Socijalni darvinizam: 1. Začetnici

Termin  “socijalni darvinizam” uglavnom se koristi za splet ideja koje opravdavaju eksploataciju slabih od strane jakih pod parolom “preživljavanja najsposobnijih”  (npr. Barack Obama koristio je taj termin u napadima na svoje republikanske protivnike, govoreći da su njihove politike samo „prikriveni socijalni darvinizam“). Taj se izraz uvijek koristi kao pežorativni opis tuđeg stava; nitko sam sebe ne naziva socijalnim darvinistom. Osim toga, ljudi koji su etiketirani kao socijalni darvinisti gotovo se nikada ne koriste Darwinovom teorijom evolucije za opravdanje svojih stavova (veoma glasan dio republikanaca tu teoriju u potpunosti negira).

Za Darwinove poglede može se reći da su u njegovo vrijeme bili progresivni. Bio je žestoki protivnik ropstva i sve je rase smatrao dijelom jedinstvene ljudske vrste (mada je kao dijete svojeg vremena podrazumijevao da su muškarci intelektualno superiorni ženama). Smatrao je da bi selektivni uzgoj djelovao na ljude, kao što djeluje na biljke i životinje, ali mu se protivio, jer bi selekcija ljudi narušila moralne osjećaje koji ljudsko društvo drže na okupu. Kada je riječ o ljudskom društvu, Darwin je evolucijski potencijal kooperacije smatrao snažnijim od evolucijskog potencijala kompeticije.

Kada se termin “socijalni darvinizam” počeo upotrebljavati, zapravo se nije odnosio na Darwinova stajališta, nego na laissez-faire stavove Herberta Spencera i Thomasa Malthusa koji su prethodili Darwinovoj teoriji evolucije. Epitet je ipak ponio Darwinovo ime, jer su Spencer i Malthus pali u zaborav, a Darwin je bio opće poznat. Ljudi koji su upotrebljavali taj termin nisu toliko brinuli o razlikama koje Darwina odvajaju od Spencera i Malthusa koliko o stigmatiziranju protivnika (o čemu više kasnije).

Mada je Darwin bio oprezan, bilo je neizbježno da drugi počnu razmišljati o implikacijama njegove teorije na javne politike. Trojica najslavnijih bili su Francis Galton, Thomas Huxley i Petar Kropotkin.

Galton je bio Darwinov bratić. Njegova knjiga Hereditary Genius uspješno je dokazivala nasljednost ljudskih sposobnosti (na temeljima statistike koju je razvijao njegov prijatelj i suradnik Karl Pearson) i smatrao je smislenim provođenje programa koji favorizira reprodukciju ljudi sa željenim sposobnostima. Programu je dao ime „eugenika“. Njegovi konkretni planovi bizarna su smjesa liberalnih i konzervativnih ideja. Svatko treba dobiti prvoklasno obrazovanje. Dohodak treba biti rezultat rada, a ne nasljeđivanja. Sposobnosti imigranata treba provjeriti i samo najbolje treba naturalizirati. Nakon što je svima pružila jednake šanse, država onima koji ne uspiju treba osigurati ugodan život, bez reprodukcije, u odijeljenim muškim i ženskim samostanima.

Huxley, koji je sam sebe zvao Darwinovim buldogom i čija se knjiga Evolution and Ethics i danas tiska, ismijavao je Galtonovu eugeničku viziju kao “politiku golubinjaka”, jer nitko nije dovoljno pametan da „među stotinama četrnaestogodišnjaka može razdvojiti one koje treba zadržati kao sposobne članove društva od onih koje treba kloroformirati, jer to nisu”. Ipak, Huxley je smatrao da neka vrsta odabira mora postoji, jer bi ljudsko društvo inače bilo nemoralno kao i prirodni svijet (naša evoluirana strast za slijeđenjem sebičnih interesa dovela bi do uništenja društva, da na neki način nije ograničena). Srećom, osim sebičnih instinkata, imamo instinkte koji stvaraju moralna društva. Jedan od ključnih je strast za održavanjem dobre reputacije: „Sumnjam da je ikada živio filozof, koji zna da ga prezire makar i običan dječak s ulice, a da ga to nimalo ne smeta.” Dakle, evolucijom je već stvoreno ono što društvo održava moralnim (to je i Darwinov stav iznesen u knjizi Descent of Man, ali buldog ga je izrazio glasnije).

Kropotkin je bio je ruski princ koji je titulu odbacio s 12 godina i postao anarhist koji se zalaže za komunističko društvo bez središnje vlasti. Više je puta zatvaran zbog revolucionarne aktivnosti, da bi potom emigrirao u Britaniju, Švicarsku i Francusku. U Rusiju se kao heroj vratio 1917. godine, ali se razočarao boljševičkim preuzimanjem vlasti. Kropotkinov glavni doprinos evolucijskoj teoriji bila je njegova knjiga Uzajamna pomoć: faktor u evoluciji, koja je objavljena 1902. Tvrdio je da naglasak na kompeticiji ne slijedi iz teorije evolucije nego je artefakt britanskog kapitalizma. U stvarnosti većina vrsta živi u skupinama čiji se članovi međusobno pomažu u zajedničkoj borbi s okolišem. Dokazivao je da su domorodačka društva prvenstveno kooperativna i da njihov oblik suradnje može predstavljati model za moderno društvo (bez potrebe za jakom središnjom vlasti).

Malthus, Spencer i Galton vidjeli su kompeticiju kao izvor društvenog napretka, dok su Darwin, Huxley i Kropotkin jasno vidjeli njene korozivne učinke i naglašavali ulogu suradnje. Evolucijska teorija različitim ljudima znači različite stvari. To se može i očekivati kada važna nova ideja počinje djelovati na postojeće svjetonazore. Biti će potrebna desetljeća da se te stvari razbistre, baš kao što će biti potrebna desetljeća kako bi se razbistrile implikacije Darwinove teorije u biološkom svijetu. Nažalost, u istraživanjima društva, taj je proces bio bitno usporen pogrešnim uvjerenjem da Darwinova teorija tu nužno vodi pogubnim ishodima.

Preporuka Knjige za klikeraše u Novostima

https://www.portalnovosti.com/tri-znanstvena-favorita

Pogledi i činjenice nakon brexita

Britanski pogled na EU bolji je nego ikada. Postotak britanskih građana koji s odobravanjem gledaju EU je zelen, a onih s negativnim pogledom je plav:

Možda je razlog što više nisu u EU a možda je i zbog broja imigranata iz EU i izvan EU koji pristižu u UK (inače glavni motiv brexita za većinu glasača):

Broj mrtvih (od covida) na milijun stanovnika

Nekada smo bili iznad svjetskog prosjeka sada (7. 1. 2020.) smo debelo iznad:

Country, Other	Deaths/ 1M pop
1	San Marino	1,884
2	Belgium	1,712
3	Slovenia	1,405
4	Bosnia and Herzegovina	1,288
5	Italy	1,279
6	Liechtenstein	1,257
7	North Macedonia	1,239
8	Czechia	1,177
9	UK	1,153
10	Bulgaria	1,150
11	Peru	1,144
12	Montenegro	1,134
13	USA	1,121
14	Spain	1,105
15	Andorra	1,086
16	Hungary	1,070
17	Croatia	1,043
18	France	1,019
19	Mexico	1,003
20	Panama	985
21	Armenia	978
22	Argentina	968
23	Switzerland	941
24	Brazil	934
25	Sweden	914
26	Chile	881
27	Colombia	874
28	Romania	856
29	Luxembourg	825
30	Poland	799
31	Ecuador	796
32	Bolivia	790
33	Moldova	771
34	Lithuania	768
35	Portugal	734
36	Austria	727
37	Netherlands	704
38	Georgia	676
39	Iran	662
40	Belize	648
41	Sint Maarten	626
42	South Africa	533
43	Malta	516
44	Slovakia	498
45	Greece	495
46	Germany	467
47	Aruba	467
48	Ireland	465
49	Ukraine	447
50	Costa Rica	443
51	Bahamas	443
52	Canada	436
53	French Polynesia	429
54	Albania	425
55	Tunisia	421
56	Latvia	421
57	Russia	414
58	Serbia	399
59	Jordan	387
60	Israel	386
61	Guadeloupe	385
62	Channel Islands	384
63	Gibraltar	327
64	Paraguay	326
65	Honduras	320
66	Iraq	316
67	Saint Martin	308
68	Palestine	298
69	Isle of Man	293
70	Oman	291
71	Azerbaijan	279
72	Guatemala	272
73	Turkey	263
74	Denmark	256
	World	243.9

Pogled na glavne sile

Sljedeća dva grafa pokazuju kako se, u nekim od najrazvijenijih zemalja, pogled na dvije glavne sile 21. stoljeća (SAD i Kinu) mijenjao u prvih 20 godina.

Prvi graf prikazuje postotke građana Britanije, Francuske, Njemačke, Japana, Kanade i Australije koji s odobravanjem gledaju na SAD:

Drugi graf prikazuje postotke građana Australije, Britanije Njemačke, Nizozemske, Švedske, Amerike, Južne Koreje, Španjolske, Francuske, Kanade, Italije i Japana koji s odobravanjem (zeleno) ili neodobravanjem (plavo) gledaju na Kinu:

Teorija skupova kao temelj matematike

Danas se aksiomatizirana teorija skupova ZFC (proširena, ako je to potrebno, aksiomima o postojanju velikih kardinalnih brojeva) smatra temeljem matematike. Što to zapravo znači? Najjednostavnije, da se svi matematički pojmovi mogu definirati u toj teoriji te da se iz njenih aksioma mogu izvesti svi matematički teoremi. Nešto detaljnije, da se matematički objekti (poput brojeva, funkcija i sl.) mogu definirati kao određeni skupovi, te da se matematički teoremi (poput osnovnog teorema algebre, analize i sl.) tada mogu promatrati kao izjave o skupovima koje su dokazive iz aksioma teorije skupova. Napomenimo još da je to uranjanje matematike u teoriju skupova danas toliko dobro poznato da često zaboravljamo koliko je ono zapanjujuće.

No, u kojem smislu to uranjanje matematike u teoriju skupova utemeljuje matematiku?

Neki idu tako daleko da uranjanje matematike u teoriju skupova drže njenim ontološkim utemeljenjem. Oni smatraju da je predstavljanje danog matematičkog objekta određenim skupom zapravo otkriće njegovog istinskog identiteta. Benacerraf je upozorio da to ne može biti točno jer, na primjer, Zermelo prirodne brojeve skupovno definira kao ∅, {∅}, {{∅}},. . . , a von Neumann kao ∅, {∅}, {∅, {∅}},. . ., i nema principijelnog razloga da se jedna definicija preferira u odnosu na drugu (postoje praktični razlozi za preferiranje von Neumannovih ordinala, npr. oni se lako generaliziraju na transfinitne ordinale, ali takve stvari nisu pokazatelj toga „što su brojevi zapravo“).

Praksa teorije skupova puna je ovakvih proizvoljnih izbora, poput definicije uređenog para na način Kuratowskog pa je važno upozoriti da su to definicije matematičkih pojmova u teoriji skupova, a ne otkrića identiteta tih pojmova. Iako matematičari u takvim situacijama govore o identifikaciji, npr. realnih brojeva s nizovima nula i jedinica, oni u takvim slučajevima „identifikaciju“ shvaćaju kao „vjernu reprezentaciju“. Naravno, ključno je pitanje što je „vjerna reprezentacija“. Za slučaj uređenih parova to je lako: dva para trebaju biti jednaki ako su im međusobno jednake prve i druge komponente. Slučaj realnih brojeva zahtjevniji je: skup realnih brojeva sa svojim operacijama treba zadovoljiti aksiome potpunog uređenog polja (za koje je prethodno dokazano da su kategorični).

Dakle, uranjanje matematike u teoriju skupova ne daju nikakve duboke ontološke informacije o prirodi matematičkih objekata, uređenih parova, realnih brojeva i sl., niti je to uranjanje tome namijenjeno.

Mnogi “redukciju” klasične matematike na teoriju skupova vide kao nastavak i bar djelomično ostvarenje Fregeovog logicizma. Fregeov projekt bio je epistemološki: ako se matematika može svesti na logiku, tada se matematička spoznaja svodi na logičku (što pobija Kantovu tezu da je ona sintetička a priori). Pod pretpostavkom da je logička spoznaja temeljnija od matematičke to je jasni epistemološki dobitak. Kada se Fregeov logicizam pokazao nekonzistentnim teorija skupova zauzela je njegovo mjesto, ali epistemološka analiza je sačuvana: za matematičke teoreme znamo da su istiniti jer znamo da logički slijede iz aksioma teorije skupova za koje pak znamo da su istiniti. Tako je problem spoznavanja matematičkih istina sveden na problem spoznavanja istinitosti aksioma teorije skupova i valjanosti logičkih dedukcija.

Naravno, već je Russell upozorio (a to zna i svaki matematičar koji je dokazao neki bar donekle složeniji teorem) da naša matematička znanja ne izviru logičkim slijedom iz aksioma, nego se ti aksiomatski sljedovi izgrađuju naknadno, kada je već skupljen veliki fond matematičkih znanja. Dakle, redukcija na teoriju skupova možda je logička, ali sigurno nije epistemološka.

Tako su razmišljali Zermelo i drugi začinjavci, kada su teoriju skupova držali onom granom matematike čiji je zadatak matematički istražiti temeljne pojmove “broj”, “uređaj”, “funkcija” i sl. te na taj način razviti logičke temelje čitave aritmetike i analize. Naknadni razvoj proširio je doseg teorije skupova, u tom smislu, na cijelu klasičnu matematiku. Teorija skupova time je jasno pokazala da je matematika jedinstvena znanost s jedinstvenim predmetom i metodologijom. I ranije su matematičari uspješno povezivali naizgled daleka područja (npr. geometriju, kompleksnu aritmetiku i teoriju funkcija, što je amblematski predstavljeno slavnom formulom e^iπ = -1), ali teorija skupova je tome dala jasan i sveobuhvatan matematički okvir.

Tako je postalo moguće da nešto kažete pa i dokažete o cjelokupnoj klasičnoj matematici. Kada ste je skupili u jedan paket, teoriju skupova, mogli ste npr. postaviti pitanje njezine konzistentnosti, što je i učinila Hilbertova škola.  Naravno, Goedel se pobrinuo, svojim teoremima nepotpunosti, da projekt ne uspije onako kako su se nadali Hilbert i njegovi sljedbenici, ali činjenica je da ni Goedelov rezultat (ako je konzistentna, klasična matematika ne može dokazati vlastitu konzistentnost) nije moguć bez uranjanja cijele klasične matematike u teoriju skupova.

Otkako je Goedel dokazao nedokazivost konzistentnosti klasične matematike (u njenom skupovno-teorijski formaliziranom obliku) dokazana je nedokazivost i mnogih drugih specifično matematičkih tvrdnji; u teoriji brojeva, analizi, algebri, infinitarnoj kombinatorici, teoriji skupova itd. Mnoge od njih moguće je dokazati u teoriji skupova proširenoj nekim aksiomom o postojanju skupova velikih kardinaliteta (ZFC + ) čime se, katkada ne veoma neočekivane načine, proširio „sveobuhvatni matematički okvir“. Naime, dosta je neočekivano (iako smo danas na to već navikli) da za dokaz neke tvrdnje o prirodnim brojevima, koji čine najmanji beskonačni skup, katkada trebamo pretpostaviti postojanje enormno velikih beskonačnih skupova

Ako prihvatimo da dokazivanja ovakvih općih tvrdnji o klasičnoj matematici jest nešto za nju „temeljno”, onda ovdje sigurno nalazimo temeljnu ulogu teorija skupova.

No, to nije sve. Već u Dedekinda nalazimo još jednu temeljnu ulogu teorije skupova: „pronalaženje čisto aritmetičkog i savršeno strogog utemeljenja infinitezimalnog računa“. To Dedekind ostvaruje svojom teorijom realnih brojeva kao rezova u području racionalnih brojeva, koja je izgrađena sredstvima teorije skupova.

Na prvi pogled ovo može izgledati kao samo još jedan primjer teoretske redukcije o kojoj smo već govorili, ali zapravo se radi o još nečemu. Tu nemamo samo matematičke objekte (uređene parove ili realne brojeve) koje „identificiramo“ sa skupovima koji ih „vjerno reprezentiraju“. U ovom se slučaju prilično nejasna slika kontinuuma, koja je matematičarima stoljećima dobro služila za razvoj nevjerojatno uspješnog infinitezimalnog računa, uspješno zamjenjuje pojmovima koji su dovoljno precizni za ono što Dedekind traži: stroge dokaze temeljnih teorema.

Dakle, Dedekindova teorija nije samo skupovno-teorijski surogat, osmišljen da „vjerno reprezentira“, nego je teoretsko poboljšanje. Skupovno-teorijsko zamjena nepreciznog pojma preciznim. To je još jedna utemeljujuća uloga teorije skupova: eksplikacija nedovoljno jasnih matematičkih pojmova.

Jedan od najranijih primjera takve eksplikacije je von Staudtovo rješenje problema razumijevanja idealnih elemenata u projektivnoj geometriji. Na primjer, točke u beskonačnosti u kojima se “sijeku” međusobno paralelni pravci von Staudt identificira sa skupom tih paralelnih pravaca, a zadana točka u beskonačnosti nalazi se na nekom pravcu ako je on u skupu s kojim je ta točka u beskonačnosti identificirana. Na ovaj način, von Staudt je uspio od ne-problematičnog materijala (običnih pravaca) izgraditi surogate za do tada problematične objekte (poput točaka u beskonačnosti) i redefinirati relevantne relacije kako bi potvrdio postojeću teoriju.

S vremenom je postalo jasno da su alati potrebni za ovaj proces “gradnje” (alati koje je von Staudt, kao kasnije Frege, smatrao “logičkim”) zapravo alati teorije skupova. Ova zapanjujuća činjenica, da se metode von Staudta i ostalih svode na svega nekoliko principa koje su koristili rani teoretičari skupova i koje je kasnije kodificirao Zermelo, jest ono što je na kraju omogućilo redukciju klasične matematike na teoriju skupova u gore opisanom smislu.

I na kraju, formalno izvođenje u teoriji skupova (barem u načelu) služi i kao zajednički standard onoga što se smatra rigoroznom matematikom. Zamršena i produktivna isprepletenost mnogih grana moderne matematike implicira da više nije dovoljno svaku pojedinu granu rigorozno zasnivati samu za sebe. Kako bi se zajamčilo da strogost neće biti ugrožena u procesu prijenosa rezultata i metoda iz jedne grane u drugu, bitno je da one budu kompatibilne. Jedini očiti način da se osigura ta kompatibilnost jest da se sve grane izvedu iz objedinjenog polazišta. Univerzum teorije skupova taj je (već deklarirani) matematički okvir, a izvodi iz njegove ZFC aksiomatizacije predstavljaju standard dokaza u matematici. Na primjer, prestižni Annals of Mathematics traži da se hipoteze koje izlaze van okvira ZFC-a (poput postojanja velikih kardinaliteta) eksplicitno navode, dok se one unutar ZFC-a prešutno pretpostavljaju. To zapravo znači da je ZFC njihov službeni standard dokazivanja (naravno dokazi se ne ispisuju u ZFC formalizmu, ali se podrazumijeva da bi to bilo moguće napraviti).

Možemo zaključiti: teorija skupova utemeljuje matematiku kao njen sveobuhvatni okvir, kao mjesto eksplikacije matematičkih pojmova i kao standard rigoroznog dokazivanja.

Neeuklidska geometrija i znanstvena podjela rada

Razvoj neeuklidske geometrije je faktor koji se uvijek spominje kao jedna od motivacija za rigorizaciju matematike općenito, ali i posebno za “degeometrizaciju” (“aritmetizaciju”) analize. Priča je započela, u doba kasne antike, s postavljanjem zahtjeva koji se odnosi na nedokazane postulate i nedefinirane primitivne pojmove Euklidovih Elemenata. Naime, prvi trebaju biti samorazumljivo istiniti, a drugi samorazumljivo smisleni. Peti Euklidov postulat o paralelama tu je u lošem položaju, kao jedini kojem nedostaje samorazumljivost. Sam Euklid implicitno je priznao da je taj postulat problematičan, budući da u ranim dijelovima 1. knjige Elemenata što god može radi bez pozivanja na taj postulat. Počinje ga koristiti (jer mora) tek da bi dokazao teorem o zbroju kutova u trokutu.

Mnogi kasniji autori, od antičkih do modernih vremena, pokušavali su dokazati postulat o paralelama, no uspijevali su ga tek zamijeniti nekim ekvivalentnim postulatom, koji nije bio bitno očigledniji od onoga što je zamijenio. Najpoznatija od ovih ekvivalentnih alternativa, vjerojatno je Playfairov postulat: kroz točku izvan pravca postoji točno jedan pravac paralelan s tim pravcem. Neki autori, među kojima se osobito ističe Girolamo Saccheri, pokušavali su izvesti kontradikciju iz negacije postulata o paralelama (i tako reductiom ad absurdum dokazati sam postulat). U Playfairovoj formulaciji ta negacija ima dva dijela:

(1)  nema paralele kroz zadanu točku i

(2)  kroz zadanu točku postoje mnoge paralele.

Iz njih su izvedene mnoge posljedice koje danas znamo kao teoreme (1) eliptičke geometrije u kojoj je zbroj kutova u trokutu uvijek veći od dva prava kuta, a što je veći trokut veći je i višak, i (2) hiperboličke geometrije u kojoj je zbroj kutova u trokutu uvijek manji od dva prava kuta, a što je veći trokut veći je i manjak.

Saccherijevi napori da izvede kontradikciju iz (1) i (2) nisu uspijevali jer su i eliptična i hiperbolična geometrija konzistentne. Ta konzistentnost oba oblika neeuklidske geometrije na kraju je i strogo dokazana (pod pretpostavkom  konzistentnosti same euklidske geometrije) konstrukcijom modela obaju geometrija unutar euklidske geometrije. Eliptična geometrija modelirana je sfernom geometrijom (u kojoj je “ravnina” sfera, a “pravci” su „dvostruko shvaćene“ velike kružnice). Hiperbolična geometrija je modelirana Poincaréovim diskom (u kojem je “ravnina” područje unutar kruga, a “pravci” su oni lukovi kružnica koji su okomiti na granični krug). I prije nego što su dani ti strogi  dokazi konzistentnosti Janos Bolyai i Nikolaj Lobačevski bili su u nju toliko uvjereni da se nisu libili objaviti svoja djela o novoj hiperboličkoj geometriji.

Carl Friedrich Gauss, koji je na kocki imao veću reputaciju, svoje djelo nije objavio, iz straha od sukoba s Kantovim filozofskim sljedbenicima. Iako konzistentnost neeuklidske geometrije zapravo potvrđuje polovicu Kantovog pogleda na Euklidsku geometriju kao “sintetičku”, a ne “analitičku” (što znači da se ona ne sastoji samo od logičnih posljedica definicija), upitna je druga polovica Kantovog pogleda na euklidsku geometriju, naime, njegova tvrdnja da je ona “a priori”, a ne “a posteriori” (što znači da se njeni principi ne izvode induktivno iz osjetilnog iskustva, nego su spoznatljivi čistim mišljenjem). Konzistentnost neeuklidske geometrije logički ne implicira da je euklidska geometrija „a posteriori“, no čim su matematičari prihvatili konzistentnost neeuklidske geometrije, neki od njih počeli su propitivati ​​imaju li Kantijanci doista uvjerljivih osnova da tvrde da je euklidska geometrija „a priori“.

Gauss je odbacio tvrdnju da je euklidska geometrija „a priori“ tvrdeći da ona ima isti status kao i mehanika. To znači da je istinitost ili neistinitost njenih tvrdnji podložna empirijskom testu i o tome konačno trebaju odlučiti prirodoslovci, a ne matematičari. Na primjer, geodeti bi trebali izmjeriti je li suma kutova koji tvore tri planinska vrha 180 ° ili nije. Gauss je to i pokušao s vrhovima Hoher Hagen, Grosser Inselsberg i Brocken. No, što je Gauss potpuno razumio, neeuklidske geometrije impliciraju da je prostor lokalno euklidski, tako da neeuklidski karakter prostora možda eksperimentalno neće biti prepoznat jer naša mjerenja nisu dovoljno opsežna (a ni dovoljno točna).

Dakle, nijedna geometrijska teorija ne implicira nikakva empirijska predviđanja sama za sebe (bez ikakvih fizičkih hipoteza). Čak i predloženi geodetski eksperiment  pretpostavlja da svjetlost putuje po pravcima, što znači da uz geometriju uključuje i optiku, tj. elektromagnetsku teoriju, a pokazalo se da je geometrija isto tako neodvojiva od gravitacijske teorije.

Tako se pojavila distinkcija, implicitna već u Gaussovom stajalištu, između matematičkih geometrija i fizičke geometrije. Matematike je postala istraživanje raznih matematičkih “prostora”, euklidskih, neeuklidskih, 2, 3, 4 i više dimenzionalnih itd., dok je uloga fizike bila odlučiti koji je od njih najprikladniji kao model fizičkog prostora u kojem živimo.

Dakle, vrijedi li postulat o paralelama u fizičkom prostoru nije stvar o kojoj trebaju odlučiti matematičari. Fizika mora prosuditi koji je matematički prostor prikladan za modeliranje fizičkog prostora, ali jednako je važna spoznaja da matematički prostor koji nije primjeren model fizičkog prostora možda može poslužiti kao model nekog drugog empirijskog fenomena. Na primjer, predstavljanje ekonomskih podataka točkama u višedimenzionalnom Euklidskom prostoru može imati sasvim nepredviđene aplikacije u društvenim znanostima.

Tako dolazi do nove podjele rada. Matematičar proučava neki matematički sustav. Empirijski znanstvenik predlaže hipotezu da taj sustav na neki način modelira određene prirodne ili društvene fenomene, a zatim primjenjuje matematičke rezultate o tom sustavu kako bi došao do empirijskih predviđanja. Ako se predviđanja pokažu netočnima, empirijska hipoteza mora se modificirati ili napustiti i tražiti neki drugi model. No, matematički rezultati o matematički istraženom sustavu ostaju i možda će se jednog dana upotrijebiti u modeliranju nečeg drugog.

Ovaj novi način rada jasno pretpostavlja da matematičar u izvođenju teorema, ni u jednom trenutku ne koristi hipotezu empirijskog znanstvenika da predmetni matematički sustav dobro modelira neki poznati prirodni ili društveni fenomen. Ništa se ne smije pretpostaviti u dokazima matematičkog sustava samo zato što se čini da je odgovarajuća tvrdnja točna o empirijskom fenomenu koji on modelira (ako želimo biti sigurni da matematički rezultat vrijedi čak i ako se ta empirijska tvrdnja pokaže netočnom). Posebno, prostorno-vremenske intuicije ne smiju biti uključene u dokaze. Ako matematika i empirijska znanost žele raditi zajedno uz opisanu podjelu rada, prihvatljivi su samo rigorozni dokazi koji svaki teorem izvode iz eksplicitnih pretpostavki o matematičkom sustavu o kojem je riječ.

Promocija klikeraša na HR3

Skraćenu verziju promocije moje “Knjige za klikeraše – logički pogled na čovjeka i društvo” možete čuti na ovoj snimci emisije Znanstveni koncetrat 3. programa HR-a:

https://radio.hrt.hr/treci-program/aod/knjiga-za-klikerase/363507/

Dječje rješenje

Neki sam dan podsjetio na ovaj stari problem.

Uzmete žlicu vina iz bačve i stavite je u šalicu čaja. Zatim vratite žlicu tekućine iz šalice natrag u bačvu. Sada u šalici imate nešto vina, a u bačvi nešto čaja. Je li na kraju više vina u šalici ili čaja u bačvi?

Dodao sam da je jedan od najvećih matematičara 20. st. Vladimir Arnold tvrdio da su djeca od šest godina sposobna riješiti ovaj problem, ali da je on pretežak za studente iskvarene formalnim matematičkim treningom.

Pitao sam vas koje je vaše rješenje, dječje ili studentsko.

Evo dječjeg rješenja:

Na kraju je šalica čaja puna kao i na početku. To znači da je količina čaja koja nedostaje u šalici, a to je količina čaja u bačvi, jednaka količini vina u šalici.

Problem za vrtić, a ne za fakultet

Uzmete žlicu vina iz bačve i stavite je u šalicu čaja. Zatim vratite žlicu tekućine iz šalice natrag u bačvu. Sada u šalici imate nešto vina, a u bačvi nešto čaja. Je li na kraju više vina u šalici ili čaja u bačvi?

Jedan od najvećih matematičara 20. st. Vladimir Arnold tvrdio je da su djeca iz vrtića sposobna riješiti ovaj problem, ali da je on pretežak za studente iskvarene formalnim matematičkim treningom.

Koje je vaše rješenje? Je li vrtićko ili fakultetsko?