Evo dokaza da igra “obrtanja, oduzimanja, ponovnog obrtanja i zbrajanja” uvijek vodi broju 1089 (usp. prethodni post).

Troznamenkasti broj sa znamenkama a, b i c je broj:

100a + 10b + c.

Ako ga obrnemo dobit ćemo broj:

100c + 10b + a.

Kada ih oduzmemo dobit ćemo

100a + 10b + c – 100c – 10 ba = 100(ac) – (ac) = 100xx

gdje smo znamenku (ac) kraće označili s x. Koje znamenke ima broj 100xx?

Broj 100x ima znamenke x00, pa se 100xx računa ovako:

S D J
x 0 0
x
(x-1) 9 (10-x)

Pribrojimo li tom broju njemu obrnuti, dobit ćemo:

T S D J
(x-1) 9 (10-x)
+ (10-x) 9 (x-1)
1 0 8 9

Dakle, uvijek dobivamo 1089 (ako je x različit od 0, tj. ako je a različito od c)!

Evo i rješenja koje je dao hrvojezg u svojem komentaru na moj post:

“Dvije su stvari na prvi pogled jasne: dva zrcalna troznamenkasta broja UVIJEK imaju identičnu srednju znamenku, i drugo, veći broj MORA imati manju desnu (zadnju) znamenku nego što je ima manji broj. Pošto uvijek oduzimamo od većeg broja manji broj, iz dvije gornje činjenice izravno slijedi da srednja znamenka razlike ta dva zrcalna broja UVIJEK MORA biti 9! To je UVJET 1.

Presudna stvar za rješavanje ‘Tajne’ je da uočimo još jedan detalj koji nije toliko samorazumljiv na prvu loptu, ali se da primijetiti iz navedenih primjera (i bilo kojih drugih), a to je da zbroj lijeve i desne znamenke razlike također UVIJEK MORA biti jednak 9! To je UVJET 2. Kada smo to skontali lako je ispisati sva moguća rješenja oduzimanja, sa devetkom u sredini, to su: 099, 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792, 891. Jedini broj koji zadovoljava oba uvjeta, a ne može se pojaviti kao rezultat oduzimanja je broj 990 jer zadnja znamenka ne može biti nula, što je posljedica činjenice da zrcalni brojevi koje oduzimamo nužno imaju različite desne (zadnje) znamenke (barem za naš zadatak, jer inače pravilo ne vrijedi).

Sada je sve lako: kada bilo koji od 9 gore navedenih troznamenkastih brojeva (koje smo dobili oduzimanjem 2 troznamenkasta zrcalna broja) zbrojimo sa vlastitim zrcalnim brojem (npr. 297+792) MORAMO dobiti magični broj1089! Zbroj lijevih znamenki je uvijek 9, zbroj desnih znamenki je također uvijek 9, ali zbroj srednjih znamenki je uvijek 18 (9+9), pišem 8 i pamtim 1, pa je zbroj lijevih znamenki u konačnici 10, i tako uvijek dobijemo broj 1089.

***Nije teško objasniti zašto MORA vrijediti UVJET 2, da zbroj lijeve i desne znamenke razlike zrcalnih brojeva mora biti jednak 9. Recimo da od troznamenkastog broja ABC oduzimamo njegov manji zrcalni broj CBA i dobijemo troznamenkasti broj E9D. Dakle, E i D su lijeva i desna znamenka razlike, a srednja znamenka razlike uvijek je 9. Znamenka C manja je od znamenke A pa za oduzimanje vrijedi (C+10)-A=D, i A-(C+1)=E i uvijek MORA biti E+D=9.”

Odgovori

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava / Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava / Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava / Izmijeni )

Google+ photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google+ račun. Odjava / Izmijeni )

Spajanje na %s