U ranijim postovima o paradoksima lažljivog Epimenida i sl. spomenuo sam da se tu ne radi o pukom logičkom zanovijetanju i igri, nego da se na tim idejama temelje slavni Gödelovi teoremi o nepotpunosti. Dakle, o čemu je riječ:

Zamislimo skup svih propozicija koje su izrazive u nekoj (deduktivnoj) teoriji. Neke od njih su istinite, a one preostale su neistinite.

Idealna deduktivna teorija je ona u kojoj nije dokaziva nijedna neistinita propozicija, ali su dokazive sve (u njoj izrazive) istinite propozicije.

Gödelov 1. teorem o nepotpunosti tvrdi da nijedna dovoljno jaka deduktivna teorija nije u tom smislu idealna. („Dovoljno jake” su one deduktivne teorije koje obuhvaćaju elementarnu teoriju brojeva.)

Naime, teoremom se  dokazuje da svaka korektna i dovoljno jaka deduktivna teorija uvijek sadrži propoziciju G (tzv. Gödelovu propoziciju) koja je istinita ali u toj teoriji nije dokaziva. Naravno,  negacija te propozicije -G (koja je neistinita) također nije dokaziva u toj teoriji, jer smo pretpostavili da je teorija korektna.

Gödelov 2. teorem o nepotpunosti tvrdi da svaka korektna dovoljno jaka deduktivna teorija uvijek sadrži propoziciju Con, kojom se izražava konzistentnost te deduktivne teorije, i da ta propozicija (iako je zbog pretpostavljene korektnosti istinita) u toj teoriji nije dokaziva. 

Da bismo bolje razumijeli  Gödelove teoreme najprije moramo razumijeti što je deduktivna teorija. To je teorija koja je potpuno određena tek kada su jasno definirani njezin jezik, njezini aksiomi i njezina pravila zaključivanja. Sve one propozicije koje se u jeziku teorije mogu izvesti iz njezinih aksioma, pomoću njezinih pravila zaključivanja, dokazive su propozicije te  teorije. Krače ih zovemo teoremima te teorije.

 Među deduktivnim teorijama razlikujemo dvije osnovne vrste. U prvu vrstu spadaju teorije koje opisuju jednu strukturu i njihov je krajnji cilj dokazivanje svih istina o toj jednoj strukturi. Takva je, na primjer, deduktivna aritmetika koja opisuje strukturu prirodnih brojeva. Njen je krajnji cilj dokazivanje svih istina o toj strukturi, tj. svih istina o prirodnim brojevima.

U drugu vrstu spadaju teorije koje opisuju više struktura (cijelu klasu struktura) i čiji je krajnji cilj dokazivanje svih onih istina koje vrijede u svim strukturama te klase. Takva je, na primjer, teorija grupa koja opisuje klasu grupa i čiji je krajnji cilj dokazivanje svih onih istina koje vrijede u svim grupama.

(Prirodoslovne teorije, ukoliko su uopće formulirane kao deduktivne teorije, spadaju u prvu vrstu jer je njihov predmet jedna jedina struktura, u ovom slučaju sama priroda. Nas će zanimati deduktivne teorije prve vrste.)

Deduktivna teorija može promašiti svoj krajnji cilj zbog nedosatnosti svojih aksioma ili pak zbog nedostatnosti svojih pravila zaključivanja.

Povijest matematike, od Euklidovih Elemenata do Dedekindove  konačne aksiomatizacije aritmetike, pokazuje koliko je teška bila potraga za dostatnom aksiomatizacijom temeljne matematičke strukture prirodnih brojeva.

Povijest logike, od Aristotelovog Organona do Booleovih Zakona mišljenja, pokazuje kako se teško dolazi do dostatnog sustava logičkih pravila zaključivanja. Booleov sustav logičkih pravila, iako neizmjerno bogatiji od Aristotelovog, još je uvijek bio nedostatan za izvođenje teorema večine matematičkih teorija.

 Frege je bio prvi koji je sustav logičkih pravila zaključivanja pokušao destilirati iz matematičke prakse. Zahvaljujući tome uspio je doći do dostatnog sustava logičkih pravila,  koji je ugradio u svoj deduktivni sustav elementarne i više aritmetike.

(Taj se deduktivni sustav pokazao kontradiktornim u Fregeovom dodatnom pokušaju da ga učini čisto logičkim, tj. u pokušaju da sve aritmetičke pojmove definira pomoću logičkih pojmova, te da sve aritmetičke aksiome izvede iz logičkih pravila. Bez obzira na taj specifični neuspjeh, Fregeov logički sustav najznačajniji je korak logike od njezina utemeljenja u Organonu.)

Naime, Russell i Whitehead su primjerom pokazali kako se uz pomoć Fregeovih pravila zaključivanja sva poznata matematika može izvesti iz svega nekoliko aksioma. Time je empirijski potvrđena dostatnost Fregovih pravila zaključivanja.

Ta empirijska potvrda još nije dokaz da se svaki (poznati ili nepoznati) logički valjani izvod može realizirati pomoću Fregeovih pravila zaključivanja.

To je dokazao tek Gödel svojim teoremom o potpunosti. Teorem tvrdi da Fregeova logička pravila zaključivanja iz zadanih aksioma uvijek generiraju sve njihove logičke posljedice.

(Naravno, Gödelov teorem o potpunosti ima smisla tek onda ako je pojam logičke posljedice definiran neovisno o pravilima zaključivanja; inače bi bio puka tautologija. Zametak takve neovisne definicije nalazimo kod Bolzana, a njezina novija povijest uključuje imena Bernaysa, Hilberta i Gödela. Jednostavno je možemo formulirati na sljedeći način: Propozicija P je logička posljedica propozicija (npr. aksioma) A1,A2,A3,… ako u svakoj strukturi u kojoj vrijede A1,A2,A3,… nužno vrijedi i P. Drugim riječima, ako svaka struktura koja modelira propozicije A1,A2,A3,… nužno modelira i propoziciju P.)

Dakle, ponovimo to još jednom, Fregeova logička pravila su potpuna, jer primijenjena na bilo koji skup aksioma sigurno generiraju sve njihove logičke posljedice. Zamislimo li Fregeova pravila kao logički stroj u koji se umeću aksiomi, onda svaku deduktivnu teoriju možemo zamišljati kao strojni generator svih teorema koji su logičke posljedice umetnutih aksioma.

Povežemo li Gödelov teorem o potpunosti s njegovim 1. teoremom o nepotpunosti, lako ćemo zaključiti da je nepotpunost korektnih i dovoljno jakih deduktivnih teorija uzrokovana nepotpunošću njihovih aksioma.

Korektne i dovoljno jake deduktivne teorije logički su potpune i faktički nepotpune.

Tu činjenicu još jasnije ističe Skolem-Löwenheimov teorem. Taj teorem tvrdi da svaki skup aksioma, kojim želimo karakterizirati strukturu s beskonačno mnogo objekata (kakva je na primjer temeljna matematička struktura prirodnih brojeva) nužno vrijedi i u mnogim drugim strukturama, koje su bitno različite od strukture koju želimo karakterizirati. Drugim rečima, deduktivne teorije koje bi trebale karakterizirati jednu jedinu strukturu, zapravo nisu moguće.

O tome kako se dokazuju teormi nepotpunosti sljedećeg petka.

One response »

  1. Ako smijem, jedan komentar laika u ovome području. Zanimljivo je da Frege u Begriffsschriftu spominje analizu rečenice u terminima paradigme funkcija/argument nasuprot tradicionalnoj logičkoj podjeli na subjekt i predikat. To je zanimljivo zato što je pojam funkcije prvenstveno matematički pojam (npr. još od Eulera, ali posebice za Fregeovo vrijeme u 19. stoljeću kada se pojam dodatno razvio). Pa ako rabi moderne matematičke pojmove za analizu rečenice, onda se radi više o matematizaciji jezika, negoli o svođenju matematike na logiku. On ustvari pretpostavlja tada moderni matematički pojam kao bazični.

Odgovori

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava / Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava / Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava / Izmijeni )

Google+ photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google+ račun. Odjava / Izmijeni )

Spajanje na %s