Arrowljev teorem (usp. ovdje) dokazuje da nema izbornog sustava koji je Paretov (ako svi glasači opciju A stavljaju ispred opcije B onda i rezultat izbora mora biti takav da je A ispred B), relevantan (kako su na izborima rangirane opcije A i B ovisi samo o tome kako glasači rangiraju te dvije opcije, a ne o tome kako rangiraju preostale opcije) i nije diktatorski (sustav je diktatorski ako se izabrani redoslijed opcija poklapa s redoslijedom koji preferira jedan jedini „glasač“, diktator, potpuno neovisno o redoslijedima koje preferiraju ostali glasači).

Osim toga, teorem pretpostavlja da su preferencije glasača ordinalne, a ne kardinalne. To znači da oni ponuđene opcije (npr. A, B i C) rangiraju po redoslijedu (npr. A>B>C), a ne tako da im pridaju numeričke vrijednosti (npr. A = 9 bodova, B = 3 boda i C = 0 bodova).

Teorem također pretpostavlja da su preferencije svih glasača tranzitivne, te da je redoslijed opcija koje sustav izvodi iz tih preferencija također tranzitivan (dakle iz A >B i B>C u svakom slučaju mora slijediti A>C).

Tek sada možemo reći u kojem smislu Arowljev teorem dokazuje da su demokratski izbori nemogući (kako se popularno i netočno često govori).

Dakle, oni su nemogući:

  1. Ako smatramo da se individualne preferencije mogu iskazivati samo ordinalno, a ne i kardinalno.
  2. Ako smatramo da su „Pareto“, „relevantnost“ i „ne-diktatorstvo“ nužni uvjeti demokratičnosti izbora.

Prvi stav proizlazi iz teškoća koje su začetnici teorije odlučivanja imali s uspoređivanjem kardinalno izraženih preferencija različitih osoba (kako usporediti mojih 5 bodova s tvoja 4 boda?). Arrow je zato a priori odbacio kardinalno iskazivanje preferencija, „jer ono nema smisla“. Doista neobično, s obzirom da je von Neumann godinama prije Arrowljevog rezultata pokazao kako se bodovne preferencije različitih osoba mogu uspoređivati (u Theory of Games and Economic Behavior iz 1944.).

Osim toga, gotovo je trivijalno naći opcije za koje su kardinalne preferencije smislenije od ordinalnih. Na primjer, to su sljedeće opcije:

A.     Dobit ćete 100 kuna.

B.     Dobit ćete 100 kuna i bit ćete premlaćeni do smrti.

C.     Bit ćete premlaćeni do smrti.

Što bolje iskazuje vaše preferencije, ordinalni A>B>C ili kardinalni A = 1010 bodova, B = 1 bod i C = 0 bodova?

Dakle, izborne sustave s kardinalnim (bodovnim) iskazivanjem preferencija sigurno ne treba a priori odbaciti. No, ako njih uzmemo u obzir onda Arrowljev teorem više nije bitan.

Na primjer, izborni sustav u kojem glasači svakoj opciji slobodno dodjeljuju određeni broj bodova (npr. od 0 do 9 bodova) i koji opcije konačno rangira prema broju dobivenih bodova jest „Paretov“, „relevantan“ i „ne-diktatorski“. U tom smislu za njega ne vrijedi Arrowljev teorem (naravno, Arrowljev teorem a priori isključuje takve sustave).

Drugi je stav također upitan. Točnije, „Pareto“ i „ne-diktatorstvo“ očito su neupitna demokratska načela, ali „relevantnost“ to nije. Pokazat ćemo to na povijesno važnom primjeru, kojim je Condorcet 1780-tih (vidjet ćemo, neopravdano) diskreditirao Bordin izborni sustav.

Radi se o primjeru sa sljedećom razdiobom glasova:

30        A>B>C

1        A>C>B

10        C>A>B

1        C>B>A

10        B>C>A

29        B>A>C

Dakle, 30 glasača preferira redoslijed A>B>C, 1 preferira A>C>B, 10 preferira C>A>B  i tako dalje.

Bordin izborni sustav (koji 1. poziciji daje 2 boda, 2. daje 1 bod i 3. daje 0 bodova) daje konačni redoslijed B>A>C. Može se dokazati da bilo koja (od prve do treće pozicije opadajuća) razdioba bodova daje isti rezultat.

Condorcetov prigovor je da u direktnim duelima A pobjeđuje B (jer 41 glasač stavlja A ispred B, a 40 B ispred A) i  C (jer 60 glasača stavlja A ispred C, a samo 12 C ispred A). Dakle, A je Condorcetov pobjednik (u direktnim duelima pobjeđuje sve druge opcije), a Bordin sustav ga ne proglašava pobjednikom. Condorcet zaključuje da Bordin sustav zato ne valja.

Uočite da se tu radi upravo o „relevantnosti“. Condorcetov pobjednik (u njegovom primjeru to je A) određuje se međusobnim uspoređivanjem dviju opcija, neovisno o tome kako su rangirane ostale opcije. Točno to zahtijeva „relevantnost“. Drugim riječima, Condorcetov prigovor jest prigovor da Bordin sustav ne poštuje Arrowljev (gotovo dva stoljeća mlađi) uvjet „relevantnosti“.

Je li Condorcet u pravu, tj. je li „relevantnost“ relevantna. Donald Saari je 2000-tih, u okviru svoje geometrijske teorije socijalnog izbora, definitivno dokazao da nije.

Razmislite najprije o običnom većinskom izboru između dvije opcije A i B. Pretpostavimo da je u igri 3000 glasača. Ako među njima detektiramo 1000 onih koji preferiraju A>B i 1000 onih koji preferiraju B>A, tih 2000 glasova možemo zanemariti (jer jedni druge poništavaju). Rezultat izbora određuje preostala tisuća.

Potpuno analogno 30 glasača s preferencijama:

10        A>B>C

10        B>C>A

10        C>A>B

jedni druge poništavaju, pa i njih možemo zanemariti. Naime, svaka od opcija A, B i C ima isti broj (u ovom slučaju 10) prvih, drugih i trećih mjesta.

Jednako tako možemo zanemariti i 3 glasača s preferencijama:

1          A>C>B

1          C>B>A

1          B>A>C

jer sada svaka od opcija ima po jedno 1. 2. i 3. mjesto.

No, ako u Condorcetovom primjeru zanemarimo te glasače, jer im se glasovi poništavaju, odluku donose preostali glasači:

20        A>B>C

28        B>A>C

Sada je očito da je C najlošija opcija i da je A>B, u svakom razumnom sustavu.

Ukratko, Bordin rezultat A>B>C  je valjan, a Condorcetov „relevantni“ B>A>C nije.

Saari je u svojoj geometrijskoj teoriji dokazao da to vrijedi sasvim općenito:

Ako se iz skupa individualnih preferencija uklone sve one koje se međusobno poništavaju (jer imaju jednaki broj 1. 2. 3. itd. mjesta, za sve ponuđene opcije) onda Bordin sustav primijenjen  na preostale individualne preferencije zadovoljava sve Arrowljeve uvjete.

Spomenimo na kraju da je Condorcet-Arrowljeva „relevantnost“, pored svega dosad kazanog, još i neusklađena s uvjetom tranzitivnosti. Naime, duele možete odigrati (i Codorcetovog pobjednika naći) čak i ako preferencije glasača nisu tranzitivne. Saari je, u vezi s tim, dokazao sljedeće:

Ako se uvjet „relevantnosti“ modificira tako da osim rangiranja parova uzima u obzir i tranzitivnost individualnih preferencija onda Bordin sustav zadovoljava sve Arrowljeve uvjete.

Sve u svemu Arowljev je teorem daleko od dokaza nemogućnosti demokratskog odlučivanja.

2 responses »

  1. cronomy kaže:

    Komentar na ovo sljedi, ali me prvo zanima ako možeš pojasniti što točno podrazumijevaš pod demokratsko odlučivanje? Vidim post sa strane, ali ako možeš malo pojasniti. Samo, tj. dovoljno, da se kolektivne odluke izvode iz individualnih?

    • zsikic kaže:

      “da se kolektivne odluke izvode iz individualnih”,
      uz uvažavanje kriterija koje držimo demokratskima i koje ,naravno, treba jasno formulirati i obrazložiti

      npr. arrow je smatrao da je relevantnost (IIA) takav kriterij, saari je pokazao da nije, ili

      arrow je smatrao da kardinalno izražavanje preferencija nema smisla, što von neumann i mnogi drugi uspješno pobijaju

Odgovori

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava / Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava / Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava / Izmijeni )

Google+ photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google+ račun. Odjava / Izmijeni )

Spajanje na %s