U NatGeo seriji Brain Games (koja je inače zanimljiva) neočekivano se pojavio zlatni rez. U epizodi koja nam objašnjava zašto nas nešto privlači “saznali” smo da nas privlače ona lica u kojih je omjer njihove dužine i širine baš omjer zlatnoga reza, te nam je kazano “da on iznosi 1,5”. Nisu dana daljnja obrazloženja, nego je to predstavljeno kao empirijska činjenica (što je pretpostavljam i jedino moguće).

No, što je uopće zlatni rez i ima li ta “činjenica” ikakvog smisla?

Za dužinu d kažemo da je podijeljena u omjeru zlatnoga reza, ako se cijela dužina d spram njenog većeg dijela a odnosi kao njen veći dio a spram njenog manjega dijela d – a .

d : a = a : (da)                                          /———————————/—————–/

Vrijednost tako definiranog zlatnog omjera  ζ= d : a = a : (da)  lako možemo izračunati iz same definicije zlatnog omjera i ona iznosi (√5+1)/2. To je iracionalni broj  (tj. ne može se izraziti kao omjer dvaju prirodnih brojeva, npr. kao 1618/1000) i  približno je jednak 1.618.

Zlatni rez  ζ  često se pojavljuje u matematici, posebno u geometriji i njezinim primjenama. Na primjer, u Pitagorinom pentagramu (zaštitnom znaku Pitagorina bratstva) kojeg čine pravilni peterokut i njegove dijagonale, lako je uočiti i dokazati da su dijagonala peterokuta  d i njegova stranica a u omjeru zlatnoga reza. Krak i osnovica karakterističnog trokut pravilnog deseterokuta također su u tom omjeru.

Iz identiteta  ζ=1+(1/ζ), koji ζ  očito zadovoljava (jer je (ζ+1)/ζ=ζ/1) slijedi da je

ζ=1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+…

itd. u beskonačnost, što ζ  ćini najjednostavnijim (i u nekom smislu najiracionalnijim) iracionalnim brojem.

Omjeri uzastopnih članova Fibonaccijeva niza 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … (u kojem je svaki član zbroj prethodna dva) konvergiraju prema ζ. Dakle, brojevi  1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, …  konvergiraju prema ζ. Osim toga, članovi Fibonaccijeva niza 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … mogu se eksplicitno izraziti pomoću ζ na sljedeći način:

n-ti član Fibonaccijeva niza je     (ζ n-(-ζ)n)/√5            (npr. 13=(ζ 7-(-ζ)-7)/√5 )

Zlatni omjer ζ  nalazimo i na pravilnim poliedrima (tzv. Platonovim tijelima). Na primjer, površina dodekaedra s jediničnim bridom iznosi  15ζ/√(3-ζ) , a njegov je volumen  5ζ3 / √3(2 -ζ). Volumen ikozaedra s jediničnim bridom je 5ζ5/6 itd. Ako središta strana nekog Platonovog tijela spojimo bridovima dobit ćemo njemu dualno Platonovo tijelo. Na primjer, oktaedar je dualan kocki, a kocka je na isti način dualna oktaedru. Dodekaedar je dualan ikozaedru, a ikozaedar dodekaedru. Tetraedar je dualan samom sebi. Omjer brida nekog Platnova tijela i brida njemu upisanog dualnog tijela  uvijek ima isti iznos: ζ2/√5.

Naše nabrajanje istina o zlatnom omjeru (koje bismo mogli nastaviti u nedogled)  završit ćemo  jednom manje poznatom. Zamislite elipsu s osima a i b te kružnicu s istim središtem, koja prolazi fokusima te elipse. Kada će ta kružnica i elipsa zatvarati jednake površine? Već pogađate, ako je omjer velike i male osi zlatan, tj. ako je a/b =ζ.

Bez obzira jeste li razumjeli ove matematičke tvrdnje ili niste (tko želi detaljnija objašnjenja i dokaze može ih naći u članku 78. na http://www.fsb.unizg.hr/matematika/sikic/), sigurno vam je postalo jasno da je zlatni omjer ζ  u matematici važan i zanimljiv. Nadam se da ste također uočili da je on iracionalni broj (tj. da se ne može izraziti kao omjer dvaju prirodnih brojeva, npr. kao 1618/1000) i da nijedno od njegovih  matematičkih svojstava (kako onih gore spomenutih tako ni svih ostalih) ne vrijedi za njegove približne vrijednosti poput  1,618.

Dakle, izmjeriti dvije dužine, izračunati njihov omjer, utvrditi da je on cca. 1,6 i onda reći da su te dužine u zlatnom omjeru nema apsolutno nikakvog matematičkog smisla.

Naravno, nekome može biti značajno i to da je neki zanimljivi omjer bar približno jednak zlatnom. Na primjer, omjer dužine i širine lijepoga lica. Ako je vjerovati NatGeo za lijepa lica taj omjer iznosi 1,5. Dakle, baš i nije blizu ζ .

No, problem nije samo u NatGeo-oj epizodi. Gotovo sve “pojave” zlatnoga reza koje razni kritičari i autori “otkrivaju” u slikarstvu, arhitekturi, muzici i sl. nisu istinite čak ni u ovom približnom smislu (NatGeo tu očito nije usamljen). No, o tome više sljedećeg petka.

Sada još samo kratko o opće uvriježenom mišljenju da termini “zlatni rez” i “zlatni omjer” potječu još iz antičkih vremena. To nije točno. Stari grci, pa i Euklid u svojim Elementima, podjelu dužine u zlatnom omjeru zove “podjelom u krajnjem i srednjem omjeru”. U renesansi se ustalio termin “božanski omjer”, pogotovo nakon što je Luca Pacioli 1509. godine objavio knjigu istoga naslova, De Divina Proportione. Termin “zlatni rez” (“goldener schnitt”) uveo je Martin Ohm, brat slavnijega fizičara Georga Ohma (poznatog po Ohmovom zakonu), tek 1835. g. u svojoj knjizi Reine Elementarmathematik. Dakle, termin “zlatni rez” mlađi je od 200 godina.

9 responses »

  1. Veky (@veky) kaže:

    Eh. Prvo, svaka čast za razbijanje mitova o zlatnom rezu, rijetki danas shvaćaju kakve se bedastoće pripisuju zlatnom omjeru danas. Ali upravo ovaj članak pokazuje koliko je teško izbjeći zovu numerologije.

    Pogledajte odlomak koji počinje sa “Zlatni omjer ζ nalazimo i na pravilnim poliedrima”. Zar doista ne vidite da radite istu grešku? Usudit ću se reći da je izjava poput “površina dodekaedra s jediničnim bridom iznosi 15ζ/√(3-ζ)” debelo veće navlačenje nego numerološke naivnosti u okolini broja 8/5. To što je matematička veličina egzaktna nije samo po sebi nikakav dokaz da se nije potpuno slučajno pojavila na tom mjestu. (Argument poput “ali vjerojatnost da se to dogodi s iracionalnim brojem je jednaka 0” su neosnovani. Nisu svi brojevi jednako vjerojatni, a “zakon malih brojeva” vrijedi podjednako i za racionallne i za iracionalne brojeve.)

    Naravno da možemo postaviti pitanje zašto se uopće neka veličina nalazi u |Q[√5], ali to je otprilike jednako kao pitanje zašto su Fibonaccijevi brojevi prirodni – jednostavno, zatvorenost ambijentne strukture na operacije kojima dobivamo te brojeve. Štoviše, |Q[√5] je polje, dakle zatvoreno na puno više operacija nego |N – pa je čak vjerojatnije da nešto ostane u |Q[√5] nego u |N.

    • zsikic kaže:

      “Usudit ću se reći da je izjava poput “površina dodekaedra s jediničnim bridom iznosi 15ζ/√(3-ζ)” debelo veće navlačenje nego numerološke naivnosti u okolini broja 8/5.”

      ζ tu nije “slučajno” nego stoga što je tijelo omeđeno pravilnim peterokutima, to se lako vidi iz dokaza, usp. bilo koju euklidsku stereometriju

      • Veky (@veky) kaže:

        Ma joj. Traženje uzroka i posljedice u matematici, vječna rasprava.😛

        Kladim se da je i broj 15 tu “zato što je tijelo omeđeno pravilnim peterokutima”. Naravno da uvijek postoji neki “zato”. Ono što je meni bitno je, bi li netko u pisanju te formule išao prvo uvesti \zeta, kao prirodan međukorak. Odnosno, nalazi li se \zeta u asocijacijskom nizu kojim ljudi pamte tu formulu (ok, vjerujem da se u _Vašem_ asocijacijskom nizu nalazi:). Može tu ulogu igrati i izvod, ako smo za njega zainteresirani, ali opet, prilično sam uvjeren da se taj izvod dade napisati bez spominjanja \zeta (i da pri tom nemamo osjećaj da nešto umjetno zaobilazimo).

        Evo, dao sam si malo truda i zapisao izraz u obliku 3\sqrt{25+10\sqrt5}. Vidite li stvarno tu \zeta? Bez jakog škiljenja?🙂

        Također, volumen kocke s jediničnim bridom iznosi \zeta(\zeta-1). _Zašto točno_ to nije primjer za tvrdnju “Zlatni rez često nalazimo na Platonovim tijelima”? (Ili ćete reći da jest?:)

  2. Hrvoje Radic kaže:

    ζ=1+(1/1+(1/1+(1/1+(1/1+(1/1+(1/1+(…

    Ovaj dio mi lagacko nije jasan.🙂

    Super post.

Odgovori

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava / Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava / Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava / Izmijeni )

Google+ photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google+ račun. Odjava / Izmijeni )

Spajanje na %s