Linearna ovisnost jedna je od najvažnijih tema matematičkog obrazovanja. U prethodnom se postu  pojavila kao rutina (R7). Podsjetimo se:

(R7) Rutine vezane uz linearnu funkciju su, na primjer:

(a) Nacrtajmo graf funkcije y = 2x – 3.

     Nađemo 2 točke (x,y) koje zadovoljavaju jednadžbu, ucrtamo ih u x,y-koordinatni sustav i spojimo ih pravcem.

(b) Ako 3.5 kg jabuka stoji 21 kn, koliko stoji 2.5 kg jabuka?

      Veza mase i cijene y je linearna, tj. opisiva je linearnom funkcijom y = kx. Iz poznatih vrijednosti, y = 21 kn za x = 3.5 kg, nalazimo:

       k = y/x = 21/3.5 = 6;   dakle, y = 6x;   sada za x = 2.5 kg lako nalazimo y = 6×2.5 = 15 kn.

Kao puke rutine, tj. kao recepti koji se koriste bez razumijevanja, ove su rutine beskorisne. No to ne znači da je razumijevanje pojma linearne veze beskorisno. Naprotiv, taj je pojam izuzetno važan i koristan. Ali pojam, ne samo puka rutina. Bez jasnog razumijevanja linearne veze ”linearnu rutinu” iz b) nije lako korektno primijeniti. Na primjer, kako bi učenici (podučeni “linearnoj rutini”) riješili sljedeći zadatak:

(Z)    Ako 120 komada možemo prodati po 40 kuna, a 90 komada po 55 kuna, koliko komada možemo prodati po 60 kuna?

Učitelji od svojih učenika često očekuju uspješnu  primjenu linearne rutine:

Pretpostavimo da je veza cijene (po komadu) i prodane količine linearna.

Linearna funkcija čiji graf prolazi točkama T1(40, 120) i T2(55, 90) nalazi se po formuli

yy1 = ((y2 – y1) / (x2 – x1)) (xx1).

U našem slučaju to je funkcija

y – 120 =  ( (90-120)/(55-40) ) (x – 40)    tj.    y = –2x + 200.

Za x = 60 lako nalazimo y = –2×60 + 200 = 80. Dakle, po 60 kuna možemo prodati 80 komada.

Možda se nekome i posreći da ovaj recept primijeni korektno, čak i bez razumijevanja pojmova i postupaka u njegovoj pozadini, ali takav sretni ishod je rijedak.

(Osim ako nije ”izdrilan” na mnogo u biti istih zadataka, što je sigurno najgora moguća matematička poduka. Ona u žrtvama takve poduke s pravom stvara otpor prema matematici.)

Korektna primjena je moguća ako pođemo od pretpostavke da jednakim porastima cijene odgovaraju jednaki padovi prodaje, te razumijemo da odavde slijedi da su omjeri tih prirasta konstantni. Dakle,  Δyx = (90 – 120)/(55 – 40) =  –30/15 = –2. Zatim treba razumjeti da to vrijedi i za svaki drugi par pridruženih vrijednosti cijene y i prodaje x,  dakle (y – 120)/(x – 40) = –2, tj. y = –2x + 200. Uvrštavanjem x = 60 dolazimo do rješenja.

Nakon što se mnogo puta susretnemo s ovakvim linearnim vezama može nas zanimati i opća formula (y2y1) / (x2x1) = (yy1) / (xx1) koju smo koristili u linearnoj rutini. Naravno, ovu apstraktnu formulu može primijeniti samo onaj koji je ovaj postupak mnogo puta primijenio u konkretnim primjerima. Taj razumije što su linearne veze i kako ih opisuju linearne funkcije. Osim toga on mora znati i uspješno provoditi osnovne algebarske manipulacije. Doći do te razine znanja nije nimalo lako. Usuđujem se reći da do nje stiže samo onaj dio učeničke populacije koji će se u svojem kasnijem obrazovanju i radu koristiti matematikom. Ukratko, to je manji dio učeničke populacije.

To ne znači da zadatak (Z) ne bi trebali znati riješiti i ostali učenici. Gotovo svi mogu razumjeti pretpostavku da jednakim prirastima cijene odgovaraju jednaki padovi prodaje. U skladu s tim, gotovo svi mogu dopuniti tablicu s početno zadanim vrijednostima:

y  (cijena po komadu u kn)

40

55

60

x  (prodaja u kom)

120

90

?

Naime, koristeći se činjenicom da porastu prodaje za 30 kom odgovara pad cijene za 15 kn (dakle porastu prodaje za 10 kom pad cijene za 5 kn) lako je doći do upotpunjene tablice:

y

35

40

45

50

55

60

65

x

130

120

110

100

90

80

70

Razumijevanje linearnih veza na ovoj razini (stručnije kazano na razini aritmetičkih nizova) dostupno je gotovo svima. (Uočite da ova razina čak ne zahtijeva ovladavanje algebarskim manipulacijama.) Nažalost, to se najčešće zanemaruje i odmah se prelazi na apstraktnu razinu ”linearna veza = linearna funkcija”. Tu se većina učenika izgubi, te na kraju o linearnim vezama ne znaju ni ono što bi mogli znati.

S prethodnim primjerima (iz ovog i prethodnog posta) samo smo ilustrirali ključna pitanja matematičke poduke:

1) Kojim činjenicama i kojim rutinama učenici nužno moraju ovladati?

2) Koje je rutine besmisleno podučavati bez razumijevanja pojmova i postupaka u njihovoj pozadini?

3) Koji su pojmovi učenicima dostupni?

Na treće pitanje (bar kada se radi o učenicima osnovne škole) bolje će odgovarati razvojni psiholozi nego matematičari. Drugo pitanje zahtijeva detaljnu matematičku i kognitivnu analizu odgovarajućih rutina i pojmova. Odgovor na prvo pitanje ovisi o tome što želimo postići matematičkom podukom. Ako je njen glavni cilj razvijanje sposobnosti matematičkog rješavanja problema, onda činjenice, rutine i pojmovi moraju biti u službi tog osnovnog cilja.

Na primjer, ako tipovi problema, čijim rješavanjem želimo da ovlada većina učeničke populacije, nikada ne zahtijevaju sistematsko izračunavanje najvećih zajedničkih mjera ili spretnost u izvođenju složenih algebarskih manipulacija, onda te rutine ne trebamo podučavati. Takav test trebao bi proći svaki matematički sadržaj koji želimo uvrstiti u naše programe. Naravno, tada je ključno pitanje koje tipove problema naši učenici trebaju uspješno rješavati po završetku školovanja. Ovim postom ne mogu odgovoriti na to osnovno pitanje ali mogu istaknuti da od tog pitanja treba krenuti svaka rasprava o matematičkom kurikulumu.

Kada identificiramo koji su to problemi koje učenici trebaju uspješno rješavati, te matematičkom i kognitivnom analizom ustanovimo koje su rutine i pojmovi za to potrebni, odgovorili smo na pitanje što podučavati. Preostalo nam je jednako teško pitanje: kako podučavati?

Stara izreka: što čujem to zaboravim, što vidim to zapamtim, a što učinim to razumijem, jasno nas podsjeća da se najbolje uči rješavajući probleme. Kao socijalnim bićima prirodno nam je da probleme rješavamo u međusobnoj interakciji, dakle u grupi. Nažalost, u razredu nije lako realizirati ove ideale. Grupni rad i zanimljivi instruktivni problemi zahtijevaju dosta vremena. (Tu je i teškoća ocjenjivanja grupnoga rada. No od grupe uvijek možemo tražiti da sama procijeni doprinose svojih članova, što ima i dodatnu odgojnu vrijednost.)

Problem vremena najčešće je poguban za problemsku nastavu, osim ako ne smatrate (kao ja) da je problemska nastava s manje nastavnih tema bolja od neproblemske s više nastavnih tema.

Nažalost, inzistiranje da se obradi mnogo nastavnih tema (na uštrb problemskog pristupa) ćesto vodi tome da se problemi pretvore u rutine ili što je još gore u trikove. Ilustrirat ću to s nekoliko primjera u sljedećem postu.

2 responses »

  1. Veky (@veky) kaže:

    Prvo, x i y su pobrkani negdje usred teksta. Možda bi se dalo popričati i o tome kako matematičari imaju određenu vrst fetiša na slova x i y, dok bi neka slova koja bolje odgovaraju kontekstu (recimo c i k ovdje, kao cijena i količina) bila puno prikladnija.

    A drugo i puno bitnije, ja _nikad_ ne bih pomislio iz teksta zadatka da se očekuje linearna veza između te dvije stvari.:-/ Između ostalog i zbog onog legendarnog vica http://www.8vicevi8.com/tovari-dok-ne-bude-besplatno/ (ali ne samo zato). Prihvaćam ideju linearne _aproksimacije_ modela, no tad bi bar bilo pošteno tražiti interpolaciju, a ne ekstrapolaciju, u zadatku.

    • zsikic kaže:

      “Možda bi se dalo popričati i o tome kako matematičari imaju određenu vrst fetiša na slova x i y, dok bi neka slova koja bolje odgovaraju kontekstu (recimo c i k ovdje, kao cijena i količina) bila puno prikladnija.”

      Slažem se.

      “A drugo i puno bitnije, ja _nikad_ ne bih pomislio iz teksta zadatka da se očekuje linearna veza između te dvije stvari.:-/ Između ostalog i zbog onog legendarnog vica http://www.8vicevi8.com/tovari-dok-ne-bude-besplatno/ (ali ne samo zato). Prihvaćam ideju linearne _aproksimacije_ modela, no tad bi bar bilo pošteno tražiti interpolaciju, a ne ekstrapolaciju, u zadatku.”

      Linearna veza ovdje je gruba i netočna idealizacija, tu si u pravu, no ovakvi se zadaci obrađuju u okviru teme linearna veza pa učenici ipak lako “pomisle”. (Naravno i takva nastava je problematična, no to je nova tema “veze matematike (koju podučavamo) i života”🙂.)

Odgovori

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava / Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava / Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava / Izmijeni )

Google+ photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google+ račun. Odjava / Izmijeni )

Spajanje na %s