Učenje matematike uključuje pamćenje činjenica, ovladavanje rutinama, usvajanje i razumijevanje pojmova te razvijanje sposobnosti rješavanja problema.

Činjenice i rutine kognitivno su lakše, kako učenicima koji njima trebaju ovladati tako i učiteljima koji ih učenicima trebaju prenijeti. Osim toga, razinu njihove usvojenosti lakše je provjeriti tj. one su lakše ispitive. Pojmovi i problemi teži su u svakom od ovih aspekata. Učenici njima teže ovladavaju, učiteljima ih je teže podučavati, a i bitno je teže provjeriti razinu njihove usvojenosti tj. oni su bitno teže ispitivi.

To su objektivni razlozi zbog kojih matematičko obrazovanje najčešće ne ide dalje od činjenica i rutina, te nekih najjednostavnijih pojmova, iako bi njegov glavni cilj trebalo biti razvijanje sposobnosti i stjecanje sigurnosti u rješavanju problema.

Analizom nekih konkretnih primjera pokušat ću pokazati što je moguće učiniti (a što nije) da bi se ostvario taj glavni cilj matematičkog obrazovanja.

Činjenicama se neću mnogo baviti. Njihova je glavna karakteristika da ih treba pamtiti. U matematici ih, u usporedbi s drugim nastavnim predmetima, nema mnogo: određeni broj matematičkih termina i simbola, numeričke činjenice sadržane u tablicama množenja i zbrajanja, određeni broj formula i sl. U nastavi postoji tendencija da se te činjenice umnažaju, jer ih je lako podučavati i ispitivati, no tome se svakako trebamo oduprijeti.

(Na primjer, u dvanaest godina školovanja ne bi trebalo pamtiti više od sedam formula za površine i volumene: a2, bv, bv/2, r2π, a3, Bv i Bv/3. Nažalost, često se insistira na desecima formula, npr. a2, ab, ava, bvb, ava/2, bvb/2, cvc/2, (a+b)v/2, ef/2… . Krajnji je rezultat da učenici ne zapamte osnovnih sedam formula, niti ih znaju primijeniti na slučajeve koje pokrivaju deseci nezapamćenih formula.)

Toliko o činjenicama.

Rutine ću ilustrirati s nekoliko konkretnih primjera.

(R1)     Standardno izvođenje računskih operacija s brojevima zapisanim u decimalnom obliku ili u obliku razlomka.

(R2)     Računanje s postocima. Na primjer:

(a) Koliko je 12% od 38?

12% od 38 =12%×38 = 0.12×38 ≈ 4.56

(b) Koliko posto od 52 je 34?

34 : 52 ≈ 0.65 = 65%

(R3)     Kamatni račun. Na primjer:

(a) Uz koju se kamatu uloženi iznos udvostruči za 10 godina?

Prema pravilu ”kamata puta vrijeme udvostručenja jednako 70” tražena kamata je

70 : 10 = 7%.

(b) Za koliko godina će se uloženi iznos udvostručiti uz kamatu od 5%?

Prema ”pravilu 70”, za 70 : 5 = 14 godina.

(R4)     Račun proporcija (poznat kao ”pravilo trojno”). Na primjer:

Ako 3.5 kg jabuka stoji 21 kn, koliko stoji 2.5 kg jabuka?

3.5 kg          21 kn

2.5 kg            x kn

→              3.5 : 2.5 = 21 : x   →   x = 2.5×21 / 3.5 = 15 kn.

(R5)     Rutina uvrštavanja u poznate formule. Na primjer:

(a) Izračunajmo volumen stošca kojemu radijus baze ima 3 cm, a visina 4 cm.

V = Bv r2πv,   r = 3 cm,   v = 4 cm     →

V = (3 cm)2π4cm = 9 cm2π4cm = 36πcm3.

(R6)     Osnovne algebarske rutine. Na primjer:

(a) Riješimo linearnu jednadžbu 3x – 5 = x + 1.

3x – 5 = x +1, 2x = 6, x = 3.

(b) Izrazimo  t  iz  s = gt2.

gt2 = 2st2 = 2s/g ,   t =√2s/g .

(R7)    Rutine vezane uz linearnu funkciju. Na primjer:

(a) Nacrtajmo graf funkcije y = 2x – 3.

Nađemo 2 točke (x,y) koje zadovoljavaju jednadžbu, ucrtamo ih u x.y-koordinatni sustav i spojimo ih pravcem.

(b) Ako 3.5 kg jabuka stoji 21 kn, koliko stoji 2.5 kg jabuka?

Veza mase y i cijene x je linearna, tj. opisiva je linearnom funkcijom y = kx. Iz poznatih vrijednosti, y = 21 kn za x = 3.5 kg, nalazimo:

      k = y/x = 21/3.5 = 6;   dakle, y = 6x;   sada za x = 2.5 kg lako nalazimo y = 6×2.5 = 15 kn.

Postupke u prethodnim primjerima zovem rutinama jer želim istači da ih je moguće uspješno primjenjivati kao recepte. To znači da ne moramo znati zašto su ti recepti valjani, niti moramo razumjeti kako se do njih dolazi. Pojmovi koji stoje iza tih rutina kao i poimanje razloga njihove valjanosti, većinu korisnika ne zanima. Samo po sebi to nije ništa loše. Gotovo sve rutine svakodnevnoga života tog su tipa: električne naprave koristimo bez razumijevanja elektrotehnike, automobile vozimo bez razumijevanja strojarstva, surfamo po internetu ne razumijevajući software koji nam to omogućava itd.

Rutine su važne ako su od neke koristi.

(R1), (R2) i (R3) sigurno su korisne rutine (uz donekle upitnu korist računjanja s razlomcima). Vrlo su vjerojatno korisne i rutine (R4), (R5), te elementarni aspekti od (R6).  Neke od tih rutina korisnici više ili manje razumiju, na primjer (R4) te donekle (R1) i (R2). Neke velika većina korisnika sigurno ne razumije, npr. (R3).

(Naime, trebalo bi razumjeti da je 2G = G(1 + k/n)nt, da iz toga slijedi 2G = G((1 + k/n)n)t Gekt, te da je zato ekt ≈ 2, tj. kt ≈ ln 2 ≈ 0.70 što je ”pravilo 70”:  100kt ≈ 70.)

S druge strane postoje rutine koje gotovo nikome nisu od koristi; npr. rutinsko nalaženje najveće zajedničke mjere i najmanjeg zajedničkog višekratnika ili izvođenje složenih algebarskih manipulacija. Takve rutine su ono što nastavu matematike opterećuju na najgori način i što je u svijesti učenika i šire javnosti  čini besmislenom aktivnošću.

(Takve se rutine u nastavi matematike pojavljuju tek od petog razreda pa je možda i to razlog da je matematika u prva četiri razreda većini učenika najdraži, a od petog najomraženiji predmet.)

Rutinom (R7) pozabavit ću se posebno u  sljedećem postu. Ona je u vezi s veoma važnim pojmom linearne ovisnosti.

4 responses »

  1. Veky (@veky) kaže:

    Moram priznati da su meni NZM i nzv bili puno korisniji u životu nego (R3). No moguće je da zato nemam baš puno novca danas.😛

  2. Veky (@veky) kaže:

    Ovaj gornji komentar je tako divno dvosmislen…😀

    (moguće je da su mi NZM i nzv bili bitniji nego (R3) jer sam matematičar, a moguće je i da nemam puno novca danas jer sam matematičar)

Odgovori

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava / Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava / Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava / Izmijeni )

Google+ photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google+ račun. Odjava / Izmijeni )

Spajanje na %s