Godišnja statistika pokazuje da je moj najkomentiraniji post Monty Hall. Dakle, ne neka dnevno-političko-ekonomska tema nego jedan paradoks u razumijevanju vjerojatnosti. To me potaknulo da sljedeća dva posta posvetim jednom mnogo važnijem i fundamentalnijem paradoksu vjerojatnosti; paradoksu dvije omotnice (i njega je Marilyn vos Savant objašnjavala u svojoj kolumni, ali nažalost pogrešno).

Nudim vam dvije omotnice. U jednoj je dvostruko više novca nego u drugoj. Vi odabirete jednu. Ja vas tada pitam želite li se predomisliti i odabrati drugu. Želite li? Možete i pogledati što je u prvoj.

Recimo da je u prvoj 100 kuna. To znači da je u drugoj 50 kuna ili 200 kuna. Te su alternative jednako vjerojatne, pa je očekivana vrijednost u drugoj omotnici

1/2 × 200 kn + 1/2×50 kn = 100 kn + 25 kn

To je više od 100 kn, koliko je u prvoj omotnici. Dakle, svakako trebate promijeniti svoj prvi odabir.

Taj argument vrijedi za svaki iznos x u prvoj omotnici:

1/2 × 2x + 1/2 × x/2 = x + x/4

Dakle, niste ni trebali gledati koliko je novca u prvoj omotnici.

Međutim, da ste početno odabrali drugu omotnicu isti bi vas argument uvjeravao da nju trebate promijeniti. Dapače, kada se odlučite za promjenu, isti vas argument uvjerava da trebate ponovo promijeniti (tj. vratiti se početnom odabiru). Tako možete u nedogled. Tu nešto ne štima.

To je slavni paradoks dvije omotnice. Rješenje ću dati u sljedećem postu. Za sada dajem samo neke napomene koje mogu pomoći pri razmišljanju o  ovom problemu.

Prije svega, dobro je razlikovati dva problema: POO (problem otvorene omotnice) i PZO (problem zatvorene omotnice). POO vam dopušta da otvorite odabranu omotnicu, pogledate što je u njoj i tek tada odlučite želite li je promijeniti ili ne. PZO zahtjeva da bez otvaranja odabrane omotnice odlučite o njenoj eventualnoj promjeni.

Čini se očitim da u PZO nema baš nikakve koristi od promjene odabrane omotnice. Problem je potpuno simetričan u odnosu na odabir jedne ili druge omotnice.

POO narušava tu simetriju. Otvaranjem odabrane omotnice dolazite do informacije koja može utjecati na vašu odluku (npr. ako je u njoj 60% dostupnih kuna, u drugoj ne može biti 120% dostupnih kuna; dostupnih  je najviše 100%).

S druge strane, vidjeli smo da je nebitno što je u prvoj omotnici (za svaki iznos x, isti vas argument uvijek uvjerava da promijenite omotnicu).

Nadalje, POO možda nije dobro postavljen problem. To znači da možda ne daje dovoljno informacija za nalaženje rješenja. (S druge strane, PZO izgleda dobro postavljen.)

Osim toga, dobro je analizirati i sam izračun očekivane vrijednosti u drugoj omotnici:

1/2 × 200 kn + 1/2×50 kn = 100 kn + 25 kn

Što su vjerojatnosti 1/2 koje se pojavljuju u tom izračunu? Prva 1/2 je vjerojatnost da je u II. omotnici veća vrijednost, p(II > I) = 1/2. Druga 1/2 je vjerojatnost da je u I. omotnici veća vrijednost, p(I > II) = 1/2.

No, ne trebate li za izračun očekivane vrijednosti koristiti uvjetne vjerojatnosti? Vjerojatnost da je u I. omotnici veći iznos nego u II. omotnici, pod uvjetom da je u I. omotnici 100 kn, p(I > II | I = 100 kn), i analognu vjerojatnost, p(II > I | I = 100 kn)?

Uz ove šture napomene ostavljam vas s problemom dvije omotnice do sljedećeg petka. Ako ga (bez „guglanja“) ne uspijete riješiti, nemojte se zabrinjavati. To nije uspjela ni Marilyn vos Savant.

Uostalom mnogi misle da još nije ponuđeno zadovoljavajuće rješenje.

8 responses »

  1. Veky (@veky) kaže:

    > Godišnja statistika pokazuje da je moj najkomentiraniji post Monty Hall. Dakle, ne neka dnevno-političko-ekonomska tema nego jedan paradoks u razumijevanju vjerojatnosti.

    Što Vam to govori o specijaliziranosti Vašeg stila za određene vrste izlaganja?🙂

    • zsikic kaže:

      možda je i to u igri🙂

      ali “Monty” je bio najkomentiraniji,
      najposjećeniji su bili “Ekonomski rast i obrazovanje” i ” Država nije firma”🙂

  2. Miroslav Ruševljan kaže:

    Poštovani profesore Šikiću,

    da nam ekonomisti puno problema pogrešno sagledavaju (o pravnicima da ne govorimo) već je i djeci jasno. Ali da se profesor matematike Vašeg ranga toliko izgubi u prostoru i vremenu – to me zaista iznenaađuje. PROBLEM ste potpuno pogrešno postavili! Da ste ga pravilno postavili, rješenje bi bilo jednostavno. Zapravo takve “probleme” na ovom prostorima lako rješavaju i poluobrazovani ljudi: treba uzeti obje koverte, svejedno da li su “otvorene” ili “zatvorene” za javnost…

    Svako dobro Vam želim u 2013. godini!

    M. Ruš.

  3. grgurn kaže:

    Vrlo zanimljiv paradoks i baš bih ga probao riješiti bez guglanja.
    Nazovimo omotnicu s manjim iznosom A, a omotnicu s većim iznosom 2A (općenitije nego da koristim konkretan broj 100kn).
    Nazovimo prvo izvučenu omotnicu “I omotnica”, a preostalu omotnicu “II omotnica” kao što ste ih i vi nazvali.
    Imamo dvije uvjetne vjerovatnosti:
    ako je I omotnica = A, onda je II omotnica = 2A
    ako je I omotnica = 2A, onda je II omotnica = A
    vjerojatnost oba gornja slučaja je 1/2 pa je očekivana vrijednost druge omotnice:
    II omotnica = 1/2 * 2A + 1/2 * A = 1,5A.
    Ista očekivana vrijednost dobije se i za I omotnicu (1,5A), što bi značilo da strategija mijenjanja omotnice nema prednosti u odnosu na strategiju nemjenjanja omotnice.

    Zašto ne valja logika predloženog rješenja u paradoksu? Čini mi se da je presudno razdvojiti varijable manje i veće omotnice od varijabli prvo izvučene i preostale omotnice.

    Ima li to smisla? Prije neg’ proguglam:)

    Pozdrav

    • zsikic kaže:

      ima smisla, riješili ste PZO, čestitam, preostaje vam POO 🙂

      “Zašto ne valja logika predloženog rješenja u paradoksu?” – o tome bi trebalo malo više reči

  4. grgurn kaže:

    Pokušat ću malo više reći zašto logika predloženog rješenja u paradoksu ne štima.
    U paradoksu se kaže da je:

    ako je I omotnica = A = 100kn, onda je II omotnica = 2A = 200kn
    ako je I omotnica = 2A = 100kn, onda je II omotnica = A = 50kn
    i očekivana vjerojatnost II omotnice je 125kn.

    To je istina za jednu drugu igru gdje je u I omotnici uvijek 100kn, a u drugoj i trećoj omotnici su 50kn i 200kn. Igrač odlučuje hoće li ostati pri I omotnici ili će odabrati strategiju mijenjanja s jednom od preostalih. Očekivana vrijednost kod strategije mijenjanja je stvarno 125kn.

    U našoj igri imamo samo dvije omotnice. Ako probamo odsimulirati nekoliko izvedbi igre dobijemo:
    npr. u prvoj izvedbi I omotnica = A = 100kn i igrač se odluči za strategiju mijenjanja te vidi da je II omotnica = 200kn = 2A.
    Nakon te prve izvedbe, nemoguće je u drugoj izvedbi s iste dvije omotnice dobiti omotnicu s 50kn jer imamo samo dvije omotnice, a ne tri. Stoga, očekivana vjerojatnost II omotnice ne može biti (50+200)/2, već (100+200)/2.

    Ustvari, dosta je teško prenijeti ideju ovako kroz par rečenica…ne znam jesam li uspio.

    Pozdrav

  5. Veky (@veky) kaže:

    @M. Ruš i ostali kojima je očito da je uzeti obje omotnice najbolja strategija: imam osjećaj da je vrijeme za Newcomba. ;-D

Odgovori

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava / Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava / Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava / Izmijeni )

Google+ photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google+ račun. Odjava / Izmijeni )

Spajanje na %s