U američkom časopisu Parade svojevremeno je postojala kolumna Pitajta Marilyn. Pisala ju je Marilyn vos Savant žena s najviše ikada postignutih bodova na IQ testu (najviše među svim ljudima, muškarcima i ženama). U kolumni je odgovarala na matematičko-logička pitanja svojih čitatelja. Godine 1990. postavljeno joj je sljedeće pitanje, u vezi sa stvarnom TV-igrom koju je vodio Monty Hall.

Ideja TV-igre je osvojiti nagradu, u ovom slučaju automobil. Monty vam pokazuje troja vrata i obavještava vas da je iza jednih vrata automobil, dok su iza preostalih vrata koze. Vi trebate odabrati jedna vrata i dobiti ono što je iza njih.

Nakon što odaberete jedna vrata Monty odmah ne otvara odabrana vrata, nego otvara jedna od neodabranih i to ona iza kojih je koza (Monty, naime, zna što je iza kojih vrata). Nudi vam da se predomislite, prije nego otvori vrata koja ste konačno odabrali (katkada zahtijeva da platite manji iznos, npr. $50, ako želite promijeniti vrata).

Što biste vi učinili?

Merilyn je svojim čitateljima savjetovala da svakako prihvate ponudu i promijene vrata prije konačnog otvaranja. Objasnila im je da se time šansa za dobitak s 1/3 povećava na 2/3, dakle udvostručuje se.

Intuicija je gotovo svih ljudi da promjena ne donosi ništa. Naime, šansa da je automobil iza jednih od dvaju neotvorenih vrata su jednake. Mariliyn je detaljno objasnila zašto to nije točno, no mnoge nije uspjela uvjeriti (prokleti “okviri”).

U više od 90% pisama u vezi s Monty Hall problemom, pokušavali su joj objasniti da je pogriješila. Mnoga od njih napisali su matematičari i znanstvenici. Evo nekih njihovih reakcija.

Veoma sam zabrinut nedostatkom matematičkih vještina u općoj populaciji. Molim vas priznajte svoju grešku.  Dr. R. Sachs, Sveučilište George Mason

Već je dovoljno matematičke nepismenosti u ovoj zemlji i ne treba nam da je najveći IQ i dalje povećava. Sramota!  Dr. S. Smith, Sveučilište Florida

Šokiran sam da i nakon što su vas tri matematičara ispravila, još uvijek ne vidite svoju grešku.  K. Ford, Državno Sveučilište Dickinson

Siguran sam da ćete primiti mnoga pisma srednjoškolaca i studenata. Zadržite neke adrese možda vam pomognu oko sljedećih kolumni.  Dr. W. R. Smith, Državno Sveučilište Georgia

Potpuno ste u krivu. Koliko iziritiranih matematičara treba da promijenite svoje mišljenje.  Dr. E. R. Bobo, Sveučilište Georgetown

Kada bi svi ovi doktori znanosti bili u krivu nacija bi bila u ozbiljnim problemima. Priznajte svoju grešku.  Dr. E. Harman, Istraživački Institut Vojske SAD-a

Bez obzira na “ozbiljne probleme”  Marilyn je bila u pravu i njeno je objašnjenje bilo točno.

U duhu  posta “o istom koje to možda nije” dati ću jedno drugo, po meni najjednostavnije objašnjenje, koje pokazuje da je odabir vrata u originalnom problemu isto što i odabir vrata u nešto modificiranom problemu. Za taj drugi problem, očito je da će promjena odabira vjerojatnost od 1/3 prevesti u vjerojatnost od 2/3 (dakle udvostručiti će  je).

Modificirani problem je sljedeći. Monty vam, nakon što ste odabrali jedna vrata,  nudi da umjesto njih možete odabrati druga dvoja. To se očito isplati. Vjerojatnost da je automobil iza jednih vrata je 1/3,  da je iza preostalih dvaju je 2/3.

Zašto je to isti problem? Pa zamislite da vam Monty nakon što ste prihvatili ponudu i izabrali dvoja vrata,  otvori ona od vaših vrata iza kojih je koza (on zna što je iza kojih vrata) i kaže “evo tu je koza”. Je li to išta promijenilo? Nije! Montyjevo otvaranje je potpuno nebitno. Je li bitno da ste promjenu učinili prije ili poslije Montyjevog otvaranja? Nije! Montyjevo otvaranje je potpuno nebitno. No, to znači da je originalni problem isti kao i modificirani. Dakle, promjenom udvostručujete svoje šanse.

Uvjerava li vas ovaj ovaj argument da je Marilyn bila u pravu? Moje (ograničeno) iskustvo je da većinu ne uvjerava (valjda su u igri drugi “okviri”). Bio bih zahvalan da mi odgovorite “uvjerava me” ili “ne uvjerava me”. Možete obrazlagati ali ne morate. Unaprijed hvala.

Za one koji još nisu uvjereni predlažem dodatne tri aktivnosti.

1. Proučite neki noviji (svakako ne starijii od 1990.) udžbenik iz vjerojatnosti, u kojem ćete naći detaljnije objašnjenje (to je prijedlog samo za ambiciozne i strpljive).

2. Razmislite o problemu s 1000 vrata (iza jednih vrata je automobil,  iza preostalih 999 su koze).

3. Odigrajte dvije runde od po 30 ponavljanja igre (npr. s dvije crne karte i jednom “nagradnom” crvenom). U prvoj rundi od 30 igara nijednom ne mijenjate odabir,  a u drugoj ga svaki put mijenjate. Možda mi ne vjerujete, ali u prvoj ćete rundi imati cca 10 crvenih “nagrada”, a u drugoj  ćete imati cca 20. (Naravno morate imati Montyja koji će okretati crnu neodabranu kartu.)

Tko i dalje ne bude uvjeren nema mu pomoći.

(Znam, znam, većina će već davno prije odustati. ” Stvar nije baš toliko zanimljiva”. I to je istina.)

48 responses »

  1. Pike kaže:

    Meni nije sporno da će većina ljudi dati krivi odgovor na ovo pitanje(i ja sam ga dao kad sam prvi put čuo), niti da neće prihvatiti/razumjeti argument iz prve (i za ovo sam kriv, u obranu svoje dvojke iz Stohastičke matematike odmah sam shvatio razliku između Monty Halla i Uzmi i ostavi, odnosno nasumične i svjesne eliminacije :)) niti da će dobar dio matematičara dati krivi odgovor, niti da će većina ljudi nakon svih dokaza i dalje ostati u svom uvjerenju.
    Jedino što mi je misterij da matematičar nakon svih dokaza može i dalje ostati u krivom uvjerenju.

  2. Veky (@veky) kaže:

    Prvo, mislim da je prilično jasno da je ogromna većina čitatelja ovog bloga čula za MH problem, i znaju u čemu je štos, bar u matematički idealiziranom slučaju opisanom gore. Ono što mnogi (uključujući Vas) izgleda ne znaju je da originalni problem nije bio tako jasno postavljen. Naime, iz izvornog pitanja nije uopće jasno kako se odlučuje u kojem slučaju se otvaraju neodabrana vrata s kozom.

    Danas uobičajena interpretacija je da se podrazumijeva da se to događa u svakoj instanci igre. No sasvim je u skladu s tekstom pitanja da Monty npr. otvori lijevija neodabrana vrata ako je iza njih koza, ili čak da otvara (neka) vrata s kozom jedino ako je natjecatelj u početku odabrao vrata s autom (u ovom posljednjem slučaju je sasvim jasno da se ne isplati mijenjati:).

    Naravno, uvijek je lakše misliti da su ljudi neznalice, nego da jednostavno nisu rješavali isti problem.😛

    • zsikic kaže:

      naravno zanimaju me odgovori “manjine” koja nije čula (inače, nadam se da mi blog ima širu publiku🙂 )

      evo marilynog originala, pa sami procijenite da li ” problem nije bio tako jasno postavljen”:

      Suppose you’re on a game show, and you’re given the choice of three doors: Behind one door is a car; behind the others, goats. You pick a door, say No. 1 [but the door is not opened], and the host, who knows what’s behind the doors, opens another door, say No. 3, which has a goat. He then says to you, “Do you want to pick door No. 2?” Is it to your advantage to switch your choice?

      ne radi se o “neznalicama”, praktično svi prvo misle da je promjena nebitna, nego o tome kako je teško mijenjati uvjerenja

      npr. uvjerenja “da je izbor između 2 uvijek izbor između 2”, “da ja matematičar u ovakvim stvarima ne griješim kao laici”, “da nematematičar (i još žena) makar i s max-iq nije autoritet” (sumnjam u slične odgovore da je kolumnu potpisao npr. hawking ili penrose), i tko zna kakva još uvjerenja

      marilyn je dobila oko 10 000 pisama koja pobijaju njeno objašnjenje, oko 1 000 od doktora znanosti

  3. vedran2006 kaže:

    zanimljivo, no vrlo banalan problem.
    možda vi preveliku važnost dajete titulama (čudi vas da to doktori znanosti ne razumiju). nadam se da se nećete naljutiti, još jedan od brojnih bias-a kojima ste očito prilično podložni🙂
    Morate se jednostavno natjerati da ste više u Sistemu 2, on je znantno oprezniji.

    nadam se da nećete zamjeriti, izvukao bih jednu paralelu.

    uzmimo jednu vrlo logičnu tezu, da svi problemi u ekonomiji dolaze zbog toga što se neprestano petlja u tržište?
    Mislite li da je nelogično da to velika većina znanstvenika ne vidi? Raznoraznih doktora znanosti i nobelovaca koje vi ovdje citirate?
    Jednog dana u budućnosti ćemo učiti iz ekonomije da tržište mora biti slobodno, kao što smo nakon 90ih učili ovo.

    znam nećete se složiti, možda zato jer ste doktor znanosti :))

    • zsikic kaže:

      ne čudi me, dapače,
      niste shvatili poantu, moj heroj u postu je marilyn a ne doktori,
      (ili ja pišem nejasno ili vi čitate krajnje površno i s preduvjerenjima)

      • vedran2006 kaže:

        kako nisam, pa pola posta ste posvetili odgovorima doktora znanosti sa sveučilišta?
        shvatio sam ja, iako ne razumijem vaše objašnjenje ispod uopće.

        to se da puno jednostavnoje objasniti.

        činjenica da je bolje promjeniti proizlazi iz činjenice da je dvostruko veća vjerojatnost da se kod prvog odabira odabere koza. Što zapravo znači da svaki put kad prvim odabirom odaberemo kozu promjenom dobijemo auto (2/3), a svaki put kad od prve pogodimo auto, dobijemo kozu (1/3).

        Razlog zašto ljudi to ne vide je što razmišljaju intuitivno (sistem 1).

  4. Kapitalac kaže:

    Uvjerava me – je samo u 1/3 zamjena dobivam kozu iz čega proizlazi da u 2/3 zamjena dobivam auto tj. samo u 1/3 NE-zamjena dobavam auto ali i u 2/3 sigurnu kozu.🙂
    Ili u ovom slučaju kratko rečeno, logično i matematički dokazivo, promjenom odabira zamijenjuju se vjerojatnosti.

  5. Meni nije jasno zašto Montyjevo otvaranje nije bitno. Intuitivno mi nije “dohvatljivo” da se isplati promijeniti vrata nakon saznanja da je iza jednih koza (iza jednih od ona dvoja vrata koja nismo odabrali u početku). Tko je kriv za to? Premalo matematike i programiranja u gimnaziji, a previše građe svitkovaca iz biologije? Retardiran mozak?😦

    • zsikic kaže:

      ne, ne, to nema veze sa satima matematike, marilyn je problem razumjela bolje od doktora matematike s brdom tih sati

      “zašto Montyjevo otvaranje nije bitno”

      dakle, odabrali ste jedna vrata i monty vam nudi druga dvoja, slažemo se da se to isplati prihvatiti,
      baš kada ste htjeli prihvatiti monty vas zaustavi riječima “čekajte malo, želim vam pokazati iza kojih vrata je koza”
      je li vam ta informacija bitna? vi znate da je iza (bar) jednih vrata koza, isto tako znate da monty zna iza kojih je i isto tako znate da će vam otvoriti baš ta vrata, ne nudi vam ništa što već ne znate
      zato ćete mu (nadam se) reči “monty, otvorio ih ti ili ne, ja sigurno mijenjam moj prvi odabir”

      • vedran2006 kaže:

        ček, ček.

        imamo vrata A,B,C

        ja odaberem A,

        nakon toga mi voditelj pokaže da je iza B koza i pita me da li ću promjeniti (preostaje mi A – ne mijenjam, C mijenjam

        vi sad tvrdite da trebam proijeniti i ako nisam vidio da je iza B koza?
        kako onda mijenjam, onda sam opet na početku, odabir A, B ili C?

        ključna informacija je otvaranje vrata iza kojih je koza u drugom pokušaju, bez te informacije zamjena nije ništa bolja od prvotnog odabira.

        ili ja vas ne razumijem, zbunjuje me što tvrdite da Montijevo otvaranje nema utjecaja a očito je da ima. ako Monti ne otvori mi se konstantno vrtimo u prvom izboru, A, B C.
        Montijevo otvaranje je game changer koji površni sistem 1 ne percipira, ali statistički sistem2 da. Ovaj problem je dezavuirao Kahneman u svojoj knjizi Thinking Fast and Slow.
        A prof Kahneman uz Tverskog je i muza zadnjih postova.

      • zsikic kaže:

        sada direktno proturječite svojem prethodnom komentaru

        “činjenica da je bolje promjeniti proizlazi iz činjenice da je dvostruko veća vjerojatnost da se kod prvog odabira odabere koza. Što zapravo znači da svaki put kad prvim odabirom odaberemo kozu promjenom dobijemo auto (2/3), a svaki put kad od prve pogodimo auto, dobijemo kozu (1/3)”

        odlučite se što je vaš stav

      • Kapitalac kaže:

        Mislim da je Montyjeva eliminacija jednih od preostala dvoja vrata ključna. Ako su sva vrata zatvorena, i Monty ne otkrije gdje se nalazi jedna koza, mislim da mi matematika, logika, a i eksperimentiranje govori da je šansa za zgoditak 1/3 – auto je iza samo jednih vrata pa se mijenjanjem odabira bez ključnog “kozo-eliminacijskog” otvaranja šansa ne mijenja.

        Volio bih da objasnite taj dio ako nešto previđam, vidim ima nas još🙂

      • zsikic kaže:

        probajte eksperimentiranje s montyjevim otvaranjem i vidjet ćete da je rezultat isti
        (poznajem matematičare koje nije bilo moguće uvjeriti na drugi način)

        ili da pokušam još jednom:
        zamjena 1 za 2 je neupitno poželjna,
        kada ste zamijenili da li znate da je iza (bar)jednih vaših vrata koza, znate,
        što vam onda novo donosi montyjeva informacija, ništa
        (zamislite da vam monty sada otvori vrata s kozom, biste li se tada vratili na stari odabir?)

      • Kapitalac kaže:

        Ne bi se vratio na stari odabir (prva vrata) ali bi odabrao druga od dvoja preostala vrata s obzirom da mi otvaranjem jednih od ta dva postaje poznato da je iza njih koza.
        I ovo nije zamjena 1 za 2 već 1 za 1.

        Volio bih samo da rekapituliramo, da ne bi bilo nesporazuma, dakle:
        Odaberete 1 od 3 vrata, zatim se predomislite i odaberete 1 od preostalih 2 (bez otvaranja jednih od preostala 2) i šanse su tvrdite jednake onima u slučaju da Monty otvori jedna od preostala 2 i da vam do znanja da ta ne odaberete ?

      • zsikic kaže:

        ako se ne biste vratili, znači da biste mijenjali i u originalnom problemu
        (naravno, pod uvjetom da ste konzistentni, tj. u da u istim situacijama postupate isto)

        i u originalu je 1 za 1

        “Odaberete 1 od 3 vrata, zatim se predomislite i odaberete 1 od preostalih 2 (bez otvaranja jednih od preostala 2) i šanse su tvrdite jednake onima u slučaju da Monty otvori jedna od preostala 2 i da vam do znanja da ta ne odaberete ?”

        NE! NEGO: Odaberete 1 od 3 vrata, zatim se predomislite i odaberete preostala 2 (bez otvaranja jednih od preostala 2) i šanse su tvrdim jednake onima u slučaju da Monty otvori jedna od preostala 2 i da vam do znanja da ta ne odaberete, pa zato odaberete druga

      • stvarno, ček ček profesore. ajmo razjasniti stvari jer postaje zbrčkano.
        dakle, ukoliko govorimo o izvornom problemu onda je Montyevo otvaranje ključno i bez njega nam nikakva zamjena ne povećava šanse za ništa. oko ovoga ne bi trebalo biti dileme, jel tako? kako inače znati koja od preostala dvoja vrata izabrati?
        tvrdnja da montijevo otvaranje nije bitno je aktualno u vašem modificiranom problemu koji kaže da nam se nude druga, čak dvoja vrata, u zamjenu za naša jedna koja smo odabrali. barem sam ja tako shvatio. u tom slučaju nam zaista nije bitno dal će nam monti otvoriti ‘svoja’ vrata.

      • zsikic kaže:

        ključno je da je isto: odabrati 2 vrata prije m. otvaranja, ili samo ona preostala nakon m. otvaranja (jer to što će on otvoriti znamo i bez da otvori)

      • vedran2006 kaže:

        moj stav je isti, mislim da niste u pravu. naime “zamjena” je u smislu da prvotno otvorena vrata zamjenimo za druga (ali u kojima nije koza).
        Ovaj ali je ključan i zato je ključno da Monty otvori.

        “činjenica da je bolje promjeniti proizlazi iz činjenice da je dvostruko veća vjerojatnost da se kod prvog odabira odabere koza. Što zapravo znači da svaki put kad prvim odabirom odaberemo kozu promjenom dobijemo auto (2/3), a svaki put kad od prve pogodimo auto, dobijemo kozu (1/3)”

        Ovo moje pojašnjenje se odnosi na gornje pojašnjenje zamjene.
        Jer ako ja odaberem u prvom pokušaju kozu, ništa se ne otvori, onda zamjenom mogu zamjeniti za kozu ili auto.

        Što pak u smislu vjerojatnosti znači
        1/3 šansa da u prvom pokušaju odaberem auto, 2/3 kozu
        u drugom pokušaju ako se ništa ne otvori, ili ostajem ili mijenjam za bilo koja druga vrata. Ako ostajem 2/3 je da je koza, ali ako mijenjam imam šanse odabrati kozu ili auto. Povoljnije je promjeniti, ali samo ako smo odabrali kozu, vjerojatnosti drugog odabira su recipročne ako smo u prvom pokušaju izabrali auto, značajno povećavaju šanse da odaberete kozu, tako da ja nekako mislim (neznam dokazati osim da napravimo veliki eksperiment) da bi se šanse izjednačile, odnosno benefit promjene bi se eliminirao.

        Očigledno, nakon otvaranja jedne koze sve se mijenja, jer je onda promjena samo pitanje prvog otvaranja (odnosno šanse kod drugog otvaranja su 50:50, što očito bez otvaranja nije slučaj).

        Čak i ako se pokaže da se ne otvaranjem nešto povećavaju šanse da osvojimo auto, to svakako nije gore opisani slučaj koji je objasnila Marylin jer su šanse dvostruke veće samo i isključivo ako je došlo do otvaranja.

      • vedran2006 kaže:

        zanemarite ovo objašnjenje, ispravak niže

      • zsikic kaže:

        što treba zanemariti, a što je ispravak?

      • Kapitalac kaže:

        ako odaberem oba preostala vrata onda naravno da je svejedno da li Monty otvori jedna, ili ne, pa taman da je iza tih koza, ostaje šansa od 66% da je iza drugih auto.

        Mislim da je ovaj primjer malo zakomplicirao objašnjenje. Baš gledam na Youtube-u odličan video koji objašnjava sve na najjednostavniji mogući način, preporučam svima… http://www.youtube.com/watch?v=o_djTy3G0pg

      • zsikic kaže:

        svejedno je da li odaberem oba prije otvaranja ili (tada jedno) nakon otvaranja

      • zsikic kaže:

        da to je eksperiment koji sam preporučio i koji konačno svakoga uvjeri

  6. uvjerava me. no meni najlakši način je nacrtati na papiru 3 slučaja: auto iz prvih, iza drugih, pa iza trecih vrata. onda se lako igrati i vidjeti da će zamjena vrata u 2 od 3 slučaja dovesti do auta. mislim da je to ok pristup jer je jednostavan za shvatiti i ne ostavlja prostor za dileme.
    no čudi me do bola (kao i već nekog prije) da su doktori matematike u tolikom broju popljuvali žensku. ne radi se ovdje o glupom previdu. dakle, oni su se prvo morali suočiti sa nečim što ne odgovara njihovim uvjerenjima, a zatim se pozabaviti analizom da skuže jesu li možda u krivu (jer ne želiš slati onakve poruke ako postoji ikakva šansa da si u krivu). e sad ako su imalo analizirali problem, kako je moguće da doktor matematike to nije uvidio?! ili su samo površno pročitali (kao i vedran2006), ako uopće, i odvažili se pljucnut na konto pljucanja kolega. e to je već onda idiotizam.

    • zsikic kaže:

      metoda vam je ok, no nemojte se čuditi, ako se netko ne sjeti “pogledati” problem na ovaj naćin stvar nije laka, pogotovo ako se fiksira na “izbor iz 2 je 50%-50%”, sve se mijenja s “pogledom”

      ja sam dao “pogled” koji poentira uvide iz prethodnog posta

    • vedran2006 kaže:

      hvala na uvredi. ali neću zamjeriti, veza profesor učenik može biti prilično jaka🙂

      • nije mi bila namjera vrijeđati već samo istaknuti. drago mi je da ne zamjerate.🙂

      • vedran2006 kaže:

        nema problema. moj komentar je pogrešno shvaćen kao površan i pljucački.htio sam ukazati da je dobar dio dr.znanosti ili profesora ili eminentnih stručnjaka, najčešće i dosta umišljen i siguran u sebe, pa je to moguće objašnjenje. radilo se o tome da su upravo velike šanse da ljudi koji su samouvjereni u svoje znanje ne uvide montyjev problem. jer o tome piše i Kahneman, sustav 1 je opušten, samouvjeren, sustav 2 koji je potreban za rješavanje takvog problema je kritičan, sumnjičav i tako to.
        nikakvo pljucanje.

        htio sam to istaknuti jer mislim da je bitno. ako niste pročitajte Thinking fast and slow, izuzetno je pitka a prepuna ovakvih zanimljivih problema kao ovaj Montyjev.

      • zsikic kaže:

        slažem se, i ja sam na to htio ukazati

        slažem se i s preporukom kahnemana, izvanredna knjiga

      • ok, zahvaljujem na preporuci.

  7. vedran2006 kaže:

    evo zdravo seljačkog objašnjenja🙂

    dakle nesporazum je nastao oko promjene ili ne promjene u dva slučaja
    a) otvaranje
    b) neotvaranje

    a) smo mislim apsolvirali, nakon što smo vidjeli kozu promjenom u 2/3 slučajeva dobijamo auto.

    b) je podslučaj, odlučili smo zamjeniti jer je to statistički bolja odluka koja donosi 2/3 šanse da osvojimo auto. ok. no sad game changer, obzirom monty nije otvorio i mi moramo nakon odluke da ćemo promijeniti ponovo odlučiti za što mijenjamo.
    Podslučaj kada smo izabrali kozu, naš odabir se svodi na koza ili auto dakle šanse da u promjenom odaberemo auto su nam 50:50 u ovom podslučaju (a ne 100% kao kod otvaranja gdje nam je monty eliminirao kozu), znači 50% od 2/3 je opet 1/3.
    Slučaj kada iz prve odaberemo auto je isti, otvarali ili ne i imamo iste šanse osvojiti auto. Dakle ako izvrtimo 100, 1000 ili 100000 izvlačenja uvjeren sam da otvaranjem dižemo šanse, ali ne otvaranjem ne.

    U X ponavljanja svaki put kad odaberemo kozu u prvom promjenom ćemo u 50% slučajeva odabrati auto a u 50% slučajeva kozu čime smo eliminirali benefit koji donosi odluka promjene (vraćamo se na početak).

    Jedino ako ste vi mislili sljedeće, da se odluka mijenjati ili ne odlučuje prije nego Monty izvrši otvaranje, s tim se slažem definitivno uvijek mijenjamo makar i neznamo što će Monty napraviti jer, ako Monty otvori šanse su nam 2x veće, a ako ne otvori, ništa ne gubimo odlukom da izvršimo promjenu.
    ako ste to mislili, a nekako mislim da jeste, onda ste apsolutno u pravu da činjenica otvaranja ne utjeće na samu odluku (samo na konkretne vjerojatnosti ishoda)

    • zsikic kaže:

      zapleli ste se, pokušajte razmisliti je li isto: odabrati 2 vrata prije m. otvaranja, ili samo ona preostala nakon m. otvaranja (jer to što će on otvoriti znamo i bez da otvori)

      ako je, onda je marilyn u pravu (što naravno je)

      • vedran2006 kaže:

        gdje sam ja napisao da Marylin nije u pravu?

        evo što vi tvrdite
        ključno je da je isto: odabrati 2 vrata prije m. otvaranja, ili samo ona preostala nakon m. otvaranja (jer to što će on otvoriti znamo i bez da otvori)

        kako mi možemo znati koja će vrata on otvoriti kad samo on zna iza kojih je koza?
        vi ste se zapleli i nepotrebno zakomplicirali. mi znamo ŠTO će on otvoriti, ali ne biramo ŠTO nego KOJA vrata, a to neznamo dok ne otvori…?!?!
        Odluku o promjeni donosimo prije, mijenjamo uvijek. bože što komplicirate.

      • zsikic kaže:

        on sigurno otvara kozu a ne auto, to je dio igre
        (da otvori auto nemate više što birati)

      • profesore ubiste nas umalo, a za ništa. mi se potrgasmo da shvatimo što vi mislite, da propitamo kako je moguće da nas uvjeravate u nešto što je nemoguće, da propitamo svoj bitak i je li išta onakvim kakim se čini jer Von Savantica… al avaj! na kraju ispade da je sve ok i da smo se malo krivo shvatili jer nas vi u principu uvjeravate u činjenicu da je bolje odabrati dvoja nego jedna vrata. i još pride, da nas u tom slučaju čak ni montijevo otvaranje ne treba zanimati :)))))))) isprika
        meni je interesantno i ovako postaviti stvar:
        mi biramo 1 vrata i šansa nam je 1/3 za auto. ako pogledamo druga dvoja vrata kao cjelinu, šansa da se auto nalazi iza te cjeline je dobre 2/3. sad nikako ne treba ukloniti montija iz priče! on otvara jedna vrata iz cjeline i to one iza kojih je koza. dakle šansa da je auto iza tih vrata je 0(nula). obzirom da vjerojatnost za cjelinu ovime nismo promijenili, proizlazi da je vjerojatnost da je auto iza preostalih zatvorenih vrata i dalje 2/3. dakle, obavezno mijenjati! to je fora🙂
        za kraj evo svima jedan broj koji trenutno slušam i tako to.. paše uz kišu. noć.

      • zsikic kaže:

        zaz je kao i uvijek super

        i kao i uvijek, kad je nešto shvaćeno postaje trivijalno

  8. Saša Savić kaže:

    ovo je bilo poučno i zabavno (nisam matematičar); smijem li postaviti jedno pitanje koje sam postavio profu u gimnaziji – mislim da je banalno za vas ali sam zahvalan na odgovoru: bacam novčić pismo glava; vjerojatnost da će pasti jedna strana je 50% ok. zamislimo da sam već bacio 10 puta zaredom i dobio svaki put recimo pismo (koliko je god mala vjerojatnost za to) ako bacim još jednom (jedanaesti put) je li moja šansa za pismo 50% ili manja🙂 znam, normalan čovjek će reći 50 % ali eto… ja sam imao neki osjećaj da nije baš tako jednostavno – naravno prihvatit ću vaš autoritet kao konačni pravorijek, pozdrav i hvala🙂

    • zsikic kaže:

      nemojte prihvatiti ničiji pravorijek bez argumenata

      novčić koji 10 puta da pismo možda nije simetričan ili ga baca neki majstor koji zna kako dobiti pismo (to je zapravo lako uvježbati), u tom slučaju i11 put očekujte pismo

      ako ste sigurni da je novčić simetričan, da nema varanja, … tj. da su šanse 50%, onda je niz od 10 pisama samo ekstremno malo vjerojatna pojava (ali eto desila se) i u 11 bacanju šanse za pismo opet su 50%

  9. Saša Savić kaže:

    evo što me muči: dakle kutije treba mijenjati jer nakon otvaranja vjerojatnost je tamo i dalje 2/3 ok. zamislimo da u prostoriju nakon otvaranja kutije bane osoba koja ne zna ništa što se događalo i treba odabrati jednu od dvije kutije – ona ima 50 % jel tako? vratimo se na novčić – šansa je uvijek 50% ali ja ZNAM da je padao 10 puta zaredom na istu stranu (idealni uvjeti, simetrija…) i dakle znam da je u početku šansa bila 0.0001 % (ne doslovno) za 11 puta zaredom ?! i vi kažete 50 % – onda znači da ako imate dvije kutije što god se ranije dogodilo to ostaje 50% kužite foru! – da ne bude zabune ja mislim da treba mijenjati kutije i da je šansa da novčić 11 put padne zaredom manja od 50% (i pozivam u pomoć kvantnu fiziku za početnike🙂 )

  10. Saša Savić kaže:

    žurio sam u odgovoru pa sam možda sve zbrzao i učinio nejasnim ali molim da odgovorite najprije na ovo: dakle što ako se nakon otvaranja vrata pojavi nova osoba koja ne zna pravila igre i ne zna što se do tada događalo. ona vidi dvije kutije u jednoj je dobitak – ona dakle ima 50% šanse za pogodak – dakle osoba koja je pratila od početka zna da je vjerojatnost 1/3 i 2/3 a nova osoba 1/2 1/2 ako npr nova osoba bira iste kutije kao i osoba od početka njihova vjerojatnost nije ista?? nije li to paradoks – nakon toga razmislimo o novčiću: ukupna vjerojatnost da ću 11 puta baciti jednu stranu je vrlo vrlo malena – ako 10 puta zaredom bacim istu ukupna vjerojatnost ostaje i dalje ista a za novu osobu koja bi naišla 50%. e sada čini se da ovaj primjer pobija ono o 2/3 i vratima ali ja mislim da nije tako. Tvrdim li da zapravo svijest onoga koji promatra otvaranje vrata ili bacanje novčića utječe na vjerojatnost??? upravo to i tvrdim! naravno da ovo dolazi od diletanta, ali poštujem vaš blog pa i ako griješim molim odgovor (računam da ćete pronaći neku logičku pogrešku u analogiji) blog vam je inače super posebno ekonomske teme – iako ja podržavam onu free market ekipu koja vas vjerojatno živcira – End the Fed!🙂 Mises rules🙂 pozz i poštovanje

    • zsikic kaže:

      za tu osobu je 50% i to nije ništa kontradiktorno, svaka je vjerojatnost uvjetna,

      vjerojatnost glave je 100% pod uvijetom da znate da je pala glava,
      a 50% pod uvijetom da znate samo da je kovanica simetrična, bacanje nenamješteno, …

      usp. http://www.fsb.unizg.hr/matematika/download/ZS/ZS_fisher_testiranje_laplace_racunanje.pdf

    • vedran2006 kaže:

      sve vam je profesor lijepo objasnio.
      nema vam u matematici nikakvih paradoksa, sve vam je krasno logično.

      ovakvi primjeri kao monty hall nisu tu da nam pokažu da je logika nelogična, nego baš suprotno da logično razmišljanje daje točan rezultat, a da nas intuicija vara. ako vam se i dalje čini da su šanse u drugom slučaju 50:50 onda niste shvatili. Šanse su 66:33 no osoba koja je banula to nezna, vjeorjatnosti su i dalje iste.

      Ovaj vaš osjećaj da ako je bilo 10 pismo, da 11.put mora biti ili da je veća vjerojatnost da je glava je čista intuicija. logika je uvijek ista ako je novčić ok šanse su uvijek i svaki put 50:50.

      vas možda buni zakon velikih brojeva koji kaže da će u dovoljnom dugačkom nizu biti podjednako glava i pisma, pa vi očekujete izjednačavanje. No tu vam je problem sa ovim “dovoljno veliki niz” to obično može biti strašno veliki niz, a 10 bacanja može biti zanemariv dio tog niza, pa je tako moguće da nakon milion bacanja ostane +10 za pismo i to je sasvim realna mogućnost. dakle nema neke sile koja djeluje na smanjenje ili povećanje vjerojatnosti (u stohastičkoj matematici vam se to zove neovisnost događaja, svako bacanje je neovisno od prethodnog).

      Također ljudi su vrlo loši procjenitelji slučajnog niza, ili u prievodu u svemu vide ili žele vidjeti određeno pravilo i formiranje trenda.

      Tako vam je jedan moj frend u srednjoj u košarci kad bi ubacio prvu tricu odmah vikao, daj meni, serija, serija :))

  11. zonasumraka kaže:

    ja razumijem rationale, ali ga ne prihvaćam.. zahtijevam empirijski test

Odgovori

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava / Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava / Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava / Izmijeni )

Google+ photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google+ račun. Odjava / Izmijeni )

Spajanje na %s