Nadam se da sam vas jednim prethodnim postom uspio uvjeriti da izmjeriti dvije dužine, izračunati njihov omjer, utvrditi da je on cca. 1,6 i onda reći da su te dužine u zlatnom omjeru nema apsolutno nikakvog matematičkog smisla. S druge strane, nekome može biti zanimljivo da je neki omjer bar približno jednak zlatnom. Takve “pojave” zlatnoga omjera mnogi  autori “otkrivaju” u slikarstvu, arhitekturi, muzici i sl.

 Budući se tu uvijek radi o nekoj aproksimaciji, moramo se odlučiti koje ćemo aproksimacije prihvatiti kao aproksimacije zlatnoga omjera. Moj je prijedlog da pri mjerenju dužina d i a toleriramo  greške od ± 1%, što znači da računanje njihova omjera d/a može dovesti do greške od  ± 2%. To ću smatrati prihvatljivim, tj. sve vrijednosti 1.59 < x < 1.65 smatrat ću dobrim aproksimacijama zlatnoga omjera ζ = 1.618… .

 Ipak, primijetimo da čak i kada naiđemo na neki omjer u tim granicama, zapravo nije jasno je li on u ikakvoj vezi sa zlatnim omjerom. Na primjer, omjer frekvencija 1.6 koji u muzici odgovara maloj seksti, po našem je kriteriju zlatni omjer, iako znamo da se tu radi o Pitagorinom omjeru malih brojeva 8 i 5 a ne o zlatnom omjeru. No, budimo velikodušni i dopustimo da je svaki omjer 1.59 < x < 1.65 u nekom smislu značajna aproksimacija zlatnoga omjera.

Jednu od i najstarijih pojava zlatnoga omjera u arhitekturi “opisao” je Herodot u svojoj slavnoj Povijesti, u kojoj navodno piše da je Keopsova piramida konstruirana tako da je h2 = sa (što Herodot, naravno, ne iskazuje formulom nego riječima).

keops

Odavde slijedi h2/a2 = s/a. Uzmemo li u obzir da je h2 + a2 = s2  slijedi da je   h2/a+ 1 = s2/a2    tj.    s/a + 1=  (s/a)2 . No, to znači da omjer s/a zadovoljava jednadžbu zlatnoga omjera ζ + 1 = ζ2 (naime, ta je jednadžba očito ekvivalentna jednadžbi “sve se odnosi prema većem kao veće prema manjem”: (ζ + 1)/ζ = ζ/1). Dakle,  ζ = s/a.

Naravno ovaj izvod ne nalazimo u Herodotovoj povijesti. Međutim, ne nalazimo ni tvrdnju da je h2 = sa, već nalazimo tvrdnju da je h = 2a = 800 stopa. Ta tvrdnja je potpuno netočna, jer je  stvarna mjera od  2a = 765 stopa i h ≠ 2a. Tvrdnju  h2 = sa  Herodotu pripisuje piramidolog J. Taylor u svojoj knjizi The Great Pyramid iz 1859. godine, bez ikakva uporišta u Herodotovu tekstu, vjerojatno sa željom da dokaže kako su Egipćani (matematički) svjesno ugradili zlatni omjer u svoju slavnu piramidu. Ta se neistina otada uporno ponavlja u mnogim knjigama. Stvarni, na Keopsovoj piramidi izmjereni omjer s/a = 1.62, dobra je aproksimacija zlatnog omjera ζ, ali ona bi mogla biti i slučajna (vjerojatno misli Taylor) pa je Herodota trebalo falsificirati ne bi li se dokazala prisutnost svjesne namjere.

Drugi slavni primjer iz arhitekture je Partenon na Atenskoj akropoli, čije je pravokutno pročelje navodno zlatni pravokutnik (tj. omjer njegove širine a i visine je h zlatan).

partenon

Uočite da se stube mogu ali i ne moraju uključiti u pročelje, pa nije sasvim jasno što su širina a i visina h Partenona. No čak i ako se bez daljnjeg obrazloženja odlučite za pravokutnik na sljedećoj skici

part skica

dobit ćete  a : h ≈ 1.71. To nije u okviru onoga što smo velikodušno tolerirali kao aproksimaciju zlatnog omjera ζ (usp. gore). Napomenimo usput da za pročelje bez stuba vrijedi a : h ≈ h : b ≈ 9 : 4, gdje je b treća dimenzija Partenona, i to je vjerojatno svjesno tako dizajnirano.

Od novijih primjera spomenut ćemo zgradu Ujedinjenih naroda u New Yorku za čije se pročelje također često tvrdi da je zlatni pravokutnik. Budući da zgrada prema East Riveru pada, ni njeno pročenje nije jasno definirano. Omjeri visine i širine pročelja kreću se u rasponu od 1.76 do 1.92. U svakom slučaju daleko od zlatnoga omjera.

Uostalom, u svakom artefaktu koji sadrži dovoljan broj veličina vjerojatno možete odabrati neke čiji će omjer biti zlatan, ili kakav već želite. Tako je Mario Livio, autor jedne od najboljih knjiga o zlatnom omjeru The Golden Ratio, našao sljedeće zlatne omjere na svojem televizoru,14 : 8.75 ≈ 1.6 i 10.6 : 6.5 ≈ 1.63.   

tel1

 

 

 

 

tel2

 

 

(nastavak slijedi)

 

 

Odgovori

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava / Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava / Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava / Izmijeni )

Google+ photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google+ račun. Odjava / Izmijeni )

Spajanje na %s