Jesu li aksiomi sigurne istine?

Razumijevanje aksioma kao izvjesnih i nedvojbeno sigurnih istina gotovo je univerzalno. Lako ga možemo dovesti u pitanje ako se upitamo zašto su grčki matematičari aksiomatizirali geometriju, ali ne i aritmetiku, iako njeni aksiomi nisu manje sigurni od aksioma geometrije.

Usporedite Euklidove aksiome geometrije koji su stari više od dva tisućljeća:

1. Neka se postulira da se od svake točke do svake točke može povući dužina.

2. I da se ograničena dužina može neprekinuto produžiti.

3. I da se svakim središtem i udaljenošću može opisati krug.

4. I da su svi pravi kutovi međusobno jednaki.

5. I ako dužina koja siječe dvije dužine čini unutarnje kutove s iste strane manjima od          dva prava kuta, te se dvije dužine (neograničeno produžene) sastaju s te strane (na            kojoj se kutovi manji od dva prava kuta).

I Peanove aksiome aritmetike koji su stari manje od dva stoljeća:

1. 1 je prirodan broj.

2. Svaki prirodni broj n ima točno jednog sljedbenika n + 1.

3. Broj 1 nije sljedbenik ni jednog prirodnog broja.

4. Ako su sljedbenici dva prirodna broja jednaki onda su i oni jednaki.

5. Ako skup sadrži broj 1 i sljedbenika svakog svog elementa onda on sadrži sve                      prirodne  brojeve.

Aritmetika je aksiomatizirana dva tisućljeća poslije geometrije, tek kada su je logicisti Frege i Dedekind počeli držati relativno neizvjesnom spram neupitno izvjesne logike. Slični su motivi vodili i starogrčke matematičare.

Dokaz nesumjerljivosti dijagonale i stranice kvadrata uzdrmao je izvjesnost geometrije. (U dokazu važnu ulogu igra beskonačni niz sve manjih kvadrata koji se ne da predstaviti nikakvim dijagramom; o tome više u sljedećem postu) . Matematika, kao izvjesna spoznaja, i tu će se više osloniti na sigurno spoznatljive elemente i pokušat će upitnije geometrijske uvide svesti na minimum. Zato će pokušati naći ograničeni broja elementarnih geometrijskih činjenica iz kojih logički slijede sve ostale.

Te osnovne geometrijske činjenice geometrijski su aksiomi, a cijeli ovaj postupak logičkog strukturiranja geometrije, koji je karakterističan za grčku matematiku, naziva se aksiomatizacijom. Dakle, aksiomatizacija matematike od samih grčkih početaka pokušaj je utemeljenja matematike kao izvjesne spoznaje redukcijom njezinih neizvjesnih elemenata na minimum koji čine aksiomi.

Upitna izvjesnost mnoštva matematičkih teorema aksiomatizacijom se svodi na pitanje o izvjesnosti ograničenog broja aksioma. Zato je aksiomatizacija važan korak prema odgovoru na pitanje o izvjesnosti, ali korak koji se čini samo tamo gdje postoji neivjesnost.

Ukratko, aksiomi su signal nesigurnosti, a ne sigurne istinitosti onoga što se aksiomatizira.

P.S.

Naravno, podrijetlo aksiomatizacije ne iscrpljuje sve njezine mogućnosti i ciljeve. Aksiomatska metoda, kada je jednom nastala, pokazala se prikladnim sredstvom za ispitivanje logičkih odnosa unutar bilo kojeg sustava znanja, bilo varljivoga bilo izvjesnoga. Zato će, katkada, njezina primjena ovisiti više o tehničkom razvoju same metode nego o zahtjevima predmeta na koji se ona primjenjuje.

Oglasi

O autoru zsikic

https://www.fsb.unizg.hr/matematika/sikic/
Ovaj unos je objavljen u filozofija, matematika. Bookmarkirajte stalnu vezu.

4 odgovora na Jesu li aksiomi sigurne istine?

  1. Veky (@veky) napisao:

    Moja srednjoškolska profesorica Hrvatskog jezika voljela je objašnjavati razliku između riječi “zbog” i “radi” rečenicom “Učimo zbog neznanja, a radi znanja.” Slično bi se poruka ovog posta, ako je dobro čitam, mogla izreći u obliku “Aksiomatiziramo zbog neizvjesnosti, a radi izvjesnosti.” 🙂

  2. epistemologija napisao:

    Kao što je to pokazao Imre Lakatoš u njegovoj slavnoj knjizi “Dokazi i opovrgavanja”, matematika je istraživački postupak isto kao i prirodne nauke, samo što je njena specifičnost u logičkom povezivanju stavova i traženju kontraprimera, a što podseća na napetost u “empirijskim naukama” između teorije i nepokornih “anomalija”.

    Slažem se da aksiomatizacija može da bude pogodan alat da bi se sredile teoreme pod jedan skup pricipa iz kojih bi mogli da ih dedukujemo, ako dobro poznajemo tehnike logičkog izvođenja i tako to znanje učinimo “sigurnim.

    Međutim, matematika ima tu lepotu, što naši aksiomi uvek “govore” više nego što je to na prvi pogled uočljivo. Logičke posledice mogu biti neverovatne i mogu da nas obogate novim uvidom ali i da budu povod za novu problemsku smenu, o kojoj su govorili Karl Poper, Imre Lakatoš i ostali epsitemiolozi i filozofi nauke. Jedan lep primer iz istorije jesu Kardano i Tartalja kada su otkrili da kvadratni koren od -1 otvara čitavu novu oblast sa operacijama imaginarnih brojeva. To niko nije unapred smislio, prosto smo naleteli na neočekivane posledice naših izvođenja.

    Generalno treba biti obazriv kada se govori o “sigurnom” znanju. Ono nikada nije sigurno niti jednom večito zadato i definisano. Uvek možemo naše koncepte da podvedemo pod sumnju i možemo da ih modifikujemo i ispitujemo njihove logičke posledice. To je posao matematičara koji ponekad orktivaju univerzume unutar univerzuma, ovog koji nas fizički okružuje, a koji opet ne možemo da shvatimo upravo bez univerzuma matematike.

Komentiraj

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava /  Izmijeni )

Google photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google račun. Odjava /  Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava /  Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava /  Izmijeni )

Spajanje na %s