Eksponencijalni vs. linearni rast, kolektivni imunitet i cijepljenje

Ako neku glasinu prenesete samo jednoj osobi te ako je ta osoba sljedeći dan prenese jednoj novoj osobi, itd. trač se neće proširiti daleko. Nakon 30 dana proširit će se na 30 osoba.

Ako svaka osoba glasinu prenese na dvije nove osobe, tada će nakon 30 dana glasina doprijeti do više od milijardu ljudi; 230 = 1.073.741.824. Kako takva naizgled mala promjena – prenošenje na dvije osobe umjesto na samo jednu – može napraviti tako veliku razliku?

Radi se o razlici između linearnog i eksponencijalnoga rasta. Linearni rast je spor i stabilan, sa stalno istim prirastima. U našem slučaju 1 osoba dnevno. S druge strane, eksponencijalni rast karakteriziraju prirasti koji se multipliciraju: 2 nove osobe 1. dan, 4 nove osobe 2. dan, 8 osoba 3. dan, 16 osoba 4. dan itd. Za razliku od linearnog rasta, eksponencijalni rast se ubrzava – brzina rasta i sama raste. To dovodi do razlike između 30 osoba (na grafu žuto) i milijarde osoba (na grafu plavo) koje su čule glasinu nakon 30 dana.

Infekcije se šire poput glasina. Netko ih pokupi i proslijedi nekom drugom. Postoje razlike, ali isti matematički model koristan je u obje situacije. U našem jednostavnom primjeru vidjeli smo kako naizgled mala razlika u brzini prijenosa glasine stvara veliku razliku u tome koliko ju je ljudi u konačnici čulo. Isto vrijedi za zarazne bolesti. Razlika između prenošenja infekcije na jednu osobu i prenošenja na dvije osobe razlika je između izoliranih slučajeva i epidemije.

Infekcije se šire brzinom koja ovisi o mnogim biološkim i socijalnim faktorima. Epidemiolozi pokušavaju sažeti utjecaj svih tih faktora u “osnovni reprodukcijski broj” infekcije, koji označavaju s R0. To je prosječni broj novih infekcija koji u svojem zaraznom razdoblju prouzroči zaražena osoba. U kontekstu našeg primjera prenošenja glasina, osnovni reprodukcijski brojevi bili su R0 = 1 (svaka osoba prenosi glasinu na 1 novu osobu) i R0 = 2 (svaka osoba prenosi glasinu na 2 nove osobe), a „zarazno razdoblje“ bilo je jedan dan.

Evo osnovnih reprodukcijskih brojeva nekih poznatih infekcija.

Bolest R0
Ospice12-18
Vodene kozice5-7
Zaušnjaci4-7
COVID192-3 (?)

Uočite da su svi reprodukcijski brojevi veći od 1. To je jedan od razloga zašto su te bolesti opasne. Budući da će svaka zaražena osoba zaraziti više od jedne osobe, broj zaraženih će eksponencijalno rasti, što može biti pogubno. Zato je ključno pitanje možemo li R0 svesti na 1.

Razmislimo o tome što nam govori osnovni reprodukcijski broj. Na primjer, R0 = 2 znači da će zaražena osoba (u prosjeku) zaraziti 2 nove osobe. Ako se zaražena osoba u razdoblju zaraze susretne s 10 ljudi, svi kontaktirani imaju šanse biti zaraženi, ali činjenica da je R0 = 2 znači da će se (u prosjeku) zaraziti 2 od ovih 10 osoba. Dakle, svaka od tih 10 osoba ima 2/10, ili 20 %, šanse da se zarazi.

Pretpostavimo sada da su 4 od tih 10 osoba cijepljene pa se ne mogu zaraziti. No, svaka od preostalih 6 osoba još uvijek ima 20 % šanse da se zarazi. To znači da će u prosjeku biti zaraženo 20 % od tih 6 osoba, što je (u prosjeku) 1,2 osobe.

Dakle, ako su 4 od 10 osoba cijepljene, tada će jedna zaražena osoba (u prosjeku) zaraziti samo 1,2 osobe. Cijepljenjem je osnovni reprodukcijski broj ove bolesti smanjen s R0 = 2 na R0 = 1,2.

Možemo li  osnovni reprodukcijski broj svesti na 1 kako bismo izbjegli eksponencijalni rast?

Opet pretpostavimo da naša zaražena osoba dolazi u kontakt s 10 osoba tijekom zaraznog razdoblja i da svaka necijepljena osoba ima 20 % šanse da se zarazi. Pretpostavimo da je C od tih 10 osoba cijepljeno. Tada će se zaraziti 20 % od 10 – C necijepljenih osoba ili 0,2 × (10 – C). Da bi rast bio linearan, a ne eksponencijalan, prosječan broj novih infekcija mora biti 1. Dakle, moramo riješiti jednadžbu:

0,2 × (10 – C) = 1.

Rješenje je C = 5. Dakle, cijepljenjem 5 od 10 osoba, tj. 50% osoba, R0 smo reducirali na 1.

Taj se postupak može generalizirati za bilo koji R0. Ako pretpostavimo da svaka zaražena osoba kontaktira N novih osoba u zaraznom razdoblju, tada možemo očekivati da će u prosjeku R0/N tih osoba biti zaraženo. Ali ako je C broj cijepljenih među N kontaktiranih, onda (R0/N) (N – C) predstavlja broj novo zaraženih. Želimo da on bude 1 pa imamo jednadžbu

(R0/N) (N – C) = 1

iz koje odmah slijedi

C/N = 1 – 1/R0.

Dakle, ako procijepimo 1 – 1/R0 populacije svaka će zaražena osoba zaraziti samo 1 novu osobu, tj. 1 – 1/R0 čarobni je postotak koji rezultira linearnim, a ne eksponencijalnim rastom bolesti.

Na toj razini procijepljenosti populacija postiže kolektivni imunitet. To nije imunitet pojedinaca, nego redukcija eksponencijalnoga rasta zaraze na linearni rast. Postotak cijepljenja potreban za postizanje kolektivnog imuniteta (tj. za redukciju eksponencijalnoga rasta zaraze na linearni rast) naziva se „prag kolektivnog imuniteta” (s kraticom HIT za “herd immunity threshold”). Evo HIT-ova za gornje zarazne bolesti.

BolestR0                  HIT
Ospice121–1/12 = 0.917 = 91.7%
Vodene kozice5 1–1/5 = 0.8 = 80%           
Zaušnjaci4 1–1/4 = 0.75 = 75%           
COVID192 (?)1–1/2 = 0.5 = 50% (?)           

Očito je da cijepljenje ne pruža potencijalnu korist samo cijepljenim nego i necijepljenim pojedincima u populaciji. Budući da je manje vjerojatno da će se bolest široko proširiti, svi su u manjem riziku, uključujući i one koji nisu cijepljeni. To je posebno važno za osobe kojima cijepljenje nije medicinski preporučljivo, poput novorođenčadi ili starijih i nemoćnih osoba.

Da zaključimo, dramatičnu razliku između linearnog i eksponencijalnog rasta, koja je za mnoge razlika između života i smrti, moguće je premostiti odgovarajućim procjepljivanjem populacije i to je jedna od najvećih blagodati medicine uopće.

O autoru zsikic

https://www.fsb.unizg.hr/matematika/sikic/
Ovaj unos je objavljen u korona virus, znanost. Bookmarkirajte stalnu vezu.

Komentiraj

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava /  Izmijeni )

Google photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google račun. Odjava /  Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava /  Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava /  Izmijeni )

Spajanje na %s