Brkanje istinitosti kondicionala “ako A onda B”, s istinitošću kondicionala “ako B onda A”, poznata je logička greška.

Manje je poznata greška (iako je češća) da se “vjerojatnost od B pod uvjetom A” brka s “vjerojatnost od A pod uvjetom B” (tj. pr(B/A) brka se s pr(A/B)). Ilustrirat ću tu grešku s dva primjera.

1. Prepoznavanje provalnika

U gradu u kojem se desila provala, živi 90% bijelaca i 10% crnaca. Jedina svjedokinja tvrdi da je provalnik bio crnac. Da bi se provjerila pouzdanost njezinog svjedočenja obavljena je rekonstrukcija zločina, s većim brojem bijelih i crnih “počinitelja”. Svjedokinja je u 80% slučajeva točno odredila “počiniteljevu” boju, tj. 80% crnih “počinitelja” prepoznala je kao crnce, a 80% bijelih kao bijelce. Istražni sudac prihvatio je njezino svjedočenje kao 80% vjerojatno. Međutim, tu je gadno pogriješio.

Naime, rekonstrukcijom je utvrđena vjerojatnost prepoznavanja crnca, pod uvjetom da je provalnik uistinu bi crnac:

pr(PC /C) = 0.8.

Ali, sud zanima kolika je vjerojatnost da je provalnik uistinu crnac, pod uvjetom da je prepoznat kao crnac:

pr(C/PC) = ?

Ta je vjerojatnost prava mjera pouzdanosti svjedočenja jedine svjedokinje.

Tu vjerojatnost možemo izračunati na sljedeći način.

Zamislimo 100 ponovljenih provala. Njih 90 počinit će bijelci, a tek 10 crnci (jer je bijelaca 90% a crnaca tek 10%).

Od 90 bijelih provalnika, njih 72 (tj. 80%) bit će točno prepoznati kao bijelci, a njih 18 (tj. 20%) bit će netočno prepoznati kao crnci.

Od 10 crnih provalnika njih 8 (tj. 80%) bit će točno prepoznati kao crnci, a njih 2 (tj. 20%) bit će netočno prepoznati kao bijelci.

Ukupno 26 (tj. 18+8) provalnika bit će prepoznati kao crnci, a od njih će samo 8 uistinu biti crnci. Dakle, vjerojatnost da provalnik koji je prepoznat kao crnac uistinu i bude crnac iznosi 8/26 (što je oko 30%):

pr (C/PC) = 30%.

Pouzdanost svjedočenja naše svjedokinje je 30%, daleko manje od 80%.

Primijetimo još i sljedeće. Da je svjedokinja u provalniku prepoznala bijelca, to bi svjedočenje bilo mnogo pouzdanije. Naime, ukupno 74 (tj. 72+2) provalnika bit će prepoznati kao bijelci, a od njih će 72 uistinu i biti bijelci. Dakle, vjerojatnost da provalnik koji je prepoznat kao bijelac uistinu i bude bijelac iznosi 72/74 (što je oko 97%):

pr(B/PB) =  97%.

Pouzdanost svjedočenja (tj. pr(X/PX)) ne ovisi samo o pouzdanosti svjedoka (tj. o pr(PX/X)), nego i o zastupljenosti pojedinih grupacija u populaciji (tj. o pr(X) ). Pogreška istražnoga suca sastojala se u tome da to nije uzeo u obzir, nego je pr(X/PX) pobrkao sa pr(PX/X).

2. Testiranje bolesti

Želite li utvrditi da li bolujete od neke bolesti, podvrći ćete se testu. Ako je test pozitivan onda ste bolesni, a ako je negativan onda ste zdravi.

Naravno, nijedan test nije savršeno pouzdan, pa za stvarnu procjenu vašeg stanja valja znati kolika je pouzdanost testa. Pouzdanost od 90% znači da će 90% bolesnih pri testiranju imati pozitivni nalaz, a 90% zdravih imat će negativni nalaz (tj. pr(POZ/BOL) = 0.9 i pr(NEG/ZDR) = 0.9).

Koliko vas mora zabrinuti pozitivni nalaz, te s kolikim olakšanjem možete prihvatiti negativni nalaz?

Mnogi misle da uz pouzdanost testa od 90%, pozitivni test garantira bolest s vjerojatnošću 90%, te da negativni test garantira zdravlje s vjerojatnošću 90%. To je međutim daleko od istine.

Analogno prethodnom primjeru, zamislite 1000 testiranih ljudi. Ako je učestalost bolesti koju testirate 1% onda je samo 10 od tih 1000 ljudi uistinu bolestno.

Od 990 zdravih, njih 891 (tj. 90%) je negativno, a njih 99 (tj. 10%) je pozitivno.

Od 10 bolesnih, njih 9 (tj. 90%) je pozitivno, a samo 1 (tj. 10%) je negativan.

Ukupno 108 (tj. 99+9) su pozitivni, a samo 9 njih je bolesno. Dakle, vjerojatnost da ste bolesni ako ste pozitivni je 9/108 (što je oko 8%):

pr(BOL/POZ) = 8%

To je daleko od 90% koji su vas toliko zabrinuli.

Kao i prije, negativni test garantira vam zdravlje s vjerojatnošću mnogo bližom pouzdanosti testa (čak i većom od nje). Naime, ukupno imamo 892 (tj. 891+1) negativnih od kojih je 891 zdravo, pa vam je vjerojatnost da ste zdravi ako ste negativni 891/892 (što je 99,999%):

pr(NEG/ZDR) = 99,999%.

Pogreška da se pozitivni nalaz smatra 90%-garancijom bolesti još je jednom pogreška brkanja pr(POZ/BOL)=99,999%  sa pr(BOL/POZ) = 8%, tj. brkanja uvjeta s onim što je uvjetovano.

Sasvim općenito, ako je pouzdanost testa p (npr. p = 99%) a učestalost bolesti koju testirate u (npr. u= 0.5%), onda vrijedi da je:

pr(BOL/POZ)<50%   ako i samo ako   p+u<1.

S pozitivnim testom u rukama, vaše šanse da ste zaista bolesni manje su od 50%, dok god je postotak pouzdanosti testa plus postotak zastupljenosti bolesti koju testirate (u grupaciji kojoj pripadate) manja od 100%. Naprimjer, ako se testirate na bolest čija je učestalost manja od 1%, ako je pouzdanost testa 99% i ako vam je nalaz pozitivan, vjerojatnost da ste bolesni još je uvijek manja od 50%.

Također vrijedi  i sljedeće:      pr(ZDR/NEG)>u    ako i samo ako  p<50%.

Budući da je učestalost svih bolesti manja od 50%, negativni rezultat garantira vam zdravlje sa sigurnošću većom od pouzdanosti samoga testa. Naprimjer, ako je pouzdanost testa 99% i ako vam je nalaz negativan, vjerojatnost da ste zdravi veća je od 99%.

Što to govori o masovnim testiranjima (bez simptoma koji bi suzili populaciju, tj. povećali učestalost u) zaključite sami.

Koga zanimaju dokazi gornjih tvrdnji neka klikne

http://www.fsb.unizg.hr/matematika/sikic/download/ZS_o_zamjeni_uvjeta_onim_sto.pdf

3 responses »

  1. zsikic kaže:

    ISPRAVAK

    u 2. primjeru pobrkao sam u dijelu računa pozitivne i negativne, pa brojke nisu štimale

    sada je to ispravljeno (zaključci su naravno isti)

    ispričavam se onima koji su provjeravali moj račun i čudili se otkud te krive brojke

  2. Veky (@veky) kaže:

    Ima još grešaka… “Dakle, vjerojatnost da ste bolesni ako ste pozitivni je 9/99 (što je oko 1%):”

    Valjda 9/108 (što je oko 8%).

Odgovori

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava / Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava / Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava / Izmijeni )

Google+ photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google+ račun. Odjava / Izmijeni )

Spajanje na %s