Nesumjerljivost

U ovom ću se postu detaljnije pozabaviti nesumjerljivošću koja je bila jednom od tema prethodnoga posta.

Pitagora je držao da se odnosi čistih geometrijskih formi mogu svesti na brojevne odnose, što znači da se geometrija može svesti na aritmetiku. U pozadini te redukcije primarna je težnja da se matematika zasnuje kao znanost o čistim formama ili idejama.

Naime, broj je sigurno najčišća matematička forma. Broj 5 lakše odvajamo od petočlane skupine materijalnih predmeta, nego apstraktnu ideju trokuta od konkretnoga materijalnog trokuta. Djeca uče aritmetiku predstavljajući si brojeve konkretnim skupinama predmeta samo u prvom i možda drugom razredu osnovne škole, dok si geometrijske ideje predstavljaju konkretnim materijalnim dijagramima tijekom čitavog školovanja.

Toga su bili potpuno svjesni i stari Grci. Proklo je napisao u svojim Komentaríma Euklidovih Elemenata: “Svakome je jasno da su brojevi čistiji i nematerijalniji od geometrijskih veličina, te da su brojevi kao počelo jednostavniji od geometrijskih veličina.”

Kamen temeljac pitagorejske redukcije bila je pretpostavka da su svake dvije dužine sumjerljive, tj. da uvijek postoji njihova zajednička mjera koja ima ulogu jedinice mjerenja pri uspostavljanju njihova brojevnog odnosa. Na primjer:

____________   a = 12j                _____   b = 5j                    a:b = 12:5

No sami pitagorejci dokazali su da stranica i dijagonala kvadrata nemaju takve zajedničke mjere. Evo i dokaza te činjenice, koji je značajan koliko i sama činjenica nesumjerljivosti.

Ako dužine a i b imaju zajedničku mjeru, npr. kao a = 12 j i b = 5 j na prethodnoj slici, onda uzastopno oduzimanje dužina, koje počinje s a i b, završava u konačnom nizu koraka. U našem slučaju:

12j-5j=7j      7j-5j=2j      5j-2j=3j      3j-2j=1j      2j-1j=1j      1j-1j=0j

Provedimo takvo uzastopno oduzimanje počevši od dijagonale d i stranice a zadanoga kvadrata.

Zbog sukladnosti zelenih trokuta prvo oduzimanje stranice a od dijagonale d daje

d – a = a1,

a drugo oduzimanje daje

a – a1 = d1

pa je treće oduzimanje opet oduzimanje stranice crvenog kvadrata a1 od njegove dijagonale d1. Ono se u smanjenom mjerilu ponavlja na isti način te vodi na sljedeći, još manji kvadrat, u kojem se opet ponavlja isti postupak, itd.

Uzastopno oduzimanje dužina koje počinje dijagonalom i stranicom kvadrata nikad se ne završava, jer generira beskonačni niz sve manjih kvadrata, u kojima se uvijek generira početna situacija. No kada bi dužine a i d imale zajedničku mjeru, postupak oduzimanja morao bi se završiti u konačnom broju koraka. Dakle, a i d nemaju zajedničku mjeru, tj. dijagonala i stranica kvadrata nisu sumjerljive.

Uočimo da je nesumjerljivost mogao dokazati samo teorijski um koji gleda savršene forme ili ideje. Dvije materijalne dužine možemo usporediti samo približno, tj. do neke mjere točnosti, pa svaka dužina kraća od te mjere točnosti praktički postaje zajedničkom mjerom tih dužina samom činjenicom da do nje ne dopire točnost praktičnog mjerenja. Nesumjerljivost stranice kvadrata i njegove dijagonale dokazuje se time što se teorijsko “mjerenje” sve manjih kvadrata ponavlja stalno na isti način, pa se zahvaljujući tome nikada ne završava.

Dakle, u dokazu nesumjerljivosti pojavljuje se beskonačni niz kvadrata koji sigurno prelazi granicu vidljivog, a i sama mogućnost njegove materijalizacije postaje krajnje upitnom. Potpuno je jasno da se dokaz bavi idejom kvadrata.

Pitagorejska težnja aritmetizaciji geometrije ozbiljno je uzdrmana otkrićem nesumjerljivosti. Usprkos tome ona će u matematici stalno biti prisutna i konačno će se realizirati u 19. stoljeću Cantor-Dedekind-Weierstrassovim utemeljenjem pojma realnog broja.

(S druge strane, primijetimo da valjanost pitagorejske zamisli po kojoj su geometrija i aritmetika konstitutivni elementi prirode ne ovisi nužno o međuodnosu aritmetike i geometrije.)

O autoru zsikic

https://www.fsb.unizg.hr/matematika/sikic/
Ovaj unos je objavljen u filozofija, matematika. Bookmarkirajte stalnu vezu.

Komentiraj

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava /  Izmijeni )

Google photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google račun. Odjava /  Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava /  Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava /  Izmijeni )

Spajanje na %s