U prethodnom postu formulirao sam paradoks dvije omotnice i dao neke napomene za njegovo razrješenje. Evo sada i nešto detaljnije analize.

Pogledajmo najprije izračun očekivane vrijednosti, na koji se poziva paradoksalna preporuka o zamjeni:

1/2 × 2x + 1/2 × x/2 = x + x/4.

To bi bio korektni izračun očekivane vrijednosti u drugoj omotnici, da sam vam dao omotnicu s x kuna i zatim bacanjem novčića odlučio hoću li u drugu omotnicu staviti 2x ili x/2 kuna. No, problem nije tako postavljen.

Ja sam u omotnice stavio 3y kuna (y u jednu i 2y u drugu) i zatim sam vam dao da odaberete jednu od njih. Koju god odaberete vaša je očekivana dobit 3y/2:

1/2 × y + 1/2 × 2y = 3y/2.

Dakle, ako ne otvorite odabranu omotnicu (tj. ako ste u PZO) nema očekivane koristi od zamjene.

Za one koji nisu uvjereni evo još detaljnije analize. (Nadam se da one koji su već uvjereni ovaj dodatak neće razuvjeriti🙂 .)

Kada ste odabrali omotnicu u kojoj je iznos x vi jedino sigurno znate da je x = y ili x = 2y (gdje je y manji od dva iznosa koja sam ja stavio u omotnice). Ako zamjenom omotnice dobivate, to znači da je x = y i da je vaša dobit x = y. Ako zamjenom omotnice gubite, to znači da je x = 2y i da je vaš gubitak x/2 = y. Ključno je da je vrijednost y unaprijed zadana; ja sam novac stavio u omotnice prije nego sam vam ponudio sve daljnje izbore. No, to znači da x ima različite vrijednosti u dobitničkom i gubitničkom scenariju pa te dvije vrijednosti ne možete tretirati kao jednu. A upravo to činite u paradoksalnom izračunu očekivane vrijednosti 1/2 × 2x + 1/2 × x/2 (prvi x je y, a drugi x je 2y).

Primijetimo da ovaj dio paradoksa zapravo i nema veze s vjerojatnošću. Mogli smo ga formulirati kao „logički paradoks“.

Ako je u omotnici koju ste odabrali x onda je u drugoj omotnici 2x ili x/2. Dakle, ako zamjenom dobivate dobit ćete x, a ako zamjenom gubite izgubit ćete x/2. Mogući dobitak veći je od mogućeg gubitka.

S druge strane, razlika iznosa u omotnicama je y. To znači da zamjenom dobivate ili gubite y. Mogući dobitak jednak je mogućem gubitku.

Dva istaknuta zaključka međusobno se pobijaju i to je (navodno) paradoks. No, već smo objasnili zašto je argument s y valjan, a onaj s x nije.

Okrenimo se sada POO-u, koji je zanimljiviji. Što se mijenja ako saznate iznos u odabranoj omotnici; dakle, ako je otvorite? Mogli biste pomisliti: ništa, prethodna analiza vrijedi za svaki y, pa informacija o tome koliki je y nema dodatnu vrijednost. Pomislili biste krivo.

(Već i zbog toga što otvaranjem omotnice niste ni saznali koliki je y. Onaj x koji vidite možda je y, a možda je i 2y. No to je problem koji smo već razriješili.)

Da je prva misao pogrešna postat će vam jasno ako razmislite o omotnici u kojoj vidite više od 1/3 meni dostupnih kuna. Vjerojatnost većeg iznosa u drugoj omotnici tada je nula i vi (naravno) nećete mijenjati odabranu omotnicu.

Ono što vidite u odabranoj omotnici može biti i te kako informativno.

Da biste mogli iskoristiti tu informaciju morali biste znati koliko je vjerojatno da ću ja određeni iznos staviti u omotnicu. (Možete se ograničiti na manji iznos y, jer on potpuno determinira veći iznos 2y.) Dakle, očekivanu vrijednost u drugoj omotnici možete izračunati samo ako znate kolika je vjerojatnost, S(y), da ću ja u omotnicu s manjim iznosom staviti y kuna. Na primjer, ako je x koji vidite veći od 1/3 meni dostupnih kuna onda je S(x) = 0 i očekivani iznos u drugoj omotnici je 0× 2x + 1× x/2 = x/2.

Izračun je nešto složeniji u slučaju koji nije ekstreman. (Ako se plašite formula pređite preko njih ovlaš i koncentrirajte se na rezime koji slijedi poslije boldanog teksta.) Dakle, ako ste u I. omotnici našli 100 kuna onda je očekivana vrijednost u II. omotnici:

p(II > I | I = 100 kn) × 200 kn + p(I > II | I = 100 kn) × 50 kn.

Funkcija S(y), koja proizlazi iz mojih novčanih mogućnosti i navika ili naprosto iz načina na koji punim omotnice, omogućava vam da izračunate potrebne vjerojatnosti. Za to se u teoriji vjerojatnosti koristi slavna Bayesova formula, koja daje:

p(II > I | I = 100 kn) = S(100)/(S(50) + S(100)) ,

p(I > II | I = 100 kn) =  S(100)/(S(50) + S(100)).

Za one sklone matematici evo i jednostavnog izvoda. Prva vjerojatnost (da je 100 kuna koje vidite manji iznos) mora biti proporcionalna sa S(100); tj. s vjerojatnošću da ću ja u manju omotnicu staviti 100 kn. Druga vjerojatnost (da je 100 kuna koje vidite veći iznos) mora biti proporcionalna sa S(50); tj. s vjerojatnošću da ću ja u manju omotnicu staviti 50 kn. No, to su jedine dvije opcije, pa zbroj njihovih vjerojatnosti mora biti 1. Iz toga slijede gornji rezultati.

Dakle, ako je u I. omotnici 100 kn onda je očekivana vrijednost u II. omotnici:

S(100)/(S(50) + S(100)) × 200 kn + S(100)/(S(50) + S(100)) × 50 kn.

Naravno, to vrijedi i za svaki drugi iznos x. Ako je u I. omotnici x kuna onda je očekivana vrijednost u II. omotnici:

S(x)/(S(x/2) + S(x)) × 2x + S(x/2)/(S(x/2) + S(x)) × x/2.

Taj korektni izračun poklopit će se s paradoksalnim izračunom samo ako je

S(x)/(S(x/2) + S(x)) = S(x/2)/(S(x/2) + S(x)) = 1/2,

tj. samo ako je S(x) = S(x/2), za svaki x.

Međutim, ne postoji konačna distribucija vjerojatnosti S koja bi zadovoljavala taj uvjet. (Za znalce: I među beskonačnim distribucijama taj uvjet mogu zadovoljiti samo one čije je očekivanje beskonačno. Usput, to su one distribucije za koje ne vrijedi zakon velikih brojeva.)

Rezimirajmo što smo zaključili o POO. Taj problem zapravo nije dobro postavljen. Da biste ga riješili morate znati moj S, tj. morate znati moje novčane mogućnosti i navike ili naprosto način na koji punim omotnice. Bez toga ne možete izračunati očekivani iznos u II. omotnici.

To je analogno sljedećem problemu. Vozila A i B voze istom cestom u istom smjeru. A vozi 10 km/h brže od B. Koliko su vozila udaljena nakon 1 sata vožnje?

Prva je misao: 10 km. No, zapravo ne znate odgovor jer ne znate položaj vozila na početku toga sata. Ako kreću s istog mjesta onda je točan odgovor 10 km. Bez te informacije ne možete izračunati traženu udaljenost.

Isto tako ne možete izračunati ni očekivani iznos u II. omotnici ako ne znate moj S. Teorija vjerojatnosti vam omogućava da iz jednih vjerojatnosti računate druge, ali vam najčešće ne daje početne vjerojatnosti. A od nečega morate početi. (U stručnom žargonu: nema posteriora bez priora.)

Problem priora i inače je glavni problem upotrebe teorije vjerojatnosti u analizi podataka (od astronomije preko medicine do ekonomije). Te analize zapravo su kvantifikacije našega znanja o nekom fenomenu na temelju sakupljenih podataka o tom fenomenu. Radi se o računanju uvjetnih vjerojatnosti ; a uvjeti su sakupljeni podaci. No, taj račun ovisi i o apriornim vjerojatnostima – što znate nakon što ste sakupili podatke ovisi i o tome što ste znali prije sakupljanja.

Na sreću, u većini znanstvenih primjena, moguće je pokazati da su konačni zaključci neovisni o apriornim vjerojatnostima – od kojih god priora krenete podaci vas vode istim zaključcima; vidi npr. what is probability. (To su situacije u kojima iz novih podataka saznajemo toliko da oni potpuno brišu sva prethodna znanja o fenomenu koji istražujemo.) No, nije uvijek tako i ne treba se slijepo pouzdati u univerzalnu irelevantnost priora. POO je samo jedan primjer problema u kojem je konačni zaključak osjetljiv na priore.

Recimo još nešto o vezi PZO i POO. Vidjeli smo da PZO možemo razriješiti bez ikakvog poziva na vjerojatnost (čak ga možemo i formulirati kao „logički paradoks“). No, ako i ne otvarate odabranu omotnicu lako možete zamisliti da ste je otvorili i da ste u njoj našli x kuna. Nadalje, (ako znate moj S) korektno možete izračunati očekivanu dobit od zamjene.

Budući da samo zamišljate da ste vidjeli x kuna, vaša konačna odluka mora se temeljiti na prosjeku svih mogućih dobitaka i gubitaka koje vam donosi zamjena (po svim mogućim vrijednostima x koje distribuira moj S). Nije teško izračunati da je ta srednja vrijednost nula za svaki prihvatljivi S (tj. za svaki S koji ima konačno očekivanje). Razrješenje POO-a u potpunoj je harmoniji sa razrješenjem PZO-a.

I na kraju, zašto neki smatraju da POO nije razriješen? Neki zato jer ne razumiju rješenje, a neki imaju i  bolje razloge.

Činjenica je da postoje razdiobe S(y) za koje vam korektni izračun očekivane dobiti kaže da omotnicu uvijek trebate zamijeniti (to su razdiobe u kojima ja raspolažem s beskonačnim količinama novca i u kojima je srednja vrijednost svih y-a koje stavljam u manju omotnicu također beskonačna). Oko rješenja tog problema možda još uvijek nema konsenzusa ni među onima koji ga razumiju. Osobno mislim da se radi o još jednom paradoksu beskonačnosti. Oni se gotovo uvijek svode na to da mislimo kako ono što vrijedi u konačnom mora vrijediti i u beskonačnom (npr. da pravi dio uvijek mora biti manji od cjeline, jer to vrijedi za konačne veličine). To naprosto nije istina (koliko god se to nekome činilo paradoksalnim).

Osim toga neriješenim problemom ostaje i kako trebate postupiti u slučaju da ne znate moj S, pa stoga ne možete  izračunati očekivanu vrijednost u II. omotnici. Eksperimentalno se uspješnom pokazala strategija slučajnih promjena (s vjerojatnostima koje na određeni način ovise o x). Zanimljivo je da se analogna situacija pojavljuje u vezi s razbijanjem simetrije u kvantnoj fizici, no možda je dobro da tu stanem.

Odgovori

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava / Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava / Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava / Izmijeni )

Google+ photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google+ račun. Odjava / Izmijeni )

Spajanje na %s