Je li matematika primjenljiva?

Matematika nije prirodna znanost. Prirodne znanosti imaju svoj konkretni predmet, koji izučavaju širom otvorenih očiju u svojim laboratorijima. (Laboratoriji mogu biti tek zabiti kutci nekog sveučilišta, ali se mogu i proširiti na cijeli univerzum.) Taj konkretni predmet prirodnih znanosti jest materijalni svijet. Matematika se ne bavi tim konkretnim predmetom. Ona se bavi svojim apstraktnim predmetom i izučava ga zatvorenih očiju.

Kada matematika dokazuje da zbroj kutova u svakom trokutu ima 180^o, ona se ne bavi konkretnim, osjetilima dostupnim trokutima materijalnog svijeta, nego se bavi apstraktnim, umu dostupnim trokutima koje nalazi u svijetu ideja. Trokuti o kojima je riječ u matematici protežu se u samo dvije dimenzije, omeđeni su dužinama koje se protežu u samo jednoj dimenziji, a same te dužine sastaju se u vrhovima koji su bez ikakve protežnosti. Takvi predmeti ne postoje u materijalnom svijetu. No, samo o takvim apstraktnim predmetima matematika može s izvjesnošću izricati svoje istine.

Matematika je izvjesna znanost, jer se bavi apstraktnim predmetima o kojima je moguće izvjesno znanje. Prirodne znanosti nisu izvjesne, jer se bave konkretnim predmetima o kojima izvjesno znanje nije moguće. Zato se istine prirodnih znanosti, koje su uvijek relativne i podložne sudu vremena, bitno razlikuju od matematičkih istina, koje su apsolutne i vječne.

Ova, donekle shematizirana slika matematike i prirodnih znanosti s nama je već dva i pol milenija. Točnije, od klasičnog grčkog razdoblja u kojem je matematika konstituirana kao znanost o čistim formama ili idejama. Tada je, u potrazi za izvjesnim, napušten konkretni svijet materijalne prirode, i otkriven je apstraktni svijet čistih matematičkih formi, svijet ideja.

Prvi je svijet nepostojan. U njemu stvari nastaju i nestaju, rađaju se i umiru. To je koruptibilni svijet materije u kojem “stalana samo mijena jest”. Drugi je svijet postojan. U njemu stvari niti nastaju niti nestaju, niti se rađaju niti umiru. To je inkoruptibilni svijet vječnih i nepromjenljivih matematičkih formi, svijet ideja. Između ta dva bitno različita svijeta otvoren je ponor.

Može li matematika koja govori o inkoruptibilnom svijetu ideja, išta reči o koruptibilnom svijetu materije?

Zbroj kutova nekog materijalnog, osjetilima dostupnoga trokuta uvijek je nešto približno, ako uopće i jest nešto. Tek o neosjetilnoj ideji trokuta možemo s izvjesnošću trvrditi da zbroj njezinih kutova ima 180^o. No mi tu izvjesnu spoznaju o trokutu, kao čistoj matematičkoj formi, primijenjujemo i kada se bavimo materijalnim, osjetilima dostupnim trokutima. Je li to opravdano?

Je li matematika primjenljiva?

Pitagora je odgovorio potvrdno. Ideja trokuta je konstitutivni element materijalnog trokuta, koji nam tek omogućuje da taj materijalni trokut istinski spoznamo. Istinska stvarnost prirode nije u koruptibilnoj materiji, nego je u inkoruptibilnoj formi, proporciji i broju. Kada Pitagora kaže da je priroda brojevna, time nam govori da je matematika primjenljiva.

Ovaj uvid, koji potječe iz ranoga djetinjstva matematike i filozofije, danas ravna znanošću kao njezino vodeće načelo. Ipak, u klasičnom grčkom razdoblju on je bio odbačen i proteklo je dvije tisuće godina prije njegovog slavodobitnog povratka kroz djela Kopernika,  Galilea i ostalih novovjekovnih pitagorovaca.

Naime, pokušaji da se svijet koruptibilne materije uskladi sa svijetom inkoruptibilnih ideja često su vodili paradoksalnim zaključcima. Zenonovi paradoksi primjer su takvog zaključivanja. Može li strijela preletjeti jedan stadij? Da bi preletjela jedan stadij, najprije mora preletjeti pola stadija. No, da bi preletjela pola stadija, prije toga mora preletjeti polovicu te polovice. Da bi preletjela polovicu te polovice stadija, najprije mora preletjeti polovicu polovicine polovice, i to se ponavlja u beskonačnost. Može li strijela učiniti prvi pomak? Zenonova je poruka da ne može. To je, naravno, paradoksalno.  Svatko se može uvjeriti u let strijele.

S druge strane nema ničeg paradoksalnog u tome da se apstraktna matematička dužina može beskonačno dijeliti, na sve krače i krače dužine. No, može li se tako dijeliti konkretna putanja strijele ili ona ima najmanji početni dio, “prvi pomak”? Ne proizlazi li paradoksalni zaključak iz neopravdane identifikacije apstraktne matematičke dužine s konkretnom putanjom strijele? Nije li paradoks rezultat neopravdane primjene apstraktne  matematike na konkretnu putanju? (Do sličnih paradoksa dolazi i Demokrit kada svoju atomističku koncepciju konkretnog svijeta materije pokušava uskladiti s kontinuiranošću apstraktnog matematičkog prostora.) Čini se da matematika ipak nije primjenljiva.

Kroz djelo Platona i Aristotela ovo negiranje primjenljivosti matematike postalo je velikom filozofijskom tradicijom. Za Platona je mathema, to izvjesno znanje o inkoruptibilnom svijetu ideja, jedina istinska znanost, jedina episteme. Matematika nije primjenljiva na koruptibilni svijet materije, pa stoga istinska znanost o tom svijetu nije moguća. Episteme physike je kontradiktoran pojam.

Aristotel se slaže s osnovnom tezom o neprimjenljivosti matematike, ali ne misli da je mathema jedini izvor znanja. Znanost o materijalnom svijetu je moguća, iako ne kao mathema nego kao historie, kao empirijsko znanje koje se stječe opažanjem. Dakle, fizika je doxa, vjerojatno mnijenje, čiji je izvor historie. Matematička fizika, u kojoj bi matematika bila primjenljiva, nije moguća. Zato je Aristotel fiziku i ostale prirodne znanosti utemeljio kao empirijske nematematizirane znanosti.

Njegova nematematička, empirijska fizika razlikuje četiri elementa: zemlju, vodu, zrak i vatru. Svaki element ima svoju prirodu, physis, u skladu s kojom se kreće. Teži elementi zemlja i voda prirodno se kreću dolje, prema središtu svijeta, dok se lakši elementi vatra i zrak prirodno kreću gore, od njegova središta. Tvari ispod Mjeseca u različitim su omjerima kombinacije četiriju elemenata i kreću se u skladu s tim omjerima. Teške tvari, koje pretežno sadrže zemlju, smjestit će se u središte svijeta. Njihovu će površinu prekriti nešto lakše tvari, koje pretežno sadrže vodu. Iznad njih lebdjet će još lakše tvari, koje pretežno čini zrak. Kroz sve to i iznad svega toga probijat će se najlakša tvar, vatra.

Već ovaj kratki opis dovoljan je da uočimo kako je Aristotelova fizika u suglasju sa svagdanjim iskustvom. Ona je, naime, neposredni rezultat opažanja. Takva je i njegova biologija. Primjerice, kada Aristotel istražuje ontogenezu on dan za danom razbija kokošja jaja i neposrednim opažanjem prati razvoj organizma, od svježeg jajeta do tek izlegnutog pileta.

Dakle, prirodne znanosti, svjesnom odlukom njihova začetnika, počinju kao empirijske nematematizirane znanosti, jer njihov nepostojani koruptibilni predmet nije podložan matematizaciji.

Temeljna promjena zbila se u novom vijeku (mogli bismo reči da ga ona čak definira). O tome sljedećeg petka.