Obrazovanje u medijima

 

U jučerašnjem Jutarnjem (utorak 3. 9. 2119.) čak su četiri cijele stranice posvećene školi i obrazovanju, a samo po dvije automobilima (čiji je rezervirani dan utorak) i nogometnoj reprezentaciji (koja sljedećih dana igra dvije važne utakmice). Pomislili biste, hvale vrijedna briga Jutarnjeg za obrazovanje. No, onda na drugoj stranici istaknuto u okviru vidite ovaj graf pod pretencioznim naslovom „Analiza“:

photo-64-e1567598227665.jpg

Učenik 6. razreda osnovne škole dobio bi jedinicu za tako nacrtani graf. Nastavnica bi mu objasnila, na primjer, da je razlika u postotcima između Francuske i Britanije ista kao i ona između Britanije i Italije, a da razlika u visinama njihovih stupaca prikazuje nešto sasvim drugo. Naravno, to je samo jedna od besmislica koje se mogu uočiti na ovom grafu. Živjelo obrazovanje.

Oglasi
Objavljeno u obrazovanje | Ostavi komentar

Još o aksiomima

U jednom od prethodnih postova objasnio sam zašto aksiomatizacija neke teorije nije znak njene sigurnosti, nego baš suprotno, njene nesigurnosti. Konkretno, starogrčka aksiomatizacija geometrije rezultat je nekih nesigurnosti unutar starogrčke geometrije.

No, osim toga ona je i odgovor grčkih matematičara elejskim filozofima koji su negirali postojanje prostora i gibanja. Objasnit ću točnije što znači to negiranje, jer ono se najčešće pogrešno razumije.

Zenon je svuda oko sebe vidio gibanje i sigurno nije negirao to osobno iskustvo. On je negirao mogućnost da se prostor i gibanje shvate matematički. To su trebali dokazati njegovi slavni paradoksi, koji su često proglašavani praznim sofizmima.

Zašto se strijela ne može pomaknuti? Da bi preletjela jedan metar, ona prije toga mora preletjeti pola metra. No da bi preletjela pola metra, strijela prije toga mora preletjeti polovicu te polovice. Da bi preletjela tu polovicu polovice, ona prije toga mora preletjeti polovicu polovicine polovice, i to se ponavlja u beskonačnost, pa se strijela uistinu nikada i ne može pomaknuti.

Zašto brzonogi Ahil ne može sustići kornjaču koja ima jedan metar prednosti? Kada on stigne do mjesta njezina polaska, ona će već odmaknuti. Kada on stigne do mjesta do kojeg je ona odmakla, ona će još dalje odmaknuti. Kada on stigne do toga daljnjeg mjesta, ona će se odmaknuti do sljedećeg mjesta, i tako u beskonačnost, pa Ahil kornjaču nikada i neće stići.

Kakvi su to argumenti? Već smo rekli da oni ne potječu iz osjetilnog iskustva. Svatko će se lako uvjeriti u let strijele, a za neke on može biti i poguban.

To nije ni matematički argument o idealnim nematerijalnim dužinama. Nema ničeg kontradiktornog u tome da se matematička dužina može beskonačno dijeliti na sve kraće i kraće dužine (sjetimo se dokaza o nesumjerljivosti). Ali poistovjećivanje materijalne putanje strijele s idealnom matematičkom dužinom omogućava Zenonu da izvede zaključak o nepomičnosti strijele koji je u suprotnosti s osjetilnim iskustvom. (Zenonov matematički dio argumentacije nije bio korektan, no to ovdje nije bitno.)

Elejci će zaključiti da to poistovjećivanje nije moguće, tj. da prostor ne postoji kao apstraktni entitet podložan matematičkoj argumentaciji, te da znanost o prostoru i gibanju mora biti utemeljena u osjetilnom iskustvu.

Elejci, suprotno Pitagori, drže da geometrija nije primjenljiva u proučavanju prostora i gibanja. To je moralo uzdrmati vjeru u izvjesnost geometrije kod mnogih koji nisu tako radikalno razdvojili svijet ideja od materijalnoga svijeta i koji su vjerovali da geometrija ima što reći i o ovom drugom svijetu.

Mjesta na kojima je potrebno provesti poistovjećivanja koja će nas uvjeriti u primjenljivost geometrije, njezinom su aksiomatizacijom svedena na minimum koji čine aksiomi i time se kod uzdrmanih bar donekle mogla povratiti vjera u primjenljivost geometrije.

Objavljeno u filozofija, matematika | Ostavi komentar

Nesumjerljivost

U ovom ću se postu detaljnije pozabaviti nesumjerljivošću koja je bila jednom od tema prethodnoga posta.

Pitagora je držao da se odnosi čistih geometrijskih formi mogu svesti na brojevne odnose, što znači da se geometrija može svesti na aritmetiku. U pozadini te redukcije primarna je težnja da se matematika zasnuje kao znanost o čistim formama ili idejama.

Naime, broj je sigurno najčišća matematička forma. Broj 5 lakše odvajamo od petočlane skupine materijalnih predmeta, nego apstraktnu ideju trokuta od konkretnoga materijalnog trokuta. Djeca uče aritmetiku predstavljajući si brojeve konkretnim skupinama predmeta samo u prvom i možda drugom razredu osnovne škole, dok si geometrijske ideje predstavljaju konkretnim materijalnim dijagramima tijekom čitavog školovanja.

Toga su bili potpuno svjesni i stari Grci. Proklo je napisao u svojim Komentaríma Euklidovih Elemenata: “Svakome je jasno da su brojevi čistiji i nematerijalniji od geometrijskih veličina, te da su brojevi kao počelo jednostavniji od geometrijskih veličina.”

Kamen temeljac pitagorejske redukcije bila je pretpostavka da su svake dvije dužine sumjerljive, tj. da uvijek postoji njihova zajednička mjera koja ima ulogu jedinice mjerenja pri uspostavljanju njihova brojevnog odnosa. Na primjer:

____________   a = 12j                _____   b = 5j                    a:b = 12:5

No sami pitagorejci dokazali su da stranica i dijagonala kvadrata nemaju takve zajedničke mjere. Evo i dokaza te činjenice, koji je značajan koliko i sama činjenica nesumjerljivosti.

Ako dužine a i b imaju zajedničku mjeru, npr. kao a = 12 j i b = 5 j na prethodnoj slici, onda uzastopno oduzimanje dužina, koje počinje s a i b, završava u konačnom nizu koraka. U našem slučaju:

12j-5j=7j      7j-5j=2j      5j-2j=3j      3j-2j=1j      2j-1j=1j      1j-1j=0j

Provedimo takvo uzastopno oduzimanje počevši od dijagonale d i stranice a zadanoga kvadrata.

Zbog sukladnosti zelenih trokuta prvo oduzimanje stranice a od dijagonale d daje

d – a = a1,

a drugo oduzimanje daje

a – a1 = d1

pa je treće oduzimanje opet oduzimanje stranice crvenog kvadrata a1 od njegove dijagonale d1. Ono se u smanjenom mjerilu ponavlja na isti način te vodi na sljedeći, još manji kvadrat, u kojem se opet ponavlja isti postupak, itd.

Uzastopno oduzimanje dužina koje počinje dijagonalom i stranicom kvadrata nikad se ne završava, jer generira beskonačni niz sve manjih kvadrata, u kojima se uvijek generira početna situacija. No kada bi dužine a i d imale zajedničku mjeru, postupak oduzimanja morao bi se završiti u konačnom broju koraka. Dakle, a i d nemaju zajedničku mjeru, tj. dijagonala i stranica kvadrata nisu sumjerljive.

Uočimo da je nesumjerljivost mogao dokazati samo teorijski um koji gleda savršene forme ili ideje. Dvije materijalne dužine možemo usporediti samo približno, tj. do neke mjere točnosti, pa svaka dužina kraća od te mjere točnosti praktički postaje zajedničkom mjerom tih dužina samom činjenicom da do nje ne dopire točnost praktičnog mjerenja. Nesumjerljivost stranice kvadrata i njegove dijagonale dokazuje se time što se teorijsko “mjerenje” sve manjih kvadrata ponavlja stalno na isti način, pa se zahvaljujući tome nikada ne završava.

Dakle, u dokazu nesumjerljivosti pojavljuje se beskonačni niz kvadrata koji sigurno prelazi granicu vidljivog, a i sama mogućnost njegove materijalizacije postaje krajnje upitnom. Potpuno je jasno da se dokaz bavi idejom kvadrata.

Pitagorejska težnja aritmetizaciji geometrije ozbiljno je uzdrmana otkrićem nesumjerljivosti. Usprkos tome ona će u matematici stalno biti prisutna i konačno će se realizirati u 19. stoljeću Cantor-Dedekind-Weierstrassovim utemeljenjem pojma realnog broja.

(S druge strane, primijetimo da valjanost pitagorejske zamisli po kojoj su geometrija i aritmetika konstitutivni elementi prirode ne ovisi nužno o međuodnosu aritmetike i geometrije.)

Objavljeno u filozofija, matematika | Ostavi komentar

Jesu li aksiomi sigurne istine?

Razumijevanje aksioma kao izvjesnih i nedvojbeno sigurnih istina gotovo je univerzalno. Lako ga možemo dovesti u pitanje ako se upitamo zašto su grčki matematičari aksiomatizirali geometriju, ali ne i aritmetiku, iako njeni aksiomi nisu manje sigurni od aksioma geometrije.

Usporedite Euklidove aksiome geometrije koji su stari više od dva tisućljeća:

1. Neka se postulira da se od svake točke do svake točke može povući dužina.

2. I da se ograničena dužina može neprekinuto produžiti.

3. I da se svakim središtem i udaljenošću može opisati krug.

4. I da su svi pravi kutovi međusobno jednaki.

5. I ako dužina koja siječe dvije dužine čini unutarnje kutove s iste strane manjima od          dva prava kuta, te se dvije dužine (neograničeno produžene) sastaju s te strane (na            kojoj se kutovi manji od dva prava kuta).

I Peanove aksiome aritmetike koji su stari manje od dva stoljeća:

1. 1 je prirodan broj.

2. Svaki prirodni broj n ima točno jednog sljedbenika n + 1.

3. Broj 1 nije sljedbenik ni jednog prirodnog broja.

4. Ako su sljedbenici dva prirodna broja jednaki onda su i oni jednaki.

5. Ako skup sadrži broj 1 i sljedbenika svakog svog elementa onda on sadrži sve                      prirodne  brojeve.

Aritmetika je aksiomatizirana dva tisućljeća poslije geometrije, tek kada su je logicisti Frege i Dedekind počeli držati relativno neizvjesnom spram neupitno izvjesne logike. Slični su motivi vodili i starogrčke matematičare.

Dokaz nesumjerljivosti dijagonale i stranice kvadrata uzdrmao je izvjesnost geometrije. (U dokazu važnu ulogu igra beskonačni niz sve manjih kvadrata koji se ne da predstaviti nikakvim dijagramom; o tome više u sljedećem postu) . Matematika, kao izvjesna spoznaja, i tu će se više osloniti na sigurno spoznatljive elemente i pokušat će upitnije geometrijske uvide svesti na minimum. Zato će pokušati naći ograničeni broja elementarnih geometrijskih činjenica iz kojih logički slijede sve ostale.

Te osnovne geometrijske činjenice geometrijski su aksiomi, a cijeli ovaj postupak logičkog strukturiranja geometrije, koji je karakterističan za grčku matematiku, naziva se aksiomatizacijom. Dakle, aksiomatizacija matematike od samih grčkih početaka pokušaj je utemeljenja matematike kao izvjesne spoznaje redukcijom njezinih neizvjesnih elemenata na minimum koji čine aksiomi.

Upitna izvjesnost mnoštva matematičkih teorema aksiomatizacijom se svodi na pitanje o izvjesnosti ograničenog broja aksioma. Zato je aksiomatizacija važan korak prema odgovoru na pitanje o izvjesnosti, ali korak koji se čini samo tamo gdje postoji neivjesnost.

Ukratko, aksiomi su signal nesigurnosti, a ne sigurne istinitosti onoga što se aksiomatizira.

P.S.

Naravno, podrijetlo aksiomatizacije ne iscrpljuje sve njezine mogućnosti i ciljeve. Aksiomatska metoda, kada je jednom nastala, pokazala se prikladnim sredstvom za ispitivanje logičkih odnosa unutar bilo kojeg sustava znanja, bilo varljivoga bilo izvjesnoga. Zato će, katkada, njezina primjena ovisiti više o tehničkom razvoju same metode nego o zahtjevima predmeta na koji se ona primjenjuje.

Objavljeno u filozofija, matematika | 4 komentara

Statistika u kaznenom postupku

1. scenarij:

Taksi je prouzročio nesreću i pobjegao. To je nedvojbeno. Poginula je jedna osoba. Za taksijem se traga. Svjedok nesreće tvrdi da je to bio žuti taksi kakve ima kompanija Gradski taksi. Nesreća se zbila noću, na osvjetljenom mjestu i svjedok nema problema s vidom. Iz prakse se zna da su takva svjedočenja pouzdana u 70% slučajeva pa istražni sudac svjedočenje prihvaća kao važnu indiciju.

2. scenarij:

Taksi je prouzročio nesreću i pobjegao. To je nedvojbeno. Poginula je jedna osoba. Za taksijem se traga. U gradu postoje dvije vrste taksija, Gradski taksi koji ima 75% taksija u gradu i Novi taksi koji ih ima samo 25%. Istražni sudac to ne prihvaća kao indiciju da je nesreću prouzročio vozač Gradskog taksija.

Gledano statistički istražni bi sudac u 2. scenariju imao više razloga za sumnjičenje Gradskog taksija nego u 1. scenariju; 75% naspram 70%. No, njegovo je uvjerenje da statistika u 2. scenariju nije dovoljan razlog za pouzdanu sumnju dok svjedočenje konkretne osobe jest.

To je intuicija većine ljudi. Iako, kao većina, i ja imam tu intuiciju ne razumijem zašto. Razumijete li vi?

Objavljeno u psihologija, statistika | 9 komentara

Rješenje zagonetke

 

 

Dakle, Hrvatska je rekorder po udjelu prekarnog rada u populaciji od 15-64 godine.

Za one koji ne znaju što je prekarni rad, to je onaj rad kojeg “karakteriziraju nesigurnost, povremenost i privremenost te niska ili nikakva radna prava i zaštita” (wiki.hr).

Detaljnije se možete obavijestiti u članku:

http://ideje.hr/hrvatska-europski-sampion-prekarnog-rada-nesigurnog-ponizavajuceg-i-rada-na-odredeno-vrijeme/

(iz kojega sam i preuzeo ovaj eurostatov graf), kao i u članku:

http://ideje.hr/hrvatski-intelektualac-na-prekarnom-radu-u-njemackoj-statistika-i-osobno-iskustvo/

Objavljeno u politika | Ostavi komentar

Prvomajska zagonetka

Povodom skorašnjeg praznika rada evo jedne male zagonetke čije ću rješenje objaviti 1. maja:

Koja je veličina prikazana na donjem grafu (u odnosu na koju je Hrvatska najjača zemlja EU)?

prekarni-e1556472346622.png

P.S.

Potaknut pohvalama koji su mi neki čitatelji poslali ovih dana u povodu teksta o 1. maju, koji sam objavio prošle godine, ponavljam ga u cjelosti pod istim motom Upton Sinclaira:

“It is difficult to get a man to understand something, when his salary depends upon his not understanding it.”

ZAŠTO SLAVIMO 1. MAJ

Pred 150 godina 8-satni radni dan bio je tek radnički san; 12-16 sati rada u teškim i nesigurnim uvjetima bila je radnička stvarnost (smrt i ranjavanje bili su redovna pojava na mnogim radnim mjestima).

Agitiranje za kraći radni dan počelo je 1860-tih, no tek je 1880-tih radništvo postalo dovoljno organizirano da FOTLU (Federation of Organized Trades and Labor Unions) na svojoj nacionalnoj konvenciji u Chicagu 1884. proglasi „8-satni radni dan od 1. maja 1886.“  i objavi „da će ga poduprijeti demonstracijama i štrajkovima“.

I tako je 1. maja 1886. više od 300 000 radnika širom SAD-a prekinulo rad i proslavilo prvi May Day u povijesti. U Čikagu je 40 000 krenulo u povorku koja je putem narasla na 100 000 radnika koji su prekinuli rad. Sve je završilo mirno, bez nasilja koje su predviđale novine i vlast.

Do prvog nasilja došlo je 3. maja 1886. u sukobu između policije i štrajkača (s pridruženim anarhistima) koji su priječili ulaz štrajkolomcima u McCormickovu tvornicu. Policija je batinama krenula u razbijanje štrajkaške linije (picket line), štrajkači su uzvratili kamenjem, a policija oružanom vatrom. Dva su štrajkača ubijena i nepoznat broj je ranjen.

Puni gnjeva zbog policijske brutalnosti anarhisti su za sljedeći dan sazvali protestni skup na Haymarket Square-u. Skupilo se svega 3000 ljudi (vjerojatno zbog lošeg vremena i kratkoga roka), među njima i gradonačelnik Čikaga.

Tijekom govora poznatog novinskog izdavaća i anarhiste Augusta Spiesa detektivi su upozorili policiju da bi taj govor mogao dovesti do nasilja (iako je gradonačelnik kasnije izjavio da u govoru nije bilo ničega što bi uputilo na takav razvoj događaja), te da trebaju rastjerati prisutne. Policajci su krenuli u rastjerivanje i tada je netko na njih bacio bombu.

Razbješnjeli policajci poćeli su pucati u masu. Ubili su osam civila i sedam policajaca, te ranili četrdeset civila. Jednog policajca ubila je bomba.

Nikada nije utvrđeno tko je bacio bombu (spekulacije su u rasponu od anarhista do policijskih provokatora).

Uhićeno je osam anarhista, među njima i August Spies, i svi su osuđeni na smrt (samo su tri bila na Haymarketu i to na govornici s koje bomba sigurno nije baćena). Cijeli je svijet gledao kako se osam organizatora skupa osuđuje na smrt zbog njihovih političkih uvjerenja, a ne zbog stvarnih djela. Šest godina kasnije guverner Altgeld pomilovao je trojicu još nesmaknutih, a samo suđenje je nazvao „travestijom pravde“.

Danas je 1. maj praznik rada u 66 zemalja, a slavi se i u mnogim drugim zemljama, iako veoma rijetko u SAD gdje je rođen i gdje je vlast 1. maj proglasila „danom reda i zakona“.

Na Haymarketu ipak stoji spomenik s natpisom:

THE DAY WILL COME WHEN OUR SILENCE WILL BE MORE POWERFUL THAN THE VOICES YOU ARE THROTTLING TODAY.

(Doći će dan kada će naša šutnja biti snažnija od glasova koje danas gušite.)

Danas kada se sjećamo da su ljudi ubijani kako bismo mi imali 8-satni radni dan,  da su domovi s obiteljima spaljivani da bismo mi imali neradnu subotu, da su prosvjednici protiv dječjega rada brutalno premlaćivani, važno je sjetiti se da naš današnji položaj ne uzimamo „zdravo za gotovo“. Ljudi su se borili za dostojanstvo i prava koja mi danas uživamo i još je mnogo toga što trebamo izboriti. Te žrtve ne smijemo zaboraviti i zato slavimo 1. maj.

Objavljeno u politika, povijest | Ostavi komentar