Stvarni Monty Hall

U američkom časopisu Parade svojevremeno je postojala kolumna Pitajte Marilyn. Pisala ju je Marilyn vos Savant žena s najviše ikada postignutih bodova na IQ testu (najviše među svim ljudima, muškarcima i ženama). U kolumni je odgovarala na matematičko-logička pitanja svojih čitatelja. Godine 1990. postavljeno joj je sljedeće pitanje, u vezi sa stvarnom TV-igrom koju je vodio Monty Hall.

Ideja TV-igre je osvojiti nagradu, u ovom slučaju automobil. Monty vam pokazuje troja vrata i obavještava vas da je iza jednih vrata automobil, dok su iza preostalih vrata koze. Vi trebate odabrati jedna vrata i dobiti ono što je iza njih.

Nakon što odaberete jedna vrata Monty odmah ne otvara odabrana vrata, nego otvara jedna od neodabranih i to ona iza kojih je koza (Monty, naime, zna što je iza kojih vrata). Nudi vam da se predomislite, prije nego otvori vrata koja ste konačno odabrali (katkada zahtijeva da platite manji iznos, npr. $50, ako želite promijeniti vrata). Što biste vi učinili?

Merilyn je svojim čitateljima savjetovala da svakako prihvate ponudu i promijene vrata prije konačnog otvaranja. Objasnila im je da se time šanse za dobitak s 1/3 povećavaju na 2/3, dakle udvostručuju se.

Intuicija većine ljudi jest da promjena ne donosi ništa jer su šanse da je automobil iza jednih od dvaju neotvorenih vrata jednake. Mariliyn je detaljno objasnila zašto to nije točno, no mnoge nije uspjela uvjeriti. U više od 90% pisama u vezi s Monty Hall problemom, pokušavali su joj objasniti da je pogriješila, a mnoga od njih napisali su matematičari.

Najjednostavnije objašnjenje da treba mijenjati jest ono koje pokazuje da je Montyjeva ponuda jednaka ponudi da umjesto odabranih vrata možete odabrati druga dvoja (i time vjerojatnost dobitka s 1/3 povećati na 2/3). Naime, vi unaprijed znate da će iza vrata koja će Monty otvoriti biti koza. To je određeno pravilima igre pa je Montyjevo otvaranje potpuno nebitno. To znači, kao što smo rekli, da su te dvije ponude jednake.

Uvjerava li vas ovaj argument da je Marilyn bila u pravu? Moje je iskustvo da većinu ne uvjerava. Zato, za one koji još nisu uvjereni, predlažem da odigraju dvije runde od po 30 ponavljanja igre (npr. s dvije crne karte i jednom “nagradnom” crvenom). U prvoj rundi neka nijednom ne mijenjaju odabir, a u drugoj neka ga svaki put mijenjaju. U prvoj će rundi imati cca 10 crvenih “nagrada”, a u drugoj će ih imati cca 20. (Naravno morate imati Montyja koji će okretati crnu neodabranu kartu.) Koga ni to ne uvjeri, ne znam što bih mu dalje rekao.

To je sve dobro poznato i o tome sam već pisao, ali nedavno sam pročitao da Monty svoja vrata nije birao kako je to opisala Marylin, nego ih je birao slučajno, mada nije sasvim jasno je li slučajno birao samo između vrata koja vi niste izabrali ili je slučajno birao bilo koja vrata.

U prvom slučaju mogao je slučajno otvoriti vrata iza kojih je auto i vi biste dobili kozu, ili je mogao slučajno otvoriti vrata iza kojih je koza i tada bi vam nudio promjenu.

U drugom slučaju mogao je slučajno otvoriti vrata koja ste vi izabrali i vi biste dobili ono što je iza njih, ili je mogao slučajno otvoriti vrata koja nisu vaša i iza kojih je auto i vi biste dobili kozu, ili je mogao slučajno otvoriti vrata koja nisu vaša i iza kojih je koza i tada bi vam nudio promjenu.

Kako sam gore objasnio, u originalnom Marylinom problemu promjena povećava vjerojatnost dobitka s 1/3 na 2/3. Isto vrijedi i ako Monty slučajno bira bilo koja vrata. Međutim, ako Monty slučajno bira između vrata koja vi niste izabrali onda se može dokazati da je promjena nebitna jer su vam šanse i za kozu i za auto 1/2.

Dakle, odgovor „promjena ne donosi ništa“ točan je ako Monty između preostalih vrata slučajno izabire kozu. Možda su na to mislili matematičari koji su protuslovili Marilyn vos Savant. A možda i nisu. Tko će znati? No, sigurno nisu točno odgovorili na problem kako ga je ona postavila. Možda nisu pažljivo pročitali formulaciju problema? To je karakteristično za „pametne i brzoplete učenike“.

Za one koji razumiju Bayesov teorem evo i dokaza gornjih tvrdnji.

U 1. koraku vi birate auto s vjerojatnošću P(A1) =1/3, a kozu s vjerojatnošću P(K1) =2/3.

Ako Monty u 2. koraku sigurno bira kozu (na slici vjerojatnosti bez zagrada ) onda je:

P(K1 / K2 )=(2/3 ⋅1)/(1/3 ⋅1+2/3 ⋅1 )= 2/3

pa vam se promjena isplati jer su vam (bez promjene) šanse za kozu 2/3, a za auto 1/3.

Ako Monty u 2. koraku slučajno bira između preostalih vrata (na slici vjerojatnosti u zagradama ) i izabere kozu onda je:

P(K1 / K2 )=(2/3 ⋅1/2)/(1/3 ⋅1+2/3 ⋅1/2 )= 1/2

pa vam je promjena nebitna jer su vam šanse za kozu i auto iste, 1/2.

Ako Monty u 2. koraku slučajno bira bilo koja vrata (na slici vjerojatnosti u dvostrukim zagradama ) i izabere kozu onda je:

P(K1 / K2 )=(2/3 ⋅2/3)/(1/3 ⋅2/3+2/3 ⋅2/3 )= 2/3

pa vam se promjena isplati jer su vam (bez promjene) šanse za kozu 2/3, a za auto 1/3.

O autoru zsikic

https://www.fsb.unizg.hr/matematika/sikic/
Ovaj unos je objavljen u matematika. Bookmarkirajte stalnu vezu.

4 odgovora na Stvarni Monty Hall

  1. Veky (@veky) napisao:

    > Koga ni to ne uvjeri, ne znam što bih mu dalje rekao.

    Sjećam se jedne tvrdoglave Splićanke kojoj sam to kao jako mlad i naivan student objašnjavao. Problem je bio u tome da je ona bila čvrsto uvjerena u “gambler’s fallacy”, i rekla je “pa naravno da su šanse puno manje kad deset puta zaredom napraviš isto”. :-] Sad znam da sam mogao pametnije, dati joj svaki put da bira hoće li promijeniti ili ne, i pisati rezultate u dva stupca, pa poslije zbrojiti. Ali ne sumnjam da bi opet našla neki način da pokaže da je ona u pravu. 😀

  2. gal416 napisao:

    Možda je i sljedeće objašnjenje razumljivo za one koji su pažljivo pročitali pitanje ali “ne vjeruju” 🙂 Bayesovom teoremu:
    iza vrata koja sam odabrao je ili auto, ili jedna koza ili druga koza. U prvom slučaju, iza preostalih vrata (onih koja ostanu nakon što Monty otvori “svoja” vrata) je koza, a u druga dva slučaja iza preostalih vrata je auto. Dakle, šansa je 2/3.

    Inače, ovo pitanje pokazuje jednu žalosnu osobinu ljudi da se tvrdoglavo drže svoje intuicije bez pažljivog provjeravanja (ili zbog nepažljivog čitanja pretpostavki). Nitko od nas ne treba misliti da je imun na takve greške i da se rečenica “Koga ni to ne uvjeri, ne znam što bih mu dalje rekao” u nekim situacijama ne bi mogla odnositi i na nas. Moje iskustvo (a i sam sam po struci matematičar) je da se to odnosi na mnoge matematičare u nekim pitanjima izvan matematike.

  3. zsikic napisao:

    evo i komentara mojeg bratića hrvoja šikića koji mi je poslao mailom
    Šika, možda jedan mali detalj. Moje cure i ja smo “all for Marylin”,
    jer ona je iz St Louisa i išla je na Washington University in St Louis.
    Mislim da nije nikad diplomirala, ali to nema veze.

    Vidio sam da ti stavljaš tvrdnju da ona ima najveći IQ ikad izmjeren,
    ili tako nekako. Možda ne bi bilo loše malo raščlaniti tu tvrdnju. Naime,
    ona je bila u Guinnesovoj knjizi kao takva neko vrijeme, ali bilo je dosta
    kritike na taj račun. Čini se da je taj score neka vrsta interpolacije
    njezinog rezultata u odnosu na dob i slično, pa i nije jasno koliko je
    točan. Osim toga u novije vrijeme je bilo još ljudi kojima je
    izmjeren (procijenjen?) IQ slične veličine (preko 220); npr. “naš”
    Terrence Tao (on je inače bio u komisiji za doktorat “mog” studenta
    Vjeke Kovača, a njegova neobična briljantnost je dosta dobro
    dokumentirana).

Odgovori na Veky (@veky) Otkaži odgovor

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava /  Izmijeni )

Google photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google račun. Odjava /  Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava /  Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava /  Izmijeni )

Spajanje na %s