Ako B želi kupiti opciju od A, koliku premiju treba A tražiti a B platiti? Ako B želi tu opciju prodati sljedećem kupcu C, kolika treba biti cijena te daljnje transakcije? Ovaj problem određenja cijene opcije, matematički je prvi obradio L. Bachelier, početkom 20. stoljeća.  Da bi ga uopće mogao formulirati najprije je trebao opisati kretanje cijena robe o čijoj je opciji riječ. Pretpostavio je da je fluktuacija cijena jedna vrsta slučajnog procesa, koja je kasnije nazvana Brownovim gibanjem.

(Brownovo gibanje nazvano je po botaničaru R. Brownu koji se u 19. stoljeću pitao koja sila upravlja bar naizgled slučajnim gibanjem čestica peludi u vodi. Na pitanje je odgovorio A.  Einstein matematičkim modelom čestice koju u svakoj sekundi udaraju milijarde molekula vode i tako uzrokuju njeno gibanje. Eksperimenti J. B. Perrina pokazali su da Einsteinov model odlično predviđa gibanja koja modelira i to je bio konačni dokaz da se materija sastoji od molekula. Financijaši se s pravom ponose da je Bachelier i prije Einsteina došao do ovoga modela, iako u vezi s fluktuacijama cijena a ne s česticama peludi i atomarnom teorijom materije.)

Poćevši od neke cijene C0 , u trenutku t = 0, cijena robe ima slučajne (braunovske) otklone Bt. Nešto preciznije, cijena robe Ct u trenutku t iznosi:

Ct = C0 + vBt.

(Faktor v je tzv. volatilnost cijene razmatrane robe. Naime, cijene nekih roba se od početne cijene otklanjaju više, dok su za neke druge robe ti otkloni manji. Volatilnost kvantificira tu razliku.)

Ako ste kupili opciju koja vam omogućava da u trenutku T vašu robu možete kupiti po cijeni K, onda je (u Bechelierovom modelu) vaš dobitak  CT – K = C0 + vBT – K  i svaka cijena opcije manja od  CT – K  vama se isplati. S druge strane, prodavaču te opcije isplativa je svaka cijena veća od  CT – K. Dakle, korektna cijena je  CT – K.

Naravno,  CT – K  sadrži slučajni (braunovski) element BT  pa to nije fiksna vrijednost  nego se radi o slučajnoj varijabli. Zato je korektna cijena jednaka očekivanoj vrijednosti slučajne varijable  CT – K  (tj. njenoj srednjoj vrijednosti).

Polazeći od (braunovske) pretpostavke da je BT , pa zato i CT – K , normalno raspodijeljena slučajna varijabla Bachelier je znao izračunati tu vrijednost, tj. znao je odrediti korektnu cijenu opcije.

Dakle, trgovci u Bachelierovu formulu mogu uvrstiti relevantne parametre (volatilnost  v, početnu cijenu C0 , vrijeme trajanja opcije T i dogovorenu cijenu K) te izračunati korektnu cijenu opcije. Sve ispod te cijene je dobar posao, a sve iznad loš.

Naravno, to je prosječni rezultat. Katkada će biti previsok, a katkada prenizak. Samo u prosjeku će biti točan.

Nedostatak Bachelierovog modela bio je što u model nije bila uključena kamata (koju je također potrebno platiti). Black-Scholesova formula za izračunavanje cijene opcija, iz 1970-tih, uključila je i kamate te je, uz još neka poboljšanja, postala financijski standard ovjenčan „nobelom“.

Model je bio uspješan i mnogi su na njemu dobro zaradili. No, financijska kriza 21. stoljeća pod povećalo je stavila financijske spekulacije u širem smislu i sam model u užem.

Porast trgovanja ovakvim financijskim derivatima bio je ogroman. Njihovo je tržište daleko nadmašilo tržišta roba iz kojih je „derivirano“. P. Wilmott procjenjuje da je (samo u SAD) vrijednost internacionalnog tržišta derivata na vrhuncu financijske krize bila 1.2 milijuna milijardi dolara, što je 200 svjetskih godišnjih bruto proizvoda! Danas se mnogi pitaju koga miluje ta nevidljiva ruka (usp. ovdje).

U pitanje je došla i pozadinska matematika (možda najglasnije u tekstovima N.N. Taleba). Glavni sumnjivac je Bachelierovo Brownovo gibanje koje je normalno raspodijeljeno. Naime, normalno su raspodijeljene one slučajne veličine koje su rezultat mnogih međusobno nezavisnih utjecaja. Je li realno pretpostaviti da su faktori koji utječu na cijene roba međusobno nezavisni? Ta je pretpostavka često neopravdana; s obzirom na moguće povratne sprege i katkad nezanemarivu psihologiju krda u stvarnoj trgovini. No, s padom te pretpostavke model u koji je ugrađeno Brownovo gibanje postaje neprimjenjiv.

Matematički modeli mogu biti veoma korisni, ali je važna i staromodna skepsa prema „čistim“  jednadžbama kao vjernim slikama „prljave“ stvarnosti. Trebali bismo biti oprezniji u pokušajima da matematički modeliramo ljudsko ponašanje.

Jednostavnost matematičkih modela je prelijepa, no ne smijemo zaboraviti da su jednostavni naši modeli a ne svijet koji pokušavaju predstaviti.

One response »

  1. Hrvoje Radic kaže:

    Zimus sam nasao jedan dokumentarac u kojem je objasnjen financijski slom 2008. godine. Ako nekoga zanima link na prvi dio dokumentarca je ovdje;

Odgovori

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava / Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava / Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava / Izmijeni )

Google+ photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google+ račun. Odjava / Izmijeni )

Spajanje na %s