. do 1915. Einstein pokušava svoju specijalnu teoriju relativnosti proširiti s jednolikih na ubrzana gibanja i uskladiti je s fenomenom gravitacije. Konačni rezultat je opća teorija relativnosti koja princip relativnosti (zahtjev da zakoni fizike imaju isti oblik u svim referentnim sustavima) proširuje na sustave koji se jedni u odnosu na druge gibaju bilo kako (a ne samo jednoliko kao u specijalnoj teoriji).

O tome više sljedeći tjedan.

Objavljeno u povijest, znanost | Ostavi komentar

Lusi

Umrla je mala Lusi, sestrica moje Lili, najslađi dio našeg svakodnevnog psećeg vrtića.

Pretužna je šetnja u dvoje umjesto u troje. Nisam znao da prepoznajem svako mjesto njenog šnjofkanja i sva mjesta njenih zastajkivanja, a sada vidim da ih sve znam i sve ih suzama zalijevam.

To me pametno oko i dalje gleda za radnim stolom. Dok se odmaram na sofi i dalje je osjećam pripijenu uz sebe. Ne izlazi iz misli i najljepših sjećanja.

Bila je izvor neizmjerne sreće i to će zauvijek ostati.

Objavljeno u nema | Ostavi komentar

Brexit kao kuća od karata

Kao glavni problem brexita najčešće se spominje problem granice Ujedinjenog Kraljevstva i Republike Irske. Ona je Sporazumom na Veliki petak 1998. praktično izbrisana i time su prekinuta desetljeća nasilnih sukoba protestanata i katolika Sjeverne Irske. Opća je bojazan da bi povratak granice (koja bi poslije Brexita postala nova granica EU) rezultirao povratkom nasilja.

Zato dogovor premijerke May s EU uključuje backstop koji treba spriječiti povratak na „tvrdu“ granicu. No, problem je da više od 100 zastupnika konzervativne stranke premijerke May odbija backstop i već će zbog toga glasati protiv njenog dogovora s EU.

Ali backstop možda i nije najveći problem brexita. Čak i da irski problem ne postoji brexit je (bez ogromnog šoka za UK gospodarstvo) nemoguće provesti u dvije godine koje su Britancima bile na raspolaganju nakon aktiviranja članka 50 Lisabonskog ugovora. Lanci opskrbe britanskoga gospodarstva tako su duboko integrirani u EU da bi sigurno popucali pod teretom naglo uvedenih carina i provjera na britanskim granicama. Mnogi tu zadaću uspoređuju s restrukturiranjem opskrbnih lanaca postkomunističkih zemalja nakon kolapsa sovjetskog trgovinskog bloka i procjenjuju njeno realno trajanje na najmanje pet godina.

To je problem koji se ne može riješiti ponavljanjem slogana Brexit means Brexit. Svjesna tog problema EU je nudila UK ostanak u zajedničkom tržištu, carinsku uniju ili oboje. To nije prihvaćeno jer Brexit means Brexit. No, ako brexit za Britance znači napuštanje zajedničkog tržišta i carinske unije, a samo s ugovorom o slobodnoj trgovini, onda je njihova vlada trebala jasno i nedvosmisleno tražiti period implementacije od najmanje pet godina kako bi to napravila bez velikih šokova za svoje gospodarstvo.

Naravno, u tom periodu Britanci bi i dalje morali biti  u okvirima europske legislative, što uključuje i godišnju uplatu od 13 milijardi funta u EU budžet (inače iznos neprimjereno malen s obzirom na veličinu UK). To predreferendumska propaganda nije spominjala pa je poslije referenduma takav potez postao politički neprihvatljiv, iako bi bio najbolje i najjeftinije rješenje.

Tu političku prepreku ipak nije moguće ignorirati i ona će se ovoj ili nekoj budućoj UK vladi obiti o glavu, što kasnije to jače. Bilo bi mnogo racionalnije da May nije aktivirala članak 50 dok sve to nije jasno iskomunicirala svim zainteresiranim stranama i postigla oko toga neki barem načelni dogovor. (EU, uistinu pomirljivo, daje signale da se neće protiviti deaktivaciji članka 50 ako UK tako odluči.)

Zašto je May postupila upravo suprotno? Je li moguće da visoki ešaloni britanske politike i administracije nisu do kraja razumjeli duboku isprepletenost britanske i europske ekonomije. Takva nekompetentnost je skoro nevjerojatna.

Biti će ipak da bi razumno i otvoreno razmatranje mogućih opcija potpuno razotkrilo laži na kojima se temeljila kampanja izlaska. Ideja da UK može osigurati dobar deal s laganim pristupom zajedničkom tržištu, uz vlastite od njega neovisne trgovinske ugovore s trećim stranama, oduvijek je bila samo maštarija.

Strah od političkih posljedica jasnoga priznanja ove činjenice odvelo je May na nerealni put, u nadi da će se relativno brzo (prije nego narod shvati da je prevaren) postići nekakav brexit. No, 29. 3. 2019. ističu dvije godine od aktivacije članka 50 i ta se kuća od karata ruši, što se jedino i moglo očekivati.

Objavljeno u Ekonomija, politika | 1 komentar

Teorija igara

Ovdje možete vidjeti moj nastup u “Trećem elementu” na temu teorije igara:

Objavljeno u Ekonomija, matematika | Ostavi komentar

O mudrosti masa

Jedna od najoptimističnijih tvrdnji o demokratskom odlučivanju jest Condorcetov žiri-teorem. On tvrdi da većina neke skupine ima veće šanse da izabere bolju od dvije alternative, nego što je ima bilo koji pojedinac iz te skupine.

Na primjer, ako su šanse 60% da pojedini glasač u nekoj skupini glasa za bolju alternativu onda su šanse da za tu bolju alternativu glasa većina te skupine veće od 60%. U skupini od 3 one rastu na 65%, u skupini od 10 na 75%, a u skupni od 100 čak na 98%.

Ili formalnije, ako je p vjerojatnost s kojom svi glasači glasaju za bolju alternativu i ako je p > 50%, te ako je P vjerojatnost da će za nju glasati većina, onda teorem tvrdi da je P > p.

Osim toga, teorem o mudrosti masa dokazuje da P teži prema 100% kada skupina neograničeno raste (što ilustrira i gornji primjer).

Čak i za veoma mali p šanse da većinski P bude skoro sigurnih 100% dostiže se za skupine kakve susrećemo u uobičajenim glasanjima. Na primjer, za pojedinačni p = 51% u grupi od 10 000 većinski je P = 99.97%.

Dakle, rezoniraju mnogi, ta matematički dokazana tvrdnja o mudrosti masa opravdava većinsko donošenje odluka kao temelj demokratskog odlučivanja.

No, svaki matematički teorem pa tako i ovaj ima svoje pretpostavke koje u stvarnosti možda nisu lako ostvarive. Izvorni Condorcetov teorem pretpostavlja

1) da postoji bolja alternativa,

2) da svi glasači za nju glasaju s istom vjerojatnošću (bar nešto) većom od 50% i

3) da svi glasaju nezavisno jedni od drugih.

Prvi uvjet je zadovoljen u mnogim situacijama iako ga krajnji relativisti dovode u pitanje u svim situacijama („bolje i lošije su relativni pojmovi“, „istina je subjektivna“ itd.).

Drugi je uvjet zaista daleko od stvarnosti ali postoje novije varijante teorema o mudrosti masa koje ne pretpostavljaju da svi glasaju s istom vjerojatnošću većom od 50%. Na primjer, dovoljno je pretpostaviti da je prosjek pojedinačih vjerojatnosti veći od 50%.

Uvjet nezavisnosti meta je najžešćih kritika: „glasači koji međusobno komuniciraju utječu jedni na druge“, „glasači su izloženi istim izvorima informacija što ih čini međusobno zavisnima“ itd. Naravno, svi ti utjecaji nedvojbeno su faktori koji formiraju vjerojatnost p s kojom će pojedini glasač glasati za bolju alternativu; no kada se konačno nađe sam u glasačkoj kabini on s tom vjerojatnošću p glasa nezavisno.

Dileme oko primjena teorema o mudrosti masa u stvarnim situacijama postoje, no one ipak ne gase svjetlo koje teorem baca na većinsko odlučivanje.

Na kraju evo i osnovne ideje dokaza da za pojedinačni p > 50% većinski P teži prema 100% kada skupina glasača neograničeno raste.

Na primjer, ako svih 1000 glasača glasa za bolju alternativu s vjerojatnošću od 60% onda će njih cca 600 glasati za bolju alternativu. Je li tih cca 600 većina ovisi o tome koliki je otklon od 600 sadržan u kvalifikaciji „cca“ (ako je on veći od 100 većina nije zagarantirana).

Prema zakonu velikih brojeva, vjerojatnosti tih većih otklona teže prema 0% kada skupina neograničeno raste, tj. vjerojatnosti da većina glasa za bolju alternativu teže prema 100% kada skupina neograničeno raste.

Objavljeno u matematika, politika | Ostavi komentar

Zbunjujuće vjerojatnosti

Ovaj stari problem iz vjerojatnosti (ne toliko slavan kao Monty Hall ili dvije omotnice) zbunjuje mnoge i dan danas.

  1. PROBLEM

Bar jedno dijete majke s dvoje djece je kćer. Kolika je vjerojatnost da je i njeno drugo dijete kćer?

 Automatski odgovor većine (uključujući i matematičare) je 1/2. Nakon malo razmišljanja, većina matematičara će ipak zaključiti da je tražena vjerojatnost 1/3. Naime, četiri jednako vjerojatne mogućnosti za dvoje djece su:

  Prvo dijete Drugo dijete
1. Kćer Kćer
2. Kćer Sin
3. Sin Kćer
4. Sin Sin

Budući da je 4. mogućnost isključena (jer majka ima bar jednu kćer), šanse za obje kćeri su 1:2, tj. tražena vjerojatnost je 1/3.

No, to nije sve. Obično slijedi ovaj problem.

  1. PROBLEM

Prvo (starije) dijete majke s dvoje djece je kćer. Kolika je vjerojatnost da je i njeno drugo dijete kćer?

Sada su svi (uključujući i matematičare) oprezni. Možda je i to 1/3, ili je sad ipak 1/2?

Pogledamo li opet tablicu svih mogućnosti za dvoje djece, vidimo da su sada isključene 3. i 4. mogućnost (jer je prvo dijete kćer). Dakle, šanse za obje kćeri sada su 1:1, tj. tražena vjerojatnost je 1/2.

Mnoge, bez obzira na ovu korektnu matematičku argumentaciju, i dalje zbunjuje razlika u odgovorima na prvi i drugi problem.

Zašto se informacija da je bar jedno dijete kćer toliko razlikuje od one da je prvo dijete kćer? Zašto ta razlika implicira promjene odgovarajućih vjerojatnosti?

Prije nego objasnimo tu zbunjenost, pogledajmo još jednu formulaciju tih istih problema:

  1. PROBLEM

Obitelj ima dvoje djece, Vanju i Sašu. Ako je jedno dijete djevojčica kolika je vjerojatnost da je i drugo djevojčica?

  1. PROBLEM

Obitelj ima dvoje djece, Vanju i Sašu. Ako je Vanja djevojčica kolika je vjerojatnost da je i Saša djevojčica?

„Jedno“ u prvom pitanju treba shvatiti kao „bar jedno“. To je matematički standard koji je u opreci s uobičajenim razumijevanjem. (Uobičajeno „jedno“ znači ono što za matematičare znači „točno jedno“. Za nematematičare je „točno“ nepotrebni dodatak.)

Odgovarajuća tablica mogućih slučajeva sada izgleda ovako:

  Vanja Saša
1. Kćer Kćer
2. Kćer Sin
3. Sin Kćer
4. Sin Sin

I odgovori su isti. Prvo pitanje isključuje 4. mogućnost (jer je bar jedno dijete djevojčica), pa je tražena vjerojatnost 1/3.

Drugo pitanje isključuje 3. i 4. mogućnost (jer je Vanja djevojčica) pa je tražena vjerojatnost 1/2.

Ova formulacija, bez obzira na korektnu matematičku argumentaciju, mnoge zbunjuje još i više.

Po čemu je informacija o „jednom i drugom“  različita od informacije o „Vanji i Saši“? Zašto ta razlika implicira promjene odgovarajućih vjerojatnosti? Zar nije potpuno nebitno kako se djeca zovu?

Problem je kako razumijemo „jedno“. Već smo rekli da „jedno“ može značiti bar jedno, ali i točno jedno. No, može značiti i određeno jedno. Kada majku vidim s jednom njezinom kćeri to je potpuno određena djevojčica (ta koju upravo vidim). S druge strane, kada kažem da majka ima jednu kćer nisam time potpuno odredio tu djevojčicu.

Ako je djevojčica točno jedna onda je drugo dijete sigurno dječak (tj. vjerojatnost da je drugo dijete kćer je 0). Ako je djevojčica određena jedna (npr. ova koju vidim ili ona koja je starija ili ona koja se zove Vanja itd.) onda je vjerojatnost da je drugo dijete kćer 1/2. Ako je djevojčica bar jedna (dakle, ne znam je li ova ili ona od majčina dva djeteta) onda je vjerojatnost da je drugo dijete kćer 1/3 (naravno, ni za to drugo dijete ne znam je li ovo ili ono).

Da se stvarno radi o tome na koje značenje termina „jedno“ mislimo, pokazuje i sljedeći rezultat psihološkog eksperiment koji je više puta repliciran:

Kada ljudima postavite pitanje „Ako majka ima dvoje djece i bar jedno od to dvoje je kćer, kolika je vjerojatnost da je i drugo kćer?“ njih 85% pogrešno odgovara da je to 1/2.

Ako im postavite zapravo isto pitanje „Ako majka ima dvoje djece i to nisu dva sina, kolika je vjerojatnost da su obje kćeri?“ postotak pogrešnih odgovora pada na 39%.

Mislim da je razlog naprosto to što se u drugoj formulaciji ne pojavljuje višeznačni termin „jedno“.

Osim toga, automatski prvi odgovor 1/2  postaje jasniji ako razmislite koje su moguće interpretacije uvjeta:

Bar jedno dijete majke s dvoje djece je kćer.

Ako anketirate majke koje imaju bar jednu kćer i jedna vam kaže da ima dvoje djece onda je vjerojatnost da joj je i drugo dijete kćer 1/3.

Međutim, ako ste majku sreli s tom kćeri i ona vam je rekla da ima još jedno dijete onda je vjerojatnost da je drugo dijete kćer zaista 1/2.

Druga je situacija prirodnija (i to objašnjava automatski odgovor 1/2). No, u tom slučaju koristite više informacija nego je zadano. Naime, koristite se informacijom da je ta „bar jedna kćer“ upravo određena djevojčica koju vidite s majkom. To u problemu nije zadano (iako je prirodnije) i zato je točan odgovor 1/3, a ne 1/2.

((( Takvo automatsko podrazumijevanje informacija koje zapravo nemamo često je. Ono je posebno uobičajeno u situacijama u kojima sa zadanim informacijama problem ne možemo riješiti. Kako biste na primjer riješili sljedeći problem.

  1. PROBLEM

Bacam dvije kovanice. Medu (5 kuna) i slavuja (2 kune). Vi ne vidite rezultat bacanja ali ja vam kažem da je rezultat bacanja mede glava. Kolika je vjerojatnost da je i rezultat bacanja slavuja glava?

Vjerojatno ćete odgovoriti 1/2, pretpostavljajući da je ono što vam kažem o medi ekvivalentno vašem viđenju mede. Pod tom pretpostavkom to je točan odgovor. No ta pretpostavka ne slijedi iz prešutne pretpostavke da vas ja istinito informiram.

Možda postupam na sljedeći način. Ako je rezultat točno jednog bacanja glava kažem vam koji je novčić s tim rezultatom. Ako su oba rezultata glava, slučajno odaberem jedan novčić i kažem vam da je rezultat bacanja tog novčića glava. Ako rezultat nijednog bacanja nije glava, kažem vam upravo to. U tom slučaju točan je odgovor 1/3.

Bayesovci će razumjeti da se tu radi o tome da vjerojatnosti najčešće nisu svojstva stvarnosti nego su mjere naših znanja o stvarnosti; no to je nova velika tema. )))

Prije završne riječi o „određenom i neodređenom jednom“, ukazat ću na još jedan način rješavanja gornjih problema, koji je mnogima razumljiviji.

Umjesto o vjerojatnostima možete misliti o frekvencijama. Rješenje 1. problema tada izgleda ovako.

Zamislite skup od 4000 majki koje sve imaju po dvoje djece. Pošaljete kući one majke koje nemaju kćeri, a od preostalih neka dignu ruku one koje imaju dvije kćeri.

Kući je otišlo cca 1000 majki, a od preostalih cca 3000 majki ruku je diglo njih cca 1000. Dakle, vjerojatnost da majka s bar jednom kćeri  ima dvije kćeri je 1/3.

Sada lakše vidimo da se zapravo ne radi o majkama nego o obiteljima koje one predstavljaju. Obitelji su tipa KK, KS, SK i SS i populacija obitelji (predstavljenih majkama) izgleda ovako:

Obitelji
KK cca 1000
KS cca 1000
SK cca 1000
SS cca 1000

 

(Naravno, KK je kratica za „starije dijete je kćer i mlađe je dijete kćer“, KS za „starije je dijete kćer i mlađe je dijete sin“ itd.)

Obitelji čije su predstavnice poslane kući su precrtane, pa je frekvencija obitelji tipa KK među preostalim obiteljima cca 1000/3000, tj. vjerojatnost da obitelj s bar jednom kćeri  ima dvije kćeri je 1/3.

Razmotrimo na isti način i sljedeći problem.

  1. PROBLEM

Bar jedno dijete majke s dvoje djece je kćer. Kolika je vjerojatnost da kćer iz takve obitelji ima sestru?

Sada zamislite skup od 4000 majki (koje sve imaju po dvoje djece), a na kojem je i njihovih 8000 djece. Pošaljete kući (zajedno s njihovom djecom) one majke koje uopće nemaju kćeri, a od preostalih kćeri neka dignu ruku one koje imaju sestru.

Tu se ne radi ni o majkama, ni o obiteljima koje one predstavljaju, nego o kćerima. Populacija kćeri u obiteljima tipa KK, KS, SK i SS sada izgleda ovako:

Kćeri
KK cca 2000
KS cca 1000
SK cca 1000
SS 0

 

Na skupu je ostalo cca 2000 kćeri bez sestre i cca 2000 kćeri sa sestrom, pa je frekvencija kćeri koje imaju sestru cca 2000/4000, tj. vjerojatnost da kćer u obitelji s dvoje djece ima sestru je 1/2.

Dakle, razlika između 1. i 6. primjera je razlika među populacijama koje razmatramo. U 1. slučaju razmatramo populacije obitelji s dvoje djece, a u 6. populacije kćeri iz takvih obitelji.

I na kraju još samo par riječi o „određenom i neodređenom jednom“.

Vidjeli smo da „neodređeno“ bar jedno dijete u 1. problemu daje vjerojatnost 1/3, dok „određeno“ starije dijete u 2. problemu daje vjerojatnost 1/2.

No, između potpune neodređenosti bar jednog i potpune određenosti starijeg postoje mnoge gradacije određenosti. Na primjer, kako bismo riješili sljedeći problem.

  1. PROBLEM

U nedjelju rođeno dijete majke s dvoje djece je kćer. Kolika je vjerojatnost da je i njeno drugo dijete kćer?

Na prvi pogled može nam se činiti kako informacija da je kćer rođena u nedjelju ne znači ništa (kada ne razumijemo značaj neke informacije najčešće mislimo da je ona beznačajna). To nije točno. Može se pokazati da je u ovom slučaju vjerojatnost obje kćeri 13/27, no to prelazi okvire ovoga bloga.

Objavljeno u matematika | Ostavi komentar