U nedavnom sam postu napisao da, u prosjeku, trebate kupiti 1525 čokoladica “životinjskog carstva” da biste skupili svih 250 sličica. Evo i objašnjenja zašto baš 1525.

Koliko puta, u prosjeku, morate baciti kocku da biste dobili 6? Intuicija nam kaže 6 puta. To je jedan od rijetkih slučajeva gdje naša intuicija vjerojatnosti ne griješi. S druge strane, neko razumno objašnjenje te intuicije nije lagano. Pokušajte ga dati i odmah ćete se u to uvjeriti.

Ista nam intuicija kaže da (u prosjeku) novčić morate baciti 2 puta da biste dobili glavu, dok iz špila karata trebate (opet u prosjeku) izvući 4 karte da biste dobili tref.

Općenito, ako je vjerojatnost željenog ishoda neke akcije p (npr. p = 1/6, 1/2  ili 1/4) onda tu akciju, u prosjeku, trebate ponoviti 1/p puta (dakle 6, 2, ili 4 puta) da biste došli do željenog ishoda.

Prihvatimo tu intuiciju kao istinu (što ona jest) i vratimo se našem problemu „životinjskog carstva“.

U prvoj čokoladici koju kupite sigurno nalazite (za vas) novu sličicu.

Vjerojatnost da u drugoj kupljenoj čokoladici nađete novu sličicu je 249/250 (jer se sada među svakih 250 sličica nalazi samo 249 vama novih). Prema našem uvodnom razmatranju, prosječno trebate kupiti 250/249 čokoladica da biste došli do nove sličice.

Vjerojatnost da u sljedećoj čokoladici nađete (za vas) novu sličicu je 248/250, pa u prosjeku trebate kupiti 250/248 sličica da biste došli do sljedeće nove sličice.

Vjerojatnost da u sljedećoj čokoladici nađete (za vas) opet novu sličicu je 247/250, pa u prosjeku trebate kupiti 250/247 sličica da biste došli do sljedeće nove sličice.

I tako dalje.

Dakle, ukupni prosječni broj čokoladica koje trebate kupiti je

1 + 250/249 + 250/248 + 250/247 +… + 250/2 + 250/1 =

= 250 × (1 + 1/2 + … + 1/247 + 1/248 + 1/249 + 1/250)

Ako imate živaca izračunati zbroj u zagradi, te ako ga zatim pomnožite s 250, dobit ćete 1525. To je, u prosjeku, broj čokoladica koje trebate kupiti da biste došli do svih 250 životinja.

Oni koji nešto znaju o harmonijskom redu 1 + 1/2 + 1/3 + … možda će se sjetiti da je (približno)

1 +1/2 + … + 1/(n-1) + 1/n = ln n + g + 1/2n,

gdje je g slavna Eulerova konstanta 0.577218 …. Dakle, oni se neće „ubiti“ računanjem „zbroja u zagradi“ nego će (mnogo jednostavnije) izračunati

250 × (ln 250 + 0.577218 + 1/500) = 1525.

Evo i objašnjenja zašto za željeni ishod akciju trebamo ponoviti 1/p puta (ako akcija željeni ishod daje s vjerojatnošću p).

Ponovimo li akciju m puta imat ćemo cca. m×p željenih ishoda (jer je vjerojatnost željenoga ishoda p). No, to znači da je prosječni broj pojavljivanja željenog ishoda cca. m/m×p=1/p.

Dokaz, bez cca, izgleda ovako:

Označimo očekivani broj ponavljanja s E. Zatim, uočimo da prva akcija neželjeni ishod daje s vjerojatnošću 1–p, a željeni s vjerojatnošću p. U prvom slučaju krećemo iz početka, pa je očekivani broj akcija do željenoga ishoda sada 1+E. U drugom slučaju došli smo do željenog ishoda već u prvoj akciji. No, to znači da je očekivani broj akcija

E = (1+E)(1–p) + 1×p.

Odavde osnovnoškolskim računom slijedi da je E = 1/p.

Odgovori

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava / Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava / Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava / Izmijeni )

Google+ photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google+ račun. Odjava / Izmijeni )

Spajanje na %s