Veliki francuski romanopisac G. Stendhal u autobiografskom romanu „Život Henryja Brularda“ opisuje svoje muke s negativnim brojevima ovim riječima: Glavni temelj mojeg entuzijazma za matematiku ležao je u mojoj mržnji spram dvoličnosti, koja je za mene značila moju tetku Seraphie, gospođu Vignon i njihove svećenike. Po mojem mišljenju u matematici dvoličnost je bila nemoguća, i u mojoj mladenačkoj jednostavnosti smatrao sam da je tako u svim znanostima u kojima se, kako mi rekoše, matematika primjenjuje. Kakav je udarac za mene bilo otkriće da mi nitko ne može objasniti zbog čega je minus puta minus jednako plus:  (–)(–) = (+) (To je jedan od temelja znanosti zvane algebra.) Ne samo da mi ljudi nisu razjasnili tu poteškoću (a ona je sigurno objašnjiva, jer vodi k istinama) nego su mi, što je bilo mnogo gore, nudili objašnjenja koja su se temeljila na pretpostavkama koje očigledno ni njima samima nisu bile jasne. Gospodin Chabert, kada sam ga pritisnuo, potpuno se zbunio ponavljajući onu istu lekciju kojoj sam i prigovorio, da bi mi na kraju kazao: „Ali to je običaj; svatko prihvaća ovo objašnjenje. Zašto su ga prihvatili Euler i Lagrange, koji pretpostavljam nisu bilo lošiji od Vas?“ Velikom romanopiscu više ne možemo pomoći, ali možda i pokoji čitatelj ovoga bloga ima slične poteškoće. Zato ću bar njemu ponuditi jedno od mogućih objašnjenja pravila „minus puta minus je plus“, za koje se nadam da je bolje od onoga koje je ponudio gospodin Chabert. Zamislimo dakle pozitivne brojeve kao pomake slijeva udesno: s1 ili odozdo nagore: s2 a negativne brojeve kao pomake u suprotnome smjeru, zdesna ulijevo: s ili odozgo nadolje: s Zbrajanje cijelih, dakle kako pozitivnih tako i negativnih brojeva a + b, možemo shvatiti kao dodavanje pomaka b pomaku a (na horizontalnoj ili vertikalnoj osi). Na primjer: ss To vam je vjerujem dobro poznato. Da bismo objasnili množenje sjetimo se najprije da umnožak a × b predstavlja površinu pravokutnika čije stranice imaju duljine a i b: s Naravno, te stranice nisu pomaci. One nemaju dva moguća smjera, slijeva udesno ili zdesna ulijevo, te odozdo nagore ili odozgo nadolje. Stoga, želimo li množiti cijele brojeve, tj. pozitivne i negativne brojeve, promotrimo pravokutnike čije stranice jesu pomaci. Takav pravokutnik osim površine ima i smjer. Na primjer, sljedeći pravokutnik koji predstavlja umnožak (–3) × 2 ima smjer kazaljke na satu: s dok donji pravokutnik koji predstavlja umnožak  3 × 2 ima smjer obrnut od kazaljke na satu: ss Pravi ćemo smjer držati negativnim, a drugi pozitivnim. Dakle: sss Pogledajmo sada čemu je jednako „minus puta minus“, na primjeru pravokutnika koji predstavlja umnožak (–3) × (–2): ssss Smjer toga pravokutnika obrnut je smjeru kazaljke na satu, tj. pozitivan je: (–3) × (–2) = 6. Dakle, „minus puta minus je plus“. Sva četiri moguća slučaja predstavljamo sljedećim dijagramima: xs Vjerujem da bi ovo objašnjenje Stendhalu vratilo vjeru u matematiku, a nadam se da je zadovoljilo i čitatelje ovoga bloga.

P.S.  Zadnja sličica desno dole je pogrešna, vidi ispravak u komentaru hrvoja.zg kojem zahvaljujem

9 responses »

  1. Veky (@veky) kaže:

    OMG. Koliko god mi je grozno Chabertovo objašnjenje, Vaše smatram još gorim. Osnovni problem je što ima potpuno proizvoljnu interpretaciju predznaka (jesmo li mogli prvi smjer zvati pozitivnim a drugi negativnim?? Matematički predznaci nisu električni naboji, da je stvar “nazivanja” što je + a što -), te što je ona različita kod prvog faktora, kod drugog faktora, i kod umnoška. Ispada samo da _postoji_ grupa Z2, a konkretni elementi su krajnje nebitni.

    Nudim alternativu, koja nema proizvoljni element, oslanja se na uobičajenu interpretaciju predznaka kao svojstva temperature i protoka vremena. Naravno da je također “varanje” (zaključivanje po analogiji), ali bar nije toliko očito i ne djeluje tako proizvoljno kao ovo Vaše objašnjenje.

    1. zadatak: Temperatura zraka je 0°C, a povećava se za 2°C svakog sata. Kolika će biti za 3 sata? 2*3=6

    2. zadatak: Temperatura zraka je 0°C, a smanjuje se za 2°C svakog sata. Kolika će biti za 3 sata? (-2)*3=-6

    3. zadatak: Temperatura zraka je 0°C, a povećava se za 2°C svakog sata. Kolika je bila prije 3 sata? 2*(-3)=-6

    4. zadatak: Temperatura zraka je 0°C, a smanjuje se za 2°C svakog sata. Kolika je bila prije 3 sata? (-2)*(-3)=6

    Bilo tko, tko zna (intuitivno) riješiti prva tri zadatka, mora znati riješiti i četvrti. A bilo tko, tko shvati da je operacija množenja ista u prva 3 zadatka, vidjet će da je ista i u četvrtom. Naravno da i dalje postoji element proizvoljnosti, ali bih stvarno rekao da je daleko manji nego u Vašem primjeru: negativne temperature, kao i predznačna distinkcija prošlost/budućnost (BC/AD), jesu dio opće kulture puno više nego orijentacije koordinatnih osi i kutova u ravnini.

    • zsikic kaže:

      „Koliko god mi je grozno Chabertovo objašnjenje, Vaše smatram još gorim.“

      Chabertovog objašnjenja u mojem tekstu nema (samo se spominje kao „lekcija kojoj [je Stendhal] prigovorio“) pa ne znajući što ti je grozno ne mogu procijeniti ni koliko ti je moje objašnjenje „još gore“.

      Što se tiče proizvoljnosti odabira pozitivne i negativne orijentacije (kako na pravcu tako i u ravnini), on jest proizvoljan (kako je to uvijek u geometrijskoj algebri, iz koje dolazi moj argument) ali to je nebitno. Bitno je da 2×3 i (-2)x(-3) imaju istu orijentaciju/predznak, kakav god bio odabir, a budući znamo da je 2×3=6 onda je nužno i (-2)x(-3)=6.

      Alternativni argument je naravno dobar (kao i mnogi drugi) no moje je iskustvo da je mnogima preapstraktan (i sam koristiš kondicional tko shvati da je operacija množenja ista u prva 3 zadatka, vidjet će da je ista i u četvrtom“).

      Ljudi su uvjereniji kada „vide“ i to je prednost geometrijske algebre.

      (Naravno, jedini pravi matematički argument je onaj iz principa permanencije, no to je još apstraktnije i stoga nedostupnije.)

      • Veky (@veky) kaže:

        Hm. Mislim da me niste shvatili. 2×3 i (-2)x(-3) imaju isti predznak, ali on nije proizvoljan. Činjenica je da je on isti kao i predznak od 2 i 3, a različit od predznaka od -2 i -3. To je ono što meni bolno fali u Vašem objašnjenju. Faktori i umnošci nisu dvije sorte brojeva, s nezavisnim pravilima za predznake.

      • zsikic kaže:

        ovo ne razumijem😦

  2. D_K kaže:

    Meni osobno dobro funkcionira osnovnoškolska predodžba s dvije vrste žetona: crni i crveni. Crni žeton vrijedi 1 bod, a crveni -1 bod. Operacija množenja je predstavljena stavljanjem žetona u kutiju i vađenjem iz kutije pri čemu predznak prvog faktora (množitelja) označava da li se radi o stavljanju (+) ili vađenju (-), a predznak drugog faktora određuje da li se radi o crnom (+) ili crvenom (-) žetonu.

    Žetona ima proizvoljno mnogo a njihova ukupna vrijednost je jednaka 0 što znači da u igri ima podjednako mnogo crnih i crvenih žetona. Inicijalno je kutija prazna.

    Množenje 2 * 3 je tada predstavljeno stavljanjem 2 puta po 3 crna žetona u kutiju. U kutiji se sada nalazi 6 crnih žetona te je njena vrijednost ukupna vrijednosti +6.

    Ispraznimo kutiju.

    Množenje 2 * (-3) je predstavljeno stavljanjem 2 puta po 3 crvena žetona u kutiju. U kutiji se sada nalazi 6 crvenih žetona te je njena vrijednost ukupna vrijednosti -6.

    Ispraznimo kutiju.

    Množenje -2 * 3 znači da vadimo (množitelj je negativan) 2 puta po 3 crna žetona iz kutije.
    Budući da je kutija prazna i njena ukupna vrijednost je jednaka 0, da bi uopće mogli obaviti vađenje prvo stavljamo u nju 6 crnih i 6 crvenih žetona (kako bi njena vrijednost ostala nepromijenjena tj. 0) a zatim obavimo vađenje. U kutiji se sada nalazi 6 crvenih žetona te je njena ukupna vrijednosti -6.

    Ispraznimo kutiju.

    I sada najinteresantniji slučaj: množenje -2 * (-3) znači da vadimo 2 puta po 3 crvena žetona iz kutije. Ponovno, budući da je kutija prazna i njena ukupna vrijednost je jednaka 0, prvo stavljamo u nju 6 crnih i 6 crvenih žetona i zatim obavimo vađenje. U kutiji se sada pak nalazi 6 crnih žetona te je njena ukupna vrijednosti +6.
    🙂

    /D

  3. hrvojezg kaže:

    Poštovani,
    Ja sam skonto taj slikoviti primjer i nemam s tim baš nikakvih problema. Ipak, mala greškica vam se potkrala u zadnja 4 dijagrama, dijagram desno dolje je pogrešno nacrtan jer je posve identičan onome iznad njega. Negativni smjer za gornju horizontalnu liniju je prema lijevo, a ne prema desno. Shodno tome, treba okomitu liniju označiti na desnoj strani prema dolje, a kružnu strelicu nacrtati u smjeru obrnutom od kazaljke sata.

    Često se sjajnim matematičarima potkradu banalne greške, pamtim anegdotu sa jednim dobitnikom Fieldsove medalje koji je u restoranu ispalio da je 8×8=48 (jer je 5×5=25, a 6×6=36).

    • zsikic kaže:

      sve točno, moja greška😦

    • Veky (@veky) kaže:

      U bazi 14 to i jest istina.🙂 Sva poanta je da kvadriraš neparnu polovicu baze ili njen parni sljedbenik.

      b = 2k, k = 2m+1
      k^2 = k*(k-1) + k = b/2 * 2m + k = m*b+k = broj sa znamenkama m i k
      (k+1)^2 = k*(k+1) + k+1 = b/2 * (2m+2) + k+1 = broj sa znamenkama m+1 i k+1

      (Da, znam da ovo nema direktne veze s temom.:)

Odgovori

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava / Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava / Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava / Izmijeni )

Google+ photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google+ račun. Odjava / Izmijeni )

Spajanje na %s