Gaussu, po mnogima najvećem matematičaru svih vremena, pripisuje se sljedeća izjava:

Ako vam Eulerov identitet:

e = -1    tj.    iπ = ln(-1)

nije intuitivno očit nikada nećete postati prvoklasni matematičar.

S druge strane, Eulerov identitet mnogi matematičari, kao i mnogi filozofi matematike, navode kao tipičan primjer matematičke tvrdnje koja je istinita i krajnje neintuitivna.

Naime, -1 pripada aritmetici, (kompleksna jedinica) i pripada algebri, π pripada geometriji, e pripada analizi i pravo je čudo da su sve te discipline ujedinjene ovim identitetom.

Poznati filozof matematike Marc Steiner čak koristi „evidentnu“ neintuitivnost Eulerovog identiteta kao kriterij realiteta broja π.

Matematički objekt je (po Steineru) realan ako:

(1) ima bar dvije potpuno neovisne matematičke definicije,

(2) postoji dokaz da one opisuju isti objekt,

(3) ali ne postoji takav intuitivni (tj. eksplanatorni) dokaz.

Dakle:

(1) π možemo definirati kao poluopseg jediničnog kruga, ali i kao  ln(-1) / i ,

(2) postoje dokazi Eulerovog identiteta (koji dokazuju da se radi o istom objektu π),

(3) ali nijedan od tih dokaza nije intuitivan (tj. eksplanatoran).

Što je onda na umu Gaussu, koji misli da je Eulerov identitet intuitivno jasan i stoga eksplanatoran?

Prije svega, u njegovo doba standardnu definicija logaritma:

file-page17

Zatim i  jednostavni izračun integrala koji definira lnZ:

file-page18

Iz kojeg lako slijedi:

file-page19

I sada je potpuno očito da se u oba slučaja radi o poluopsegu jediničnoga kruga.

Sve je intuitivno i eksplanatorno!

Odgovori

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava / Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava / Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava / Izmijeni )

Google+ photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google+ račun. Odjava / Izmijeni )

Spajanje na %s