Mnogima je teško zamisliti kako bi svijet subjektivnih iskustava mogao proizaći iz „pukih“ fizikalnih fenomena. Taj je problem u filozofiji poznat kao problem „kvalija“ i najteži je dio staroga problema odnosa „duha i tijela“. Možemo ga sažeti u pitanju: „Kako materija (tijelo, mozak) postaje duh (um)?“ Razne vrste dualista smatraju da ona to nikada ne postaje, a neki od njih čak misle da Gödelov teorem o nepotpunosti to i dokazuje (R. Penrose možda je najpoznatiji, iako ne i najartikuliraniji, proponent ovoga stava). Njihov glavni argument jest da Gödelov teorem implicira neekvivalentnost čovjeka i stroja, u sljedećem smislu:

Nema stroja koji bi mogao obuhvatiti sve naše matematičke intuicije.

Dakle, mi nismo samo puki strojevi; nešto smo više od toga.

Krenut ću zato od osnovne ideje koja je u pozadini Gödelovog teorema. Neka je S stroj koji je programiran da (između ostalog) printa konačne nizove simbola , P i D. U svakom trenutku, npr. svake sekunde, stroj isprinta jedan takav niz. Npr. u prvoj sekundi stroj isprinta PPDP, u drugoj PDP, u trećoj PPDDP, itd. (Kazat ću da S  printa neki niz ako ga isprinta u bilo kojem trenutku, te  da ga ne printa ako ga ne isprinta ni u jednom trenutku.)

Neki od nizova nešto znače i zvat ću ih rečenicama. U rečenice spadaju i nizovi oblika PX, PX, PDY ili PDY (gdje je X bilo koji niz koji ne poćinje s D, a Y je bilo koji niz) a njihova su značenja definirana na sljedeći način:

(i)      Rečenica oblika PX znači „S printa X“.

(ii)     Rečenica oblika PX znači „S ne printa X“.

(iii)    Rečenica oblika PDY znači „S printa YY“.

(iv)     Rečenica oblika PDY znači „S ne printa YY“.

(Naprosto mislite o , P i D kao o „ne“, „printa“ i „dvostruko“.)

Dakle, rečenice imaju značenje. S obzirom na to značenje one su istinite ili neistinite. S obzirom na istinitost rečenica koje neki stroj printa, on je ili nije korektan i/ili potpun. Ti se pojmovi definiraju na sljedeći način:

Stroj S je korektan ako printa samo istinite rečenice. (Nije nužno da ih printa sve.)

Stroj S je potpun ako printa sve istinite rečenice. (Moguće je da printa i neistinite.)

Najzanimljiviji su strojevi koji su korektni i potpuni. Nažalost takvih strojeva nema!

Teorem o nemogućoj korektnosti i potpunosti:   Svaki je stroj nekorektan ili nepotpun.

Dokaz:

Promotrimo rečenicu  –PD–PD. Njeno je značenje “S  ne printa  –PD–PD”.

Naravno, S  printa ili ne printa rečenicu  –PD–PD.

Ako S printa  –PD–PD onda on printa neistinitu rečenicu, tj. S nije korektan.

Ako S ne printa  –PD–PD onda on ne printa istinitu rečenicu, tj. S nije potpun.

Koja je veza ovog vrlo jednostavnog teorema s Gödelovom nepotpunošću i “mehanizacijom” naših matematičkih intuicija?

Mehanizirati naše matematičke intuicije znači konstruirati stroj koji će dokazati (i isprintati) sve matematičke teoreme koje inače dokazujemo koristeći se tim intuicijama. Formalizirana matematička teorija sa svojim formalnim jezikom, aksiomima i deduktivnim pravilima jedan je takav stroj i na njega možemo primijeniti naš jednostavni teorem.

No, suočit ćemo se s jednim problemom: matematičke teorije (strojevi) nisu samo-reflektivne u onom smislu u kojem je to stroj iz našeg teorema. On producira (printa) rečenice koje nešto tvrde o njemu samom, dok matematičke teorije tvrde mnoge stvari o mnogim matematičkim objektima ali ništa o samoj sebi. Ako nas zanimaju tvrdnje o samoj teoriji onda obično konstruiramo drugu teoriju koja se bavi ovom prvom i koju zovemo njenom meta-teorijom.

Tu stiže Gödel! On je 1931. dokazao da se u svakoj formaliziranoj matematičkoj teoriji (stroju), koja sadrži elementarnu aritmetiku, može realizirati i njena vlastita meta-teorija, te da se onda na nju može primijeniti naš jednostavni teorem. (Najteži i najoriginalniji dio Gödelovog dokaza, za koji je razvio sasvim novu teoriju rekurzivnih funkcija, bilo je to pretstavljanje meta-teorije u samoj teoriji.)

Zahvaljujući Gödelu možemo zaključiti: Ako mehanizirana matematička teorija (stroj) sadrži elementarnu aritmetiku, onda je ta teorija nekorektna (dokazuje neistine) ili nepotpuna (ne dokazuje sve istine). Drugim riječima, ako je naša teorija korektna (dokazuje samo istine) onda je sigurno nepotpuna (ne dokazuje sve istine). Dapače, mi možemo konstruirati konkretnu (tzv. Gödelovu) rečenicu, po uzoru na ~PD~PD, za koju znamo da je istinita iako nije dokaziva u našoj teoriji.

Argument dualista koji se pozivaju na Gödelov teorem je sljedeći: Svaki pokušaj mehaniziranja svih naših matematičkih intuicija osuđen je na propast jer sam čin mehanizacije dovodi do novog intuitivnog znanja (sasvim konkretno, do znanja o istinitosti Gödelove rečenice) koje nije dostupno tom mehaniziranom sustavu.

Što ne valja u tom argumentu? Problem je da morate mnogo znati o konkretnoj mehanizaciji vaših matematičkih intuicija da biste zaključili da je Gödelova rečenica te mehanizacije istinita. U konkretnom slučaju kojim se bavio Gödel (i o kojem je gore nešto kazano) znamo dovoljno da bismo baš to mogli zaključiti. No, to ne mora uvijek biti tako.

Penrose i drugi dualisti koji se pozivaju na Gödelov teorem pobrkali su nekorektni argument: “ne postoji stroj koji obuhvaća sve naše matematičke intuicije” s korektnim argumentum: “ne postoji stroj koji obuhvaća sve naše matematičke intuicije i o kojem znamo toliko da možemo zaključiti da je njegova Gödelova rečenica istinita”.

Naime, moguće je da postoji matematički stroj koji ima sve naše matematičke intuicije, ali mi o njemu ne znamo dovoljno da bismo mogli zaključiti da je njegova Gödelova rečenica istinita.

Na primjer, mi bismo mogli biti takav stroj. Iz Gödelovog teorema tada slijedi samo to da je naše znanje o tom našem strojnom aspektu nužno ograničeno (suprotno od možebitne intuicije da su strojevi nešto što uvijek možemo potpuno razumijeti).

30 responses »

  1. davor kaže:

    Meni to izgleda jeftino. ”Any statement can be held true come what may, if we make drastic enough adjustments elsewhere in the system.” Ako u dovoljnoj mjeri redefiniramo pojam ”stroj” onda, naravno, možda smo mi strojevi.

    • zsikic kaže:

      da bismo stroj redefinirali morali bismo ga prije toga definirati

      • davor kaže:

        Slažem se da je u tome problem. Ali, možebitno imamo neke intuicije o tome što podrazumijeva pojam stroj. Evo, moja intuicija je da, mada naravno ja ne razumijem kako većina strojeva radi, u principu za svaki stroj ima netko tko to razumije (npr. onaj tko ga je izradio). Očito, mi nismo stroj u smislu nečega što je netko izradio (recimo neki inteligentni dizajner). Tako da mi se čini da su oni koji zastupaju zamisao da smo mi (unatoč toj očitosti) ipak nekakvi strojevi pozvani obrazložiti u kojem smislu razumiju pojam stroja.

      • zsikic kaže:

        moja gruba intuicija stroja (nešto što djeluje “mehanički”) ne podrazumijeva da se radi o artefaktu

        inače, ne “zastupam tu zamisao” samo je a priori ne odbacujem (tj. možda je istinita)

  2. Veky (@veky) kaže:

    ? Bojim se da sam se pogubio.

    Možete li navesti primjer teorije čija Gödelova rečenica _nije_ istinita?🙂

    • zsikic kaže:

      ne mogu navesti ni primjer realnog broja koji nije izračunljiv (iako ih ima više nego izračunljivih)🙂

      “ova rečenica nije dokaziva” je istinita jer nije dokaziva,
      naime kada bi bila dokaziva bila bi istinita pa bi bilo kako ona tvrdi, tj. ne bi bila dokaziva
      uočite boldanu pretpostavku o korektnosti teorije

      dakle istinitost gödelove rečenice slijedi tek iz korektnosti teorije
      (gödel je pokazao da slijedi čak i iz konzistentnosti, ako hoćemo mimoići pojam istinitosti)

      problem je da za neke strojeve možda ne znamo jesu li korektni (ili bar konzistentni)
      osim ako nečija definicija stroja nužno ne uključuje to znanje
      (no ja npr. mislim da je planetarni sustav jedan stroj čija “strojnost” ne ovisi o tome što mi znamo o njemu)

      • davor kaže:

        Naravno da ”strojnost” npr. planetnog sustava (ako prihvatimo proširenje pojma stroj na nešto što nije artefakt) ne ovisi o tome znamo li faktički sve o njegovom funkcioniranju, ali mi se čini da ovisi o tome da u principu možemo znati kako funkcionira. Ako bi nekako došli do zaključka da naprosto ne možemo znati kako planetni sustav funkcionira, mislim da bismo onda trebali odustati od njegove ”strojnosti”.

      • zsikic kaže:

        “Ako bi nekako došli do zaključka da naprosto ne možemo znati kako planetni sustav funkcionira”

        kako bismo mogli doći do tog zaključka o planetarnom sustavu ili o bili ćemu?

        čini se da je strojnost za vas nešto subjektivno a za mene objektivno

      • davor kaže:

        Nije subjektivno. Zašto mi se čini da ima smisla govoriti o strojnosti planetnog sustava? Zato što još od mehanizma iz Antikythere do suvremenih računalnih simulacija uspijevamo izraditi strojeve koji oponašaju ponašanje toga sustava. U tom smislu se čini da je ponašanje Sunčevog sustava ”strojno”. Naravno, to ne znači da prije mehanizma iz Antikytere ono nije bilo strojno, nego da se njegova strojnost nama očitovala u tome što uspijevamo načiniti strojeve koji ga dobro oponašaju.

        Recimo, sustavi koji su u kaotičnom režimu (u smislu determinističkog kaosa) jesu mehanički, ali, jesu li ”strojni”? Meni se čini da nisu. I da je to zbog nemogućnosti znanja o njihovom ponašanju.

      • zsikic kaže:

        dakle strojnost ovisi o tome što mi možemo,
        to je subjektivno

      • davor kaže:

        Ne, obratno. Mogućnost našeg znanja može ovisiti o strojnosti. Ako imamo ”problem triju tijela”, tad postoje početni uvjeti za koje će putanje biti bez ikakvog ponavljanja. Ja kažem da to nije stroj. Nije stroj, jer nema repetitivnosti. Gibanja u Sunčevom sustavu se periodično ponavljaju, pa s uzato ”strojan”. To je objektivno. A zato što se gibanja u Sunčevom sustavu periodično ponavljaju, zato je bio moguć mehanizam iz Antikythere, i kasniji modeli tog sustava. I zato što onaj sustav s tri tijela kod kojega nema repetitivnosti objektivno nije stroj, mi ne možemo modelirati takav sustav.

        Mi ne možemo znati nešto u čemu nema reda. Nešto u čemu reda nije stroj. Ali nije stroj ne zato što mi ne možemo znati, nego zato što nema reda.

      • zsikic kaže:

        mehanizam gibanja planeta je isti i za kaotična i za ciklička gibanja (newtonova ili einsteinova teorija gravitacije, svejedno),
        radi se o istom stroju, razlika je samo u poćetnim uvjetima,
        (apropos, i 3 tijela se mogu gibati periodički uz neke poćetne uvjete)

      • davor kaže:

        Znam da je jedina razlika u početnim uvjetima. Htio sam reći da za neke početne uvjete to nije stroj, mada su svi djelovi i svi zakoni jednaki. Kao što hrpa zupčanika nije sat, za određene početne uvjete. Stroj podrazumijeva neki red, npr. mogućnost ponavljanja. Dakle, ne mislim da se radi o istom stroju, unatoč istim djelovima i istim jednadžbama.

      • zsikic kaže:

        jedan strojni inputi stroj čini strojem, a drugi ga čini ne-strojem ? neobičan pojam stroja

        (uz to su oba inputa potpuno iste vrste)

      • davor kaže:

        Već rekoh, jedni početni uvjeti čine od hrpe zupčanika sat/stroj, drugi ne čine. Mislim da to nije ništa neobično. Ne vjerujem da je većinska intuicija kako hrpa zupčanika čini sat/stroj neovisno o početnim uvjetima (rasporedu) tih zupčanika.

      • zsikic kaže:

        “hrpa zupčanika” nije sat (sigurno ste vidjeli mnogo satova, pa vas u to valjda ne trebam uvjeravati🙂 ); dakle, misliti da to je sat ipak jest “neobično”

        inputi (početni uvjeti) za sat su namještanje početnog vremena, podešavanje vremena alarma itd. a ne nešto što od hrpe zupčanika čini sat

        (uostalom, to što od hrpe čini sat, bez obzira što to jest, nitko ne zove inputom ili početnim uvjetom)

      • davor kaže:

        Hrpa zupčanika (uz poneki vijak i još nešto) jest sat, ako su početno raspoređeni kako treba, dakle, kao stroj.

        n-tijela jest strojni planetni sustav ako su početno raspoređeni kako treba, dakle, kao stroj.

        Ista ta hrpa zupčanika (uz poneki vijak i još nešto) nije sat, ako početno nisu raspoređeni kako treba.

        Istih tih n-tijela nije strojni planetni sustav ako početno nisu raspoređeni kako treba.

      • zsikic kaže:

        kao što rekoh “neobično”, naime mehanizam planetarnog sustava isti je za bilo koje početne uvjete

        dizajn sata držati početnim uvjetima njegovih dijelova još je neobičnija upotreba termina “početni uvjeti”,
        možda ti dijelovi mogu biti i atomi od kojih se sastoji sat?

      • davor kaže:

        Nema potrebe da ponavljate, odmah rekoh da znam kako je mehanika ista neovisno o početnim uvjetima. Početni uvjeti su ”initial conditions”, što ne znači nužno ”input”. Prijevod ”input” u smislu strojnog inputa ovdje ‘begs the question”, jer upravo je u pitanju to da li je svaki mehanički sustav, neovisno o početnim uvjetima, stroj.

        U tom smislu početnih uvjeta kao naprosto početnog rasporeda dijelova, i dalje vjerujem da stoji analogija koja je Vama neobična. Jedan raspored vodi u ponovljivo strojno ponašanje, drugi vodi u kaotično ne-strojno ponašanje.

      • zsikic kaže:

        strojnih programa koji se ponašaju kaotično možete napisati koliko vam volja (dapaće vrlo jednostavno, na razini srednje škole)

        jesu li to strojni programi ili možda nisu?

      • davor kaže:

        Ako se ne varam (a možda se varam, davno sam se igrao s nekim takvim programom, čini mi se da je bila ”populacijska jednadžba”), kad u program uvrstim više puta isti ”input”, onda dobijem svaki put isti ishod. Kaotičnost se očituje u tome da za malu promjenu inputa dobijem veliku promjenu ishoda. Ali, mogu unijeti isti ”input” i mogu ponoviti rezultat. Budući da se ponaša na ponovljiv način, strojnost takvog programa nije sporna.

        No, za stvarna tijela koja se ponašaju kaotično, zapravo ne mogu imati više puta iste početne uvjete (initial conditions), nego svaki put malo drugačije, i zbog male promjene početnih uvjeta dobijem veliku promjenu ishoda. Tako da ne mogu ponoviti rezultat, i to nije stroj.

      • zsikic kaže:

        obična kvadratna funkcija u koju se uvrsti broj i izračuna vrijednost, pa se uvrsti ta vrijednost i izračuna nova vrijednost itd.

        za neke kvadratne funkcije dobivaju se ciklički nizovi, a za neke potpuno kaotični

        taj primjer je uvod u manje više svaki prikaz teorije kaosa (najčešće uz neku biološko/populacijsku interpretaciju kvadratne funkcije)

      • davor kaže:

        I to znam. Ali mada je niz kaotičan, za točno isti input daje isti taj rezultat?

      • zsikic kaže:

        da, kao i planeti

      • davor kaže:

        Samo što za kaotični sustav n stvarnih tijela ne možemo imati dvaput iste početne uvjete (ne input u računalo, nego položaj u prostoru i početnu brzinu). Dakle, ne možemo ponoviti dvaput isti proces. Dok kod računalne simulacije možemo. Meni se čini da ta nemogućnost ponavljanja znači da kaotični sustav n tijela nije stroj.

      • zsikic kaže:

        ne možete ni za računalni program koji generira beskonaćni niz outputa,

        ako pustite da paralelno rade dva ista programa (pretpostavljam da je to vaš sljedeći potez) pitanje je kako znate da će oni generirati isti beskonaćni niz,

        jedini je odgovor da to možete dokazati, ali to je i odgovor za isti planetarni sustav s istim početnim uvjetima

  3. Luka M kaže:

    “ne postoji stroj koji obuhvaća sve naše matematičke intuicije i o kojem znamo toliko da možemo zaključiti da je njegova Gödelova rečenica istinita”, misli li se tu pod “stroj” na nekakvu formalnu mašinu koja izbacuje sve teoreme PA (ili sličnih teorija), a pod time da dijeli naše matematičke intuicije, da su izbačene formule ne samo teoremi PA već i istinite u N, tj. standardnom modelu? Pretpostavljam da ne, jer znamo da takav stroj ne postoji (ako želimo da izbacuje sve formule istinite u N)

    Što bi bila “Gödelova rečenica” stroja? Misli se na formalni sustav u kojem taj stroj priča?

    • Luka M kaže:

      Zaboravih još pitati: zašto ne bismo za tu (možda drugačiju od naše) formalizaciju aritmetike mogli i sami ocijeniti je li G istinita?

      • zsikic kaže:

        zato što je ono što mi znamo o G nekog stroja/formalne teorije S to da iz korektnosti te teorije slijedi G, tj. “ako K onda G”, a nije apriori sigurno da za svaki S možemo znati je li korektan ili nije (neki čak misle da to ne znamo ni za PA, ja nisam među njima🙂 )

        (podsjećam usput da je u svakom S dokazivo “ako C onda G” gdje je C konzistentnost od S, što je čak slabija antecedenta od K na koju se mi oslanjamo)

    • zsikic kaže:

      misli li se tu pod “stroj” na nekakvu formalnu mašinu koja izbacuje sve teoreme PA (ili sličnih teorija) … da

      a pod time da dijeli naše matematičke intuicije, da su izbačene formule ne samo teoremi PA već i istinite u N, tj. standardnom modelu … ne, jer što su a što nisu istine u N ne znaju ni “naše intuicije” (uzmite bilo koji neriješeni problem teorije brojeva)

      Misli se na formalni sustav u kojem taj stroj priča? … da

Odgovori

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava / Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava / Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava / Izmijeni )

Google+ photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google+ račun. Odjava / Izmijeni )

Spajanje na %s