Filozofija matematike problematizira matematiku kao spoznaju ili točnije kao paradigmatski primjer spoznaje. Prema ovom paradigmatskom primjeru spoznaje moguć je dvojak odnos:

1. Matematika je paradigmatski primjer sigurne spoznaje i time ona postaje mjesto na kojem se iskušava svaka teorija.

2. Matematika je paradigmatski primjer spoznaje čija se sigurnost mora opravdati jednom sveobuhvatnom teorijom spoznaje. Tu je sama ta sigurnost upitna.

U prvom pristupu epistemologija prolazi ili pada ovisno o tome može li ili ne može objasniti sigurnost matematičke spoznaje. U drugom pristupu matematika prolazi ili pada ovisno o tome može li se ili ne može epistemološki opravdati. Prvi je pristup stara, a drugi nova značajka filozofskog odnosa prema matematici. Ukratko, sigurnost matematike se u starijoj filozofiji matematike ne dovodi u pitanje. Tu je u pitanju njena primjenljivost.

Da bismo to objasnili, poslužit ćemo se legendama o Talesu i Pitagori. Tales je utemeljio matematiku kao deduktivnu znanost o apstraktnim entitetima. Matematika više nije podložna mijenama konkretnog, nego je apsolutno sigurna jer dokazuje svoje apstraktne istine. Zbroj kutova nekog konkretnog, osjetilima dostupnog trokuta uvijek je nešto približno, zbroj kutova apstraktnog mislima dostupnog trokuta dokazivo je 180o. Time se otvorio problem odnosa apstraktne matematike i konkretne prirode.

Pitagora ga rješava identifikacijom konkretne prirode s apstraktnom matematikom i tako objašnjava primjenljivost apstraktne matematike u razumijevanju konkretne prirode. (Većina današnjih i bivših fizičara, koji vjeruju u primjenljivost apstraktne matematike u fizici u tom su smislu pitagorovci.).

Platon, u svojem učenju o idejama, odustaje od proste identifikacije apstraktnoga s konkretnim. On taj odnos rješava nadređivanjem apstraktne ideje konkretnom. Apstraktna ideja je objektivni normativ konkretnome.

U novovjekovnoj filozofiji možemo pratiti pomak od vladanja apstraktnoga nad konkretnim prema zamisli o apstraktnome koje normativno usmjerava deskripciju konkretnoga, a ne samo konkretno. Tako je za Kanta matematička spoznaja sigurna jer je spoznaja apriornih oblika svijesti: prostora i vremena. Ova je spoznaja i primjenljiva, jer su apriorni oblici svijesti konstituensi stvarnosti, pa je znanje o njima ujedno i znanje o stvarnosti.

Novija filozofija matematike u 19. i 20. stoljeću dovodi u pitanje samu sigurnost apstraktne matematike. Njen je zadatak objasniti sigurnost čiste matematike, dakle onu sigurnost koja je u starijoj filozofiji matematike samorazumljiva. Novija filozofija matematike čak je toliko zaokupljena tim zadatkom da niti ne razmatra osnovni problem starije filozofije: mogućnost primijenjene matematike. U tom smislu su starija i novija filozofija matematike komplementarne.

Gdje leži sigurnost čiste matematike? Tri su odgovora jasno zacrtana u 20. stoljeću: logicizam, intuicionizam (konstruktivizam) i formalizam. Logicisti, G. Frege, B. Russell i drugi, sigurnost matematike izvode iz samorazumljive sigurnosti logike tako da matematiku izvode iz logike. Matematika je produžetak logike i kao takva zadobija njenu sigurnost. Logika koja je potrebna za takvu logičku konstrukciju matematike ekstenzionalno se poklapa s Cantorovom teorijom skupova, čija je sigurnost početkom 20. stoljeća dovedena u pitanje otkrićem mnogih paradoksa. Logicizam je matematiku reducirao na logiku, ali ne na neumitno sigurnu logiku, nego na logiku koja je možda nesigurnija i od same matematike.

Intuicionisti i ostali konstruktivisti, L. E. J. Brouwer i drugi, kreću putem ponovnog zadobijanja sigurnosti matematike u samoj matematici, koju smatraju mentalnom konstrukcijom. Dakle, matematičke istine nisu otkrića o stanjima stvari u od nama neovisnom svijetu apstraktnih entiteta (npr. svijetu apstraktnih skupova), nego su naše konstrukcije takvog svijeta. To npr. znači da matematički entitet s nekim svojstvima postoji ako smo ga konstruirali i dokazali da ima ta svojstva, a ne ako smo samo dokazali da je nemoguće postojanje entiteta s tim svojstvima. Nažalost, takva konstruktivistička rekonstrukcija matematike ne rekonstruira svu klasičnu matematiku. Konstruktivizam nalazi sigurnost u  matematici koja se ne poklapa sa standardnom klasičnom matematikom.Mnogima se to čini prevelikom žrtvom, prije svega formalistima.

Termin formalizam upotrebljava se dvojako. On najčešće označava nominalistički stav prema postojanju matematičkih entiteta, no ovdje on ima drugi smisao. Formalizam je sinonim za Hilbertovo metamatematičko zasnivanje matematike (jer to zasnivanje u jednom svojem koraku zahtijeva metodičko prihvaćanje nominalističkog formalizma). Hilbert prihvaća konstruktivističku kritiku klasične matematike kao nesigurne matematike. Dapače, ono što on smatra sigurnom matematikom, samo je dio konstruktivistički shvaćene čiste matematike (tzv. finitni dio). Ipak, on ne pristaje, kao konstruktivisti, na odbacivanje onog dijela klasične matematike koji konstruktivističkom rekonstrukcijom nije opravdan kao sigurna spoznaja. Njegov program je program opravdavanja konstruktivistički odbačene  matematike tzv. metodom idealnih elemenata.

Naime, čak i  ako u potpunosti odbacimo i samu mogućnost razumijevanja nefinitnih dijelova matematike, i zadržimo kao razumljiv i siguran dio klasične matematike samo njen finitni dio, možda možemo pokazati slijedeće: tvrdnje koje ne razumijemo i koje nisu sigurna spoznaja možemo shvatiti kao pomoćno sredstvo koje omogućuje da se brže i jednostavnije dokazuju finitno razumljive tvrdnje.

Često se tvrdi da je Gödelovim teoremima o nepotpunosti dokazana neostvarljivost hilbertovog programa. Gödel je svojim prvim teoremom dokazao da nije moguće potpuno formalizirati matematičku teoriju koja sadrži aritmetiku. U svakoj formalizaciji matematičke teorije spomenutog tipa moguće je naći propoziciju koja nije ni dokaziva ni oboriva u tom formalnom sistemu. Dapače, interpretacija ove propozicije je istinita matematička tvrdnja. Iz prvog teorema slijedi drugi, koji tvrdi da konzistentnost formalizirane matematičke teorije, koja sadrži aritmetiku, nije moguće dokazati u samoj formaliziranoj teoriji.Posljedice za Hilbertov program su sljedeće.

1. Sasvim je jasno da Hilbertovim programom ne možemo opravdati cjelokupnu matematiku, jer se cjelokupna matematika prema prvom Gödelovom teoremu ne može formalizirati (a formalizacija teorije koja se opravdava prvi je korak Hilbertovog programa).

2. Dokaz konzistencije formalnog sistema ne osigurava da će svaka interpretirana i idealno dokaziva propozicija sistema biti istinita. (Hilbertova tvrdnja da istinitost idealno dokazivih propozicija nekog formalnog sistema slijedi iz dokaza konzistentnosti toga sistema bazirala se na pogrešnoj pretpostavci o potpunosti formalizacije.) Dokaz o istinitosti idealno dokazanih propozicija treba biti neposredan.

Takvi dokazi se nalaze u novijoj teoriji dokaza, koja je još jedan sinonim za Hilbertovu metamatematiku, pa dokazi konzistencije gube ono značenje koje su nekada imali u Hilbertovom programu. Neposredni dokaz, iako moguć, mora biti bitno složeniji od dokaza konzistentnosti. Mogućnost ostvarenja Hilbertovog programa nije dakle uništena Gödelovim teoremima. Ispunjenje programa je samo postalo složenije i nužno je parcijalno.

Krajem 20. stoljeća u filozofiji matematike sve je više zastupljen  pragmatizam i holizam  Queineovog tipa. Naime, matematika se svojim primjenama uranja u eksperimentalne znanosti, te se u krajnjoj liniji kroz njih može eksperimentalno potvrditi ili oboriti. Ipak, moguć je i obrat, kojim ona može ponovo zadobiti vlastitu matematičku sigurnost. Naime, znanost na koju se matematika primjenjuje može biti i neki sigurni dio nje same, npr. finitni ili konstruktivni. Eksperimentalna provjera sastoji se sada u tome da se vidi kako ova primjena neće dovesti do finitno ili konstruktivno nevaljalih rezultata. Štoviše, možda je to moguće finitno ili konstruktivno dokazati.

To nas opet vraća Hilbertovoj teoriji dokaza (metamatematici) koja je i dalje jedan od najperspektivnijih pravaca u filozofiji matematike.

Odgovori

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava / Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava / Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava / Izmijeni )

Google+ photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google+ račun. Odjava / Izmijeni )

Spajanje na %s