Prethodni post sam završio upozorenjem da se poželjna poduka rješavanja  problema može pretvoriti u poduku rutina ili što je još gore u bavljenje trikovima. Ilustrirat ću to s nekoliko primjera.

(P1)  Koje znamenke treba uvrstiti za koja slova, da bi sljedeći zbrojevi bili točni:

a) 1 2 A b) S E N D
+ 2 B 5 + M O R E
3 6 2 M O N E Y

(P2)  Tri grafa (koje molim da zamislite, jer ih ne znam ucrtati🙂 ) prikazuju gibanje tri trkača u trci na 400 m. Opišite što se zbivalo u toj trci.

(P3a)  Cijena se prvo poveća za 10% a zatim se smanji za 10%. Kolika je konačna  cijena u odnosu na početnu? Što ako se cijena prvo smanji a onda poveća za 10%?

 (P3b)  U špilu od 100 karata 45 je ”gubitnih”, a  55 ”dobitnih”. Početno imate 10 000 kn. Izvlačite po jednu kartu, ulažući na nju pola iznosa koji trenutno imate. Igrate  dok imate novca ili dok ne izvučete posljednju od 100 karata. Koliko novaca imate na kraju?

(P4)  Koja su točna vremena u kojima su mala i velika kazaljka na satu poklopljene?

(P5)  Zamislite kružnicu dugu 40 000 km, npr. idealizirani ekvator. Oko njega koncentrično razapnite 4 m dulju kružnicu (dakle kružnicu produženu za 0.00001%). Možete li se provući između ekvatora i te nove kružnice?

(P6)  Svaka domino pločica prekriva točno dva šahovska polja. Možete li s takvim domino pločicama potpuno prekriti šahovsku ploču kojoj su odsječena dva nasuprotna kutna polja.

(P7)  Na teniskom turniru sudjeluje 234 tenisača. Igra se na ispadanje do konačnog pobjednika u finalu. Koliko se susreta treba odigrati na tom turniru?

(P8)  Iz prve posude s crnim vinom jednu žlicu prebacimo u drugu posudu s bijelim vinom. Zatim iz druge posude jednu žlicu mješavine vratimo u prvu. Je li na kraju više bijelog vina u crnom ili je više crnoga u bijelom?

(P9)  Na stolu je 12 novčića; 5 glava i 7 pisama. Bez gledanja (dakle ”naslijepo”) novčiće smijete okretati i grupirati. Možete li ih ”naslijepo” grupirati u dvije skupine tako da u svakoj bude isti broj glava?

Probleme najbolje razumijemo i od njih najviše naučimo kada ih sami riješimo. Zato ću umjesto rješenja gornjih problema dati samo kratke upute i komentare. Ono što me sada najviše zanima jesu teškoće s kojima se mora nositi problemska nastava, a koje ilustriraju ovi problemi.

Usporedimo probleme (a) i (b) u (P1). Oba zahtijevaju razumijevanje dekadskog zapisa i pismenog zbrajanja, pa zato pomažu razvoju tog razumijevanja, a mogu se koristiti i za njegovu provjeru. No, (a) je za razliku od (b) relativno lagan i ne zahtijeva mnogo vremena. Zato se u nastavi redovito obrađuje tip (a), a nikada tip (b). Nažalost, ove prednosti tipa (a) ujedno su i njegove mane. Nastavna praksa nas uči da učenici mogu usvojiti rutinu rješavanja tipa (a) bez da razumiju što rade, čime je problem potpuno izgubio svoju svrhu. Problem (b), zbog svoje složenosti, u svakom trenutku zahtijeva razumijevanje i idealan je za grupni rad. No, učenici ga najvjerojatnije neće uspjeti riješiti, iako će čak i tada na njemu naučiti više nego na problemu (a). Očito je da su najpoučniji problemi smješteni negdje između ova dva ekstrema, ali ekstremi u čistoj formi ukazuju na teškoće s kojima se nužno susrećemo.

Problem tipa (P2) također može postati rutinom ako se stalno ne izmišljaju novi konteksti u kojima se on prezentira. U literaturi je opisano kako su nizozemski učenici, bez razumijevanja, uspješno naučili rješavati ovakav tip zadatka. Stalno izmišljanje novih problema određenoga tipa, koje će spriječiti da se oni pretvore u rutinu, zamorno je i učitelji od toga s vremenom odustaju što je stalna opasnost po smislenu matematičku poduku.

Druga opasnost je zamjena teških problema koji zahtijevaju mnogo vremena ”lakima” koje možete riješiti u trenu ako vam na pamet padne prava dosjetka. Na primjer, (P6) možete lako riješiti ako uočite činjenicu da su oba odbačena polja bijela, te da svaka domino pločica nužno pokriva jedno bijelo i jedno crno polje. Pametna dosjetka i (P9) može učiniti lako rješivim, iako se čini da je nerješiv.

Probleme (P4), (P7) i (P8) možete uspješno riješiti ako razumijete odgovarajuće matematičke pojmove i rutine. Čitateljima prepuštamo da odrede koji su to pojmovi i rutine u svakom od ovih slučajeva. Reći ćemo tek da su oni u slučaju (P4) i (P8) većini učenika nedostupni, dok u slučaju (P7) zahtijevaju previše računanja. Naravno, prava dosjetka sva tri problema čini ”lakima”. Evo kratkih uputa: svaki tenisač koji nije pobjednik turnira mora izgubiti točno jedan susret, u 12 sati imamo 11 jednoliko raspoređenih poklapanja, a redoslijed prebacivanja žlice vina nije bitan za konačni rezultat.

Takve nas dosjetke (trikovi) s pravom oduševljavaju, ali njihova edukativna vrijednost je mala. Naime, od velike većine učenika potpuno je nerealno očekivati otkriće prave dosjetke. Ta većina čak i malo složeniju primjenu standardnih rutina i pojmova doživljava kao trik. Na primjer, u vezi s (P3), recimo da neki učenici razumiju da redoslijed postotnog povećanja i umanjenja ne utječe na konačni rezultat (jer redoslijed faktora ne utječe na rezultat množenja). Ti će učenici vrlo vjerojatno uočiti da to načelo rješava (P3a), ali vrlo vjerojatno neće uočiti da isto načelo vodi do rješenja od (P3b).

Još je zanimljiviji problemi (P5). Da biste ga riješili dovoljno je znati najelementarnije činjenice o linearnim vezama, te da opseg kruga linearno ovisi o njegovu radijusu. Ipak, većina učenika koja zna i jedno i drugo neće uspjeti riješiti (P5), čak i kada ih uputite na te činjenice. Znači li to da oni ipak ne razumiju što je linearna veza? U određenom smislu da.

Oni o linearnim vezama znaju neke činjenice (npr. formulu y = kx + l, imena njenih parametara k i l, itd.), znaju vjerojatno i neke rutine (npr. crtanje grafa od y = kx + l, nalaženje y-a iz zadanog x-a, x-a iz zadanog y-a itd.) i možda čak razumiju neke pojmove (npr. pojam grafa od y = kx + l, geometrijsko značenje od k i l, itd.). Ali ako uz sva ta znanja (koja su temelj naše poduke o linearnosti) učenici ne znaju riješiti problem poput (P5), tj. ako nisu razvili sposobnost rješavanja linearnih problema, onda je njihovo razumijevanje linearnih veza bitno ograničeno. Može se postaviti pitanje svrsishodnosti ovladavanja ”linearnim činjenicama, rutinama i pojmovima”, ako oni ne vode k sposobnosti rješavanja ”linearnih problema”.

Što vrijedi za ”linearnost” vrijedi i za druge matematičke sadržaje: usvajanje činjenica, rutina i pojmova nema puno smisla ako ne vodi do sposobnosti rješavanja problema.

S obzirom na teškoće koje nužno susrećemo na tom putu, možda se trebamo ograničiti na manji broj činjenica, rutina i pojmova (dakle na manji broj nastavnih sadržaja), ali s ciljem da ih obradimo tako da ih učenik uspješno koristi pri rješavanju odgovarajućih problema.

3 responses »

  1. Veky (@veky) kaže:

    Nisam baš siguran da razumijem ovo o P5… tvrdnja je da neće imati intuitivan pojam o tom povećanju, ili da ga neće moći izračunati? Mislim da skoro svatko u 8. razredu zna formulu za opseg kruga, i zna je invertirati tako da traži polumjer iz opsega. Jedino što zahtijeva malo mućkanja glavom je prepoznati ono što se traži kao razliku polumjera, ali stvarno sumnjam da je to toliki problem.

    Naravno, ako je ideja da je puno važnije imati intuitivni pojam o linearnoj vezi polumjera i opsega, koji ovdje trivijalno rješava stvar, s tim se mogu složiti. No “oni to ne mogu izračunati” mi ipak djeluje preoštro.

    Pitanje za ostale čitatelje: je li prof. Šikić slučajno ispustio pretpostavku (koja se obično navodi) u P8 da je u obje posude izvorno ista količina vina, ili ta pretpostavka doista nije potrebna? I ima li to veze s hintom za P9?😉

    • zsikic kaže:

      “No “oni to ne mogu izračunati” mi ipak djeluje preoštro.”

      U postu piše “riješiti” a ne izračunati; no u pravu si “ideja je da je puno važnije imati intuitivni pojam o linearnoj vezi polumjera i opsega…”

      Pretpostavljam da nisam pozvan da odgovaram na pitanje upućeno čitateljima🙂.

  2. Veky (@veky) kaže:

    Pa mogu i riješiti, samo krajnje dosadnom metodom: izračunaju jedan i drugi polumjer, oduzmu i usporede. Kalkulatori pamte dovoljno znamenki. (Doduše, da je uzet npr. Sunčev ekvator, većina kalkulatora ne bi imala dovoljnu preciznost, tako da ima u tome nešto.;)

    >Pretpostavljam da nisam pozvan da odgovaram na pitanje upućeno čitateljima🙂 .
    Ako se nitko drugi ne javi…🙂

Odgovori

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava / Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava / Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava / Izmijeni )

Google+ photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google+ račun. Odjava / Izmijeni )

Spajanje na %s