U prošlom sam postu opisao sljedeći problem:

Ja odabirem dva broja između nule i jedinice (npr. 0.72 i 0.135) i papiriće na koje sam ih zapisao stavljam u lijevu i desnu ruku. Vi birate jednu ruku i ja vam pokažem broj koji je u toj ruci. Vi tada morate pogoditi je li taj broj veći ili manji od mojeg drugog broja. Možete li u tom pogađanju biti uspješniji od 50%? 

Čini se kako nema načina da to postignete. No ipak ima. Evo kako:

Slučajnim odabirom odredite jedan broj veći od nule i manji od jedan. To je vaša „međa“ i vi ćete dalje pretpostaviti da su moji brojevi s raznih strana vaše međe. Dakle, ako je broj koji ste vidjeli manji od vaše međe, odlučit ćete da je drugi broj veći. Ako je broj koji ste vidjeli veći od vaše međe, odlučit ćete da je drugi broj manji. (U biti, moj skriveni broj zamjenjujete vašom međom.)

Na taj način će vjerojatnost da je vaša odluka točna biti veća od 50%. Zašto?

Trebate uzeti u obzir tri slučaja:

  1. Vaša je međa veća od oba moja broja.
  2. Vaša je međa manja od oba moja broja.
  3. Vaša je međa između mojih brojeva.

U 1. i 2. slučaju nije točna pretpostavka da je vaša međa između mojih brojeva, pa je vaša šansa da ste točno odlučili 50%, jer je jedino što je determinira vaš slučajni odabir jedne od mojih dviju ruku. U 3. slučaju vaša je pretpostavka točna, pa će vaša odluka sigurno biti točna. No, ako su vam u dva od tri moguća slučaja šanse 50%, a u trećem su vam 100%, onda su vam ukupne šanse sigurno veće od 50%.

(Za one koji znaju nešto vjerojatnosti evo i kvantifikacije vaših šansi. Neka je T pokrata za „točno ste pogodili je li skriveni broj veći ili manji“, a P neka bude pokrata za „pretpostavka o međi vam je točna“. Vjerojatnost od P označimo s p. Tada vrijedi:

pr(T) = pr(T/P)pr(P) + pr(T/–P)pr(–P) = 1p +(1/2)(1–p) = (1+p)/2 > 50%. )

Tko nije uvjeren u korektnost danih argumenata (možda ima i takvih nevjernih Toma, nikada se ne zna) može provesti i jednostavni eksperiment. Prvo fiksirajte dva broja između nule i jedan, koji će simulirati moje brojeve. Na primjer, neka su to 0.2 i 0.6. Zatim slučajno generirajte razne “međe” (naravno, na računalu služeći se generatorom slučajnih brojeva), primjenjujte gornje pravilo o odlučivanju i bilježite koliko je puta ono dovelo do točne odluke. Ako postupak ponovite mnogo puta (npr. sto puta) postotak uspješnosti biti će vam cca 70%.

(To je u skladu s gornjim teorijskim argumentima. Naime, p je sada 0.4, jer je duljina intervala (0.2, 0.6) koji je povoljan za P 40% duljine intervala (0.1) iz kojega birate brojeve. Dakle, (1+p)/2 = (1.4)/2 = 0.7 = 70%.)

Odgovori

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava / Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava / Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava / Izmijeni )

Google+ photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google+ račun. Odjava / Izmijeni )

Spajanje na %s