Poslovi

Farbanje (Peking)

farbanje.jpg

 

Čiščenje (Grozni)

grozni čečnija.jpg

 

Obrada lososa (Murmansk)

lososi u murmansku.jpg

 

Održavanje dalekovoda (Kina)

održavanje.jpg

 

Oba aktivni (Indonezija)

xxxoba aktivni.jpg

 

Prodaja novina (Nashville 1909)

mali (8) radnici 1909 nashville.jpg

Objavljeno u nema | Ostavi komentar

Facebook

Ovih dana Facebook je došao do dvije milijarde (različitih) korisnika u jednom mjesecu. Njih 66% fejs koristi svaki dan. Davne 2012. bila ih je „tek“ jedna milijarda i „tek“ je njih 55% fejs koristilo svaki dan.

Google ima jednu i pol milijardu mjesečnih korisnika, WhatsApp i Messenger imaju po 1.2 milijarde, kineski WeChat 900 milijuna, a Instagram 700 milijuna (WhatsApp, Messenger i Instagram u vlasništvu su Facebooka).

Facebook je svoju misiju nekada opisivao sloganom making the world more open and connected“ da bi je nedavno promijenio u „give people the power to build community and bring the world closer together“.

Koju ljudsku potrebu Facebook tako uspješno zadovoljava?

Nakon što zadovoljimo osnovne potrebe (za hranom i skloništem) najviše nas zanima što rade i žele drugi ljudi, a najviše uživamo u tome da ih oponašamo i da se (stoga) svidimo. Ili riječima Petera Thiela prvog velikog fejsovog investitora „imitation is at the root of all behaviour“.

Društveni mediji zadovoljavaju tu temeljnu potrebu. Homo mimeticus je biće koje ne zna što želi nego imitira tuđe želje. On žudi za tim da ga drugi vide onako kako želi da ga vide, a fejs je u cijeloj ljudskoj povijesti najmasovnije sredstvo za ostvarivanje te temeljne težnje. Pa ako je (po namirenju osnovnih potreba) pogled u tuđi život (kako bismo se usporedili i kopirali ono što želimo) konačna istina o našoj prirodi onda fejs doista ne treba kriviti što nam to omogućava.

Mnogi ga ipak kritiziraju; npr. zbog njegove ključne fake news-uloge u Trumpovu izboru.

Naime, u fejsovoj je prirodi da korisnike fragmentira u odvojene grupe istomišljenika (misija „making the world more open and connected“ u praksi se svodi na „connect with people who agree with you“), a ta fragmentacija stvara idealne uvjete za širenje fake news.

Sve je  manji značaj otvorene političke rasprave u odnosu na eho rasprave u izoliranim ideološkim bunkerima. Dok je u otvorenom političkom prostoru lažne vijesti moguće prokazati; na fejsu, ako niste dio grupe kojoj je laž servirana, vjerojatno nikada nećete ni saznati da je laž u opticaju. Sam Facebook se sigurno neće baviti time da je prokaže jer nema apsolutno nikakav financijski interes za prenošenje istine.

Što je uopće Facebookov financijski interes?

Korisnicima fejsa on je besplatan i to je jasan signal da su korisnici proizvoda zapravo proizvod. Fejsovi pravi klijenti su oglašivači koji plaćaju fejsovu sposobnost da njihovim oglasima točno pogađa željenu publiku.

Zašto bi Facebook brinule lažne vijesti – njegov je interes u lociranju targetirane publike, a nju je često lakše locirati preko njenih interesa za lažne vijesti nego za prave (nova „misija“ da se build communities” savršeno opisuje tu ambiciju).

Zato nije neočakivan BuzzFeedov nalaz da su “ u zadnja tri mjeseca američke predsjedničke kampanje fake news s Facebooka angažirale više korisnika nego vijesti New York Timesa, Washington Posta, Huffington Posta i NBC Newsa”. Fejs očito nema motiva da to mijenja (uostalom “to nisu njegovi sadržaji, nego sadržaji njegovih korisnika”).

Spomenimo usput da je fejs uz prevarantske sadržaje prepun i ukradenih sadržaja. Od 1000 najgledanijih videa na fejsu 2015. godine, njih 725 je ukradeno. Facebooku je naprosto svejedno od kuda sadržaji stižu i kakva im je vrijednost; osim ako to revoltira korisnike i smanji vrijeme njihovog boravka na fejsu.

Svjestan ovog mogućeg problema Zuckerberg nakon uobičajenog seruckanja tipa „naš je cilj da svakoj osobi damo glas … mi duboko vjerujemo u ljude …“ sve češće izjavljuje da je „99% onoga što ljudi postaju na fejsu autentično“.

A postaju li postaju. I to besplatno. U 2014. čovjećanstvo je potrošilo 40 000 godina na fejsu, i to svaki pojedini dan te godine (tada je imao samo 1.2 milijarde korisnika).

Ukratko, uz sav taj govor o „povezivanju ljudi“, „izgradnji zajednica“ i „vjeri u ljude“, Facebook je oglašivačka kompanija indiferentna prema sadržaju koji objavljuje, osim ukoliko on pomaže targetiranju i prodaji oglasa. Naravno da u takvom kontekstu lažne vijesti istiskuju prave, jer ljudima govore ono što žele čuti, a i lakše ih je proizvesti (naprosto ih izmislite).

Konkretnije, ogromnu bazu podataka, koju ima o svojoj „zajednici“, Facebook koristi za precizno targetiranje kakvo do danas nije viđeno. Ono može biti demografsko: žene između 30 i 40 godina, ili geografsko: ljudi u krugu od 15 km oko Splita, ili temeljeno na fejs profilu: majke djece mlađe od 5 godina, ili još preciznije: muškarci između 20 i 30 godina koji vole turbo folk i piju određeno pivo.

Fejs često može postići da prijatelji targetiranih postaju „sponsored story“ u njihov „news feed“ pa sve skupa ni ne izgleda kao oglas.

Jedan primjer ovako preciznog targetiranja bio je kompromitantni „super-predators“ video Hillary Clinton, koji je slan isključivo afroameričkim demokratskim glasačima u okruzima u kojima se htio smanjiti njihov izlazak na izbore. Nitko drugi nije dobijao taj video. (Akcija uspjela.)

S obzirom na masovnu upotrebu fejsa na mobilnim telefonima, Facebook uz vaš Facebook ID zna i vaš phone ID, kao i sve vaše online aktivnosti (ne samo sve stranice koje ste posjetili nego i sve klikove koje ste ikada kliknuli). Zahvaljujući ugovornoj suradnji s najvećim „kartičarima“ točno zna gdje živite te što ste i kada offline kupovali (online naravno nije u pitanju).

Osim standardnog targetiranja potrošača, Facebook nudi online aukcije u realnom vremenu. Kada dođete na neku stranicu u milijuntinkama sekunde odlućuje se za koje ste oglase prijemčivi – na temelju vaših interesa, prihoda, … . (Zato vas isti oglasi prate iz stranice u stranicu, koliko god vam se one činile nepovezanima.)

To znači da je Facebook još više u poslu praćenja (surveillance business) no što je u poslu oglašavanja. On je zapravo najveći na praćenju temeljeni poduhvat u povijesti čovječanstva.

On o svojim korisnicima zna više no što je ijedna diktatura ikada znala o svojim podanicima.

Zapanjujuće je malen broj fejsovih korisnika koji su svjesni ovih činjenica. No, potpuno su ih svjesni Facebookovi stvarni klijenti, oglašivači.

Njihov glavni problem su lažni klikovi koje plaćaju jednako kao i prave. Procjenjuje se da ih je oko 50% (neke procjene idu i do 90%). To izaziva sve veći revolt prema „ad techu“ kod kompanija koje to plaćaju. Taj revolt klijenata, povezan s udarom regulatornih agencija na Facebook/Google duopol, glavna je prijetnja Facebooku.

No, nije bezopasna prijetnja ni razočaranje korisnika fejsom. Iako se dvije milijarde čine neistopivom masom, dovoljno se sjetiti Myspacea (nekadašnjeg lidera među društvenim mrežama) i njegovog nevjerojatno brzog nestanka.

Opće razumijevanje da se Facebookov poslovni model temelji na praćenju korisnika mogao bi za fejs biti poguban. Kada su 2011. mijenjali svoje „terms and conditions“ (u smjeru pojačanog praćenja) tražili su mišljenje korisnika i dobili 90% negativnih odgovora. Ipak su obavili promijenu, s obrazloženjem da je glasao mali broj korisnika.

Ili ljudi možda ipak zaključe da ih fejs ne usrećuje. Članak Association of Facebook Use with Compromised Well-Being: A Longitudinal Study objavljen u American Journal of Epidemiology zaključuje upravo to.

Objavljeno u politika, psihologija, sociologija | 3 komentara

Svjetska ekonomija u četiri tablice

EM7 (Emerging Market 7) Brazil, Indija, Indonezija, Kina, Meksiko, Rusija, Turska

G7 (Group7) Francuska, Italija, Japan, Kanada, Njemačka, SAD, Velika Britanija

O (Ostali)

 

Doprinos svjetskom outputu:

EM7 G7 Ostali
1990-1999 14% 60% 26%
2000-2009 17% 56% 27%
2010-2016 24% 48% 28%

Očito je da udjeli u outputu najbrže rastu u EM7, bitno sporije rastu kod ostalih, a padaju jedino u G7.

 

Doprinos svjetskom rastu:

EM7 G7 Ostali Svijet
1990-1999 0.42% 1.45% 0.72% 2.6%
2000-2009 1.14% 1.11% 1.10% 3.3%
2010-2016 1.31% 0.86% 0.75% 2.9%

Stope rastu jedino u EM7, u G7 padaju, a kod ostalih su rasle do financijske krize i od tada padaju. Ukratko, najbrže raste EM7, a drugi usporavaju.

 

Godišnji rast:

  2010. 2011. 2012. 2013. 2014. 2015. 2016.
EM7 8.7% 7.2% 5.7% 5.7% 5.0% 4.1% 4.2%
G7 2.8% 1.6% 1.3% 1.4% 1.7% 1.9% 1.5%

 

2017.predviđanje 2018.predviđanje
4.8% 5.1%
1.8% 1.7% 

Za EM7 predviđa se porast rasta u 2017. i 2018, a za G7 samo u 2017.

Predviđeni rast od 5.1%  u 2018. za EM7 je veći od njenog prosjeka od 4.8% u 1990-2008. Predviđeni rast od 1.7%  u 2018. za G7 manji je od njenog prosjeka od 2.2% u 1990-2008.

 

Utjecaj 1% rasta na ostale i na svijet:

na ostale na svijet
EM7 0.86% 0.63%
G7 1.44% 2.02%

(Radi se o rastu koji 1% rast u EM7 ili u G7 nakon dvije godine inducira kod ostalih ili ukupno u svijetu.)

Rast EM7 gospodarstava ima priličan utjecaj na rast ostalih i cijeloga svijeta, ali ne toliki koliki ima rast G7 gospodarstava (naravno, zbog njihovog većeg outputa).

Objavljeno u Ekonomija | Ostavi komentar

Dvostruka žrtva

Tradicija da silovatelj oženi svoju žrtvu i tim “časnim” postupkom spere ljagu sa sebe i nje (?) u prošlosti nije bila nepoznata ni u našim krajevima. Nažalost i danas je prisutna širom svijeta.

Ono što je ipak nevjerojatno jest da se taj relikt prošlosti nalazi i u mnogim zakonodavstvima. Članak 522 Libanonskog kaznenog zakona doslovno sadrži sljedeće:

“U slučaju da se sklopi legalni brak između osobe koja je počinila zločin spomenut u ovoj glavi i žrtve (što uključuje silovanje, otmicu i silovanje maloljetnice), sudski se progon obustavlja, a u slučaju da je presuda već donesena obustavlja se njeno izvršenje.”

Članak očito silovatelju dopušta da izbjegne kaznu ako se oženi žrtvom, a nju dodatno osuđuje da cijeli život ostane u rukama silovatelja (najčešće izložena daljnjem seksualnom i kućnom nasilju).

Dobra je vijest da je Tunis prošli tjedan usvojio zakon o zaštiti žena od nasilja, kojim je ukinut sličan članak. Možda će ga slijediti i druge zemlje Bliskog istoka (Jordan, Libanon, Bahrein, Irak, Kuvajt, Sirija i Palestinski teritoriji) u kojima su slični članci još uvijek na snazi .

U Libanonu je u toku velika propagandna akcija civilnih udruga u tom smjeru:

 

 

 

Mogli bismo pomisliti da je riječ o fenomenu islamskih korijena, no povijest bliskoistočnih zakonodavstava upućuje na otomanski zakonodavni izvor iz 1911. koji pak svoj izvor ima u napoleonskom zakonu iz 1810. Njegov članak 356. u Francuskoj je ukinut tek 1994:

“Otmičar koji oženi otetu maloljetnicu može biti zakonski gonjen samo na zahtjev osobe koja traži poništenje toga braka, a može biti osuđen samo poslije pravovaljanog poništenja braka.”

Osim toga, članke analogne islamskim bliskoistočnim zemljama nalazimo i u kaznenim zakonima katoličkih zemlja Južne Amerike: čl.1088 Argentina, čl. 317 Bolivia, čl. 107 Brazil, čl. 92 Costa Rica (ukinut 2007),  čl. 200 Guatemala, čl. 196 Nicaragua, čl. 225 Panama,  čl. 78 Peru (ukinut 1997), čl. 116 Uruguay (ukinut 2006), čl. 395 Venezuela.

Detaljnije o svemu u:

https://selfscholar.wordpress.com/2012/07/18/the-middle-easts-rape-marriage-laws/#notes

Dodajmo na kraju da je tradicija još gora od prava. To jasno potvrđuju riječi I. Tawalbeh, prve žene istražne sutkinje u Jordanu:

“Prihvaćanje braka po čl. 308. bolje je nego da djevojku ubiju roditelji ili rodbina… Mislim da je zakon prikladan našoj društvenoj stvarnosti. On djevojku štiti (od rodbinske egzekucije) prisiljavanjem njenog napadača da je oženi”.

(Usp. ovdje)

Objavljeno u politika, pravo | Ostavi komentar

Tako nam Bog pomogao

Današnji Većernji (u kolumni Milana Ivkošića) objavljuje:
….
Nadam se da će pritisci protiv Darwina uspjeti
Čitam naslov “U Hrvatskoj samo 57% ljudi vjeruje u teoriju evolucije”. Da nije riječ o ljevičarskom listu, čudio bih se riječi “samo”, jer mislim da u evoluciju ne vjeruje, ili barem Darwinu ne bi trebalo vjerovati, 70 posto Hrvata.
I zato što je ta teorija suprotna našim najdubljim religioznim uvjerenjima i zato što nema ni jednog dokaza o prelasku vrste u vrstu, a to je u temelju njezina učenja, što je poslužila najvećim zlikovcima u 20. stoljeću da uime “jačih” i “viših” rasa poubijaju desetke milijuna ljudi, što je sam Darwin bio rasist koji je smatrao da crnci i druge “niže rase” ne zaslužuju opstanak te što je zahtijevao da se ukinu bolnice koje omogućuju preživljavanje slabima, itd.
Zbog mitskog naslijeđa te zato što je dugo bila zaštićena i nedodirljiva kao najveća svetinja, kao Hitler u nacističkoj Njemačkoj, Staljin u SSSR-u, Tito u Jugoslaviji…, i što se u obrazovanju bila ukorijenila kao korov, i danas se mnogi boje u nju posumnjati.
Pa ako bivši voditelj reforme školstva Boris Jokić kaže kako sada nema opasnosti da se evolucija u Hrvatskoj izbaci iz škola, ali “tijekom rada na kurikularnoj reformi postojali su pritisci od određenih krugova da se upravo to učini”, treba mu reći da će “pritisaka” biti još, nadamo se – uspješnih.
….
Prisega napokon izvučena iz sotonskog zagrljaja
Kad je dr. Franjo Tuđman na prvoj predsjedničkoj prisezi na kraju dodao riječi “Tako mi Bog pomogao”, bila je to višeznačna poruka. Poruka da smo izišli iz komunizma, da se Hrvatska i na državničkoj razini vraća svojim vjerama, pogotovo kršćanstvu, da je prošlo vrijeme u kojem su se kriomice krstila djeca i vjenčavalo u Crkvi, kad je religioznost, pogotovo javna, bila prepreka u zapošljavanju, zatim poruka da se vjeri vratio i sam predsjednik, kojeg će slijediti i mnogi bivši komunisti…
Pa ipak, bilo je onih kojima su te poruke, koje je zacijelo s radošću primilo 90 posto hrvatskog vjerničkog pučanstva, smetale trojici građana koji su podnijeli zahtjeve Ustavnom sudu da riječi “Tako mi Bog pomogao” proglasi neustavnim, diskriminatorskim, jer dovode u pitanje sekularni karakter države.
Mudracima na Ustavnom sudu trebalo je cijelih deset godina da te zahtjeve odbiju, što pokazuje kako se slobodna, suvremena, europska, kršćanska, vjerska Hrvatska još uvijek izvlači iz komunizma. Iz udbaškog mentaliteta u kojemu je neprijateljstvo prema vjeri bilo najdublje ukorijenjeno, uz prisegu “Tako mi Sotona pomogao”.

Objavljeno u obrazovanje, politika, vjera | Ostavi komentar

Bravo Hadži!

Aleksandar Hatzivelkos, jednan od trojice podnositelja zahtjeva za procjenu ustavnosti zazivanja božje pomoći prilikom preuzimanje predsjedničke dužnosti:

Odluka Ustavnog suda je smiješna. Tvrditi, bez ikakvog dodatnog obrazloženja, da izjava ‘tako mi Bog pomogao’ nema vjerski sadržaj i da ne nameće izabranom predsjedniku iskazivanje vjerskog sadržaja u rangu je izjave da novac nije imovina.

To je izjava Ustavnog suca Smiljka Sokola koji je time pokušao braniti novce obitelji Tuđman koje nisu transparentno prijavili. Izgleda da su ustavni suci posebno talentirani za takve vrste izjava.

I nadalje:

Ono što mi je s jedne strane drago je što postoje dva izdvojena mišljenja sudaca koji su dobro argumentirali zašto za tu rečenicu nema mjesta. S druge strane, žalosno je što jasnoća i dobra argumentacija izdvojenih mišljenja pokazuje koliko je loša argumentacija presude koja je donesena.

Presudom je rečeno da se radi o ceremonijalnom činu, pri čemu se uopće nije obrazložilo da li time i ostali dijelovi te prisege predstavljaju samo puku formu ili je za njih ceremonijalni čin samo ta rečenica ‘Tako mi Bog pomogao’.

Mislim da bi bilo zaista apsurdno da imamo predsjednika koji priseže na čuvanje ustavnopravnog poretka, a da on to ne misli ozbiljno. Prisega se ili misli ozbiljno ili ne. Ne mogu se neki dijelovi potpuno arbitrarno proglašavati neozbiljnima, samo ceremonijalnima i bez stvarnog sadržaja, dok se drugi dijelovi prisege smatraju potpuno utemeljenima.

Čitava inicijativa za mene je počela sa željom da se stvari istjeraju na čistac. Htio sam Ustavni sud prisiliti na donošenje odluke i da se jasno izrazi o sekularnosti države. Prema mom mišljenju, Ustavni sud je na tom pitanju pao

I na kraju:

Iskreno, očekivao sam da će ovaj slučaj biti u ladici desetljećima kao vruća tema u koju se ne žele miješati jer Ustavni sud ima takvu praksu s pitanjima koja su im, recimo to tako, škakljiva. Ako ništa drugo, barem su stvari jasnije. Sada se barem jasno vidi što je rezultat trulih kompromisa oko izbora ustavnih sudaca. Nitko nije napravio više na degradaciji ugleda i pozicije koju Ustavni sud ima u ovom društvu od njega samoga.

Hatzivelkosov zahtjev za procjenom ustavnosti Zakona o sklapanju i izvršavanju međunarodnih ugovora, npr. “vatikanskog”, u ladicama Ustavnog suda leži već dugi niz godina.

 

Objavljeno u politika, vjera | 4 komentara

Umrla je prva dobitnica Fieldsove Medalje

Maryam Mirzakhani, jedina žena dobitnica Fieldsove Medalje, umrla je u 41. godini života. Borila se s rakom dojke od 2013.

Fieldsovu Medalju, najviše matematičko priznanje koje se dodjeljuje svake četiri godine, dobila je 2014. za svoje rezultate o geometriji i dinamici zakrivljenih površina s mogućim primjenama u kriptografiji i teorijskoj fizici (poglavito u istraživanju porijekla svemira i kvantnoj teoriji polja).

Sebe je nazivala “sporom matematičarkom”,no svima je bilo jasno da se tu nije radilo o sporosti nego o hvatanju u koštac s izuzetno teškim problemima (kojima se drugi nisu htjeli ili još češće nisu mogli baviti) i dubokom “kopanju” do samih temelja.

Radila je na velikim listovima papira crtajući mnoštvo dijagrama okruženih složenim formulama, pa je njena malena kći na pitanje “što radi mama” jednostavno odgovarala da “mama crta”.

Rođena je u Teheranu i ranu joj je mladost obilježio Iransko-Irački rat. Ravnatelj njene ženske gimnazije bio je dovoljno nepokolebljiv da je ubaci u iransku ekipu za Matematičku Olimpijadu 1994. (u koju nikada prije nije uvrštena jedna djevojka) i tada je osvojila zlatnu medalju. Na sljedećoj Olimpijadi 1995. opet je osvojila zlato, sada sa 100% rezultatom.

Nakon diplome na Sveučilištu Šarif u Teheranu upisala je doktorski studij na Hervardu. Mentor joj je bio C. McMullen, još jedan osvajač Fieldsove Medalje, koji je opisuje kao ženu “koja matematici prilazi neustrašivo”.

Njena disertacija iz 2004. malo je remek djelo. Riješila je dva dugo neriješena problema, koji bi svaki za sebe bio vrijedan disertacije, i još ih k tome povezala na nočekivani naćin. Većina matematičara nikada ne stvori nešto tako kvalitetno, a ona je to uspjela već u svojoj disertaciji. Uistinu spektakularno.

Poslije Harvarda dobila je poziciju na Princetonu i potom na Stanfordu 2008. Tu je zajedno s A. Eskinom, radila na problemu trajektorija “biljarskih kugli” na “stolovima” raznih oblika (kojim si mnogi fizičari i matematičari razbijaju glave već sto godina). Njihovo je istraživanje rezultiralo člankom od preko 200 strana, koji je objavljen 2013. i koji je proglašen “titanskim radom kojim poćinje jedna nova era u matematici”.

Fieldsova Medalja je zaista zaslužena.

Sam dolazak na Svjetski Kongres Matematičara u Seul 2014, na kojem joj je dodijeljena medalja, bio je veliki izazov za Mirzakhani. Iako to tada nije obznanila, bila je u jeku borbe s okrutnom bolešću.

Kao prva žena dobitnica medalje (i prva iz Irana) bila je pod velikim pritiskom. Osim uobičajenog  publiciteta i očekivanja da bude uzor mnogim mladim matematičarima i posebno matematičarkama diljem svijeta, podizala je svoju malu kčerkicu i borila se s rakom. I uz to je ostala znanstveno izuzetno aktivna (nedavno je s A. Eskinom poopćila je jedan rezultat Marine Ratner koja je nesretnom koincidencijom umrla dan prije Mirzakhani u 78. godini).Nastavila je s radom do pred samu smrt.

Bila je jedan od najvećih umova našeg vremena i prema jednoglasnim svjedočenjima kolega i prijatelja predivna osoba.

Iza nje ostala je kći Anahita, muž, roditelji, sestra i dva brata. Sigurno će im nedostajati kao što će nedostajati i matematici 21. stoljeća kojoj je mogla još mnogo toga dati.

I na kraju par riječi za one koji žele bar mali uvid u matematiku kojom se bavila.

Radovi su joj vezani uz Riemannove plohe i u njima povezuju više matematičkih podrućja – hiperboličku geometriju, kompleksnu nalizu, topologiju i teoriju dinamičkih sustava.

Riemannove plohe možemo zamišljati kao proizvoljne plohe u prostoru (sfere, torusi i sl.), no ključni Riemannov uvid (još iz 19.st.) bio je da ih možemo definirati i izučavati neovisno od prostora u koji su smještene (te da neke ni ne možemo smjestiti u 3-dimenzionalni prostor, iako ih je uvijek moguće smjestiti u neki višedimenzionalni prostor).

Početkom 20.st. matematičari su shvatili da ih je topološki moguće karakterizirati jednim jedinim brojem, genusom g te plohe, koji predstavlja broj njenih „drški“. Npr. sljedeće plohe imaju g = 2 i g = 3.

To znači da se dvije Riemannove plohe istoga genusa mogu topološki (tj. rastezanjem i stezanjem, ali bez kidanja) transformirati jedna u drugu, dok za one različitih genusa to nije moguće.

Npr. ploha šalice za kavu i ploha automobilske gume obje imaju g = 1, pa se mogu topološki transformirati jedna u drugu:

Nasuprot tome, nijedna od njih se ne može topološki transformirati u sferu čiji je g = 0.

Nadalje, svaka se Riemannova ploha može identificirati s kompleksnom algebarskom strukturom, kao što se obična ravnina može identificirati sa strukturom kompleksnih brojeva.

Sjetite se srednjoškolske identifikacije kompleksnih brojeva s točkama ravnine:

Ta identifikacija omogućava da se Riemannove plohe izućavaju metodama kompleksne analize, tj. metodama infinitezimalnoga računa u području kompleksnih brojeva.

U tom kontekstu svaka Riemannova ploha postaje algebarskom krivuljom, jer ploha koja je 2-dimenzionalni objekt u odnosu na 1-dimenzionalne realne brojeve (kao koordinate), postaje 1-dimenzionalni objekt u odnosu na 2-dimenzionalne kompleksne brojeve (kao koordinate).

Naravno, Riemannova ploha može se izučavati i uobičajenim geometrijskim metodama; uz pomoć mjerenja duljina, kuteva, površina i sličnih geometrijskih veličina na toj plohi. Takva jedna geometrija, vezana uz određeni tip ploha, je slavna hiperbolička geometrija Gaussa, Bolyaia i Lobačevskog.

Ovi različiti pristupi Riemannovim plohama (putem topologije, kompleksne analize i npr. hiperboličke geometrije) izvor su mnogih dubokih uvida u njihov svijet, uvida za koje je u velikoj mjeri zaslužna i Mirzakhani.

Za plohe je jedan od najvažnijih pojmova pojam geodetske linije. To su one linije koja na najkraći način povezuju svoje točke (npr. u ravnini to su pravci, a na sferi tzv. glavne kružnice sa središtem u središtu sfere).

Prije pola stoljeća dokazan je danas klasični teorem koji kaže da broj zatvorenih geodetskih linija kraćih od N raste eksponencijalno, tj. jednak je eN / N za velike N.

Taj se teorem naziva „teoremom prostih brojeva za geodetske linije“ jer je potpuno analogan „teoremu prostih brojeva“ u aritmetici, koji kaže da je broj prostih brojeva manjih od eN jednak eN / N za velike N (što vjerojatno nije slučajno i cijelu tu teoriju povezuje s aritmetikom).

Mirzakhani je dokazala da u slučaju zatvorenih geodetskih linija koje su jednostavne (tj. ne sijeku se same sa sobom) odgovarajući broj ne raste eksponencijalno nego polinomialno, tj. za velike je N jednak N6g-6, gdje je g genus plohe.

Njen pristup ovim pitanjima i metode koje je razvila omogućili su joj da na nov i iznenađujuć naćin dokaže slavnu Wittenovu hipotezu koja teorijsku fiziku duboko veže uz matematiku (riječima Atiyaha, možda najvećeg živućeg matematičara „fizika opet daje duboke uvide u same temelje matematike i matematičari ponovo obraćaju pažnju na svoje povijesne korijene u fizici“).

To su, naravno, samo neki od njenih rezultata, a i oni tek ovlaš naznačeni.

 

Objavljeno u matematika | 3 komentara