Što je matematički model epidemije

S obzirom da se projekcije razvoja epidemije temelje na matematičkim modelima pokušat ću objasniti kako izgleda najjednostavniji matematički model širenja zaraze koji je temelj svih složenijih i preciznijih (ako vas plaše formule samo čitajte dalje).


Označimo sa S(t) broj ljudi koji su na dan t podložni infekciji, s I(t) broj infektivnih na taj dan i s R(t) broj onih koji su prebrodili infekciju i na taj dan više nisu infektivni (tu spadaju i umrli). Kratice dolaze od engleskih termina susceptible, infected i resistant, a mi ćemo ih zvati sumnjivima, inficiranima i rezistentnima. Model koji opisujem iz očitih se razloga zove SIR model.


Ako je N ukupni broj ljudi u populaciji koju promatramo onda sa s(t) označavamo dio populacije koji je sumnjiv na dan t. Drugim riječima s(t) =S(t)/N. Analogno, dio populacije koji je infektivan na dan t označavamo s i(t), a dio populacije koji je rezistentan na dan t označavamo s r(t). Drugim riječima i(t) =I(t)/N i r(t) =R(t)/N. Dakle, svaki dan t vrijedi:

(1) S(t) + I(t) + R(t) = N tj. s(t) + i(t) + r(t) = 1.

Pretpostavimo da svaki inficirani prosječno u jednom danu (dt = 1) ima β opasnih susreta u kojima može prenijeti infekciju. Tada će on od dana t do sljedećeg dana t+dt inficirati βs(t) sumnjivih. Dakle, on će βs(t) sumnjivih prevesti u inficirane. Ukupni broj sumnjivih smanjit će se za βs(t)I(t) jer je na dan t infektivnih ukupno I(t). Dakle ukupna promjena sumnjivih u tom danu je:

(2) dS = -βs(t)I(t) dt tj. ds/dt = -βs(t)i(t).


Pretpostavimo nadalje da se u jednom danu oporavi (ili umre) γ-ti dio inficiranih, koji time postaju rezistentni. Tada je ukupna promjena rezistentnih u tom danu:

(3) dR = γI(t) dt tj. dr/dt = γi(t).


Iz (1) slijedi

(4) ds/dt + di/dt + dr/dt = 0.


Iz (2), (3) i (4) slijedi

di/dt = -ds/dt – dr/dt = βs(t)i(t) – γi(t).


Na početku epidemije nekim novim infektom sumnjivi su svi, s(0) = 1, a rezistentnih još nema, r(0) = 0. Pretpostavimo da je početno samo jedan inficirani, i(0) = 1/N ≈ 0.

Tada možemo zaključiti da veličine s(t), i(t) i r(t) zadovoljavaju diferencijalne jednadžbe


ds/dt = -βs(t) i(t), dr/dt = γi(t), di/dt = βs(t) i(t) – γi(t)

i početne uvjete

s(0) = 1, i(0) = 1/N≈ 0, r(0) = 0.


Ovakve diferencijalne jednadžbe obično se rješavaju numerički. Npr. za β = 1/2 i γ = 1/3 numerički dobivena rješenja s(t), i(t) i r(t) izgledaju ovako:

(Na sljedećoj stranici možete eksperimentirati s različitim β i γ:
http://www.public.asu.edu/~hnesse/classes/sir.html?Alpha=0.3&Beta=0.2&initialS=4000000&initialI=10&initialR=0&iters=200 )

Pogledajte što se na kraju desilo (u ovom slučaju koji inače modelira hongkošku gripu iz sezone 1968/9). Nakon 150 dana više nije bilo inficiranih, i(t) = 0. Rezistentnih je bilo nešto manje od 60%, r(t) = 0.6. Sumnjivih, dakle nerezistentnih, ostalo je nešto više od 40%, s(t) = 0.4.

Kod sljedeće infekcije istim virusom epidemija će početi s vrijednostima r(0) = 0.6, s(0) = 0.4 i i(0) ≈ 0, tj. početi će na stabilnom kraju gornjega grafa. No, to znači da će u tom stabilnom stanju i ostati (jer se graf dalje ne mijenja). Dakle, populacija je postala stabilna sa 60% rezistentnih i više nije podložna epidemiji nego samo pojedinim slučajevima (kaže se da je postignut „imunitet stada“).

Na kakvo postupanje upućuje model koji za dane β i γ ima rješenje opisanoga oblika?

Ako je smrtnost inficiranih zanemariva, moguća taktika obrane jest da pustite patogen da inficira 60% populacije koja će tako steći imunitet stada.

Ako smrtnost nije zanemariva možda znate koji dio populacije s patogenom nema problema pa, ako je taj dio veći od 60%, pustite patogen da inficira taj dio populacije. Tako će cijela populacija steći imunitet stada, bez žrtava. Naravno, u tom slučaju morate dobro izolirati onaj dio populacije koji s patogenom ima problema, što baš i nije jednostavno. Možda je to švedska taktika u slučaju trenutne korona epidemije; izoliraj stare i bolesne, a mlade puštaj da se inficiraju i stvore imunitet stada za cijelu populaciju.

Ako to nije slučaj onda (do postizanja imuniteta stada) širenje zaraze morate toliko usporiti da vam zdravstveni sustav može prihvatiti i uspješno liječiti sve one koji se ozbiljno razbole. U slučaju trenutne korona epidemije to je u stanju malo koji sustav i stoga ga je potrebno prilagoditi tom pritisku. Kako se to radi pokazuju postupci kojima Hrvatska usporava epidemiju i prilagođava svoj zdravstveni sustav.

Najbolje je, naravno, da imate cjepivo i procijepite 60% populacije. Tako dobijete 60% rezistentnih i imate imunitet stada bez žrtava. Za trenutnu epidemiju, nažalost, cjepiva neće biti još najmanje godinu dana.

No, vratimo se samom modelu. U njemu je problem točno procijeniti parametre β i γ. Parametar γ, tj. dio inficiranih koji u jednom danu izlazi iz infekcije moguće je procijeniti praćenjem oporavaka i smrti. On je, u grubo, recipročna vrijednost trajanje infektivnog perioda, ako je taj period približno isti za sve inficirane.
Parametar β (broj dnevnih susreta u kojima inficirani može prenijeti infekciju) može se procijeniti na posredni način. Promotrimo omjer:

β/γ = βx(1/γ) = (broj opasnih dnevnih susreta po inficiranom) x (broj dana infekcije) = broj opasnih susreta po inficiranom

Taj omjer c = β / γ zovemo kontaktnim brojem. On mjeri intenzitet zaraznosti patogena i može se procijeniti prateći tok epidemije. Ako znamo γ i c možemo izračunati β.

Naravno, ovaj simplificirani model ima mnoge pretpostavke koje nisu realne; homogenost populacije, dostupnost svakoga svakome itd. Njih uvažavaju sofisticiraniji modeli koji su bliži stvarnosti.

Nadam se da vam već i ovaj jednostavni model donekle upotpunjuje sliku o tome što se zbiva u epidemijama.

O autoru zsikic

https://www.fsb.unizg.hr/matematika/sikic/
Ovaj unos je objavljen u korona virus. Bookmarkirajte stalnu vezu.

3 odgovora na Što je matematički model epidemije

  1. zsikic napisao:

    Piše mi Josip Tambača (profesor matematike i badmintona):
    Par sitnica, nista bitno:
    1) fali “d” u formuli:
    i/dt = -ds/dt – dr/dt = βs(t)i(t) – γi(t)
    2) pocetni uvjeti:
    s(0) = 1 i(0) = 1/N r(0) = 0.
    ne zadovoljavaju jdbu koja je dio modela:
    s(t) + i(t) + r(t) = 1.
    sto nije bitno za rjesenje jer je stabilno, a razlika je mala perturbacija.
    3) U tekstu:
    ” Na kakvo postupanje upućuje ovaj model?
    Ako je smrtnost inficiranih zanemariva, moguća taktika obrane jest da
    pustite patogen da inficira 60% populacije koja će tako steći imunitet
    stada.”
    bi naglasio da se to odnosi na odabrane parametre gamma i beta,
    a ne za sve infekcije.
    4) stavi zareze izmedu jdbi u formulama:
    ds/dt = -βs(t) i(t) dr/dt = γi(t) di/dt = βs(t) i(t) – γi(t)
    s(0) = 1 i(0) = 1/N r(0) = 0.

    Hvala, ispravljeno.

  2. Zoran Bohacek napisao:

    Vrlo dobar post. Pogledaj moje pitanje na (ako se ne vidi, pod mojim je postovima):
    https://www.linkedin.com/feed/update/urn:li:activity:6646747246186627072/
    Meni se čini važnije prediktivnost prijelaza iz jednog stanja u drugo….

  3. zsikic napisao:

    bojim se da ćemo relevantne podatke imati tek kada sve završi,
    trenutno ne znamo ni postotak zaraženih, ni smrtnost, ni ….

Komentiraj

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava /  Izmijeni )

Google photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google račun. Odjava /  Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava /  Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava /  Izmijeni )

Spajanje na %s