Neeuklidska geometrija i znanstvena podjela rada

Razvoj neeuklidske geometrije je faktor koji se uvijek spominje kao jedna od motivacija za rigorizaciju matematike općenito, ali i posebno za “degeometrizaciju” (“aritmetizaciju”) analize. Priča je započela, u doba kasne antike, s postavljanjem zahtjeva koji se odnosi na nedokazane postulate i nedefinirane primitivne pojmove Euklidovih Elemenata. Naime, prvi trebaju biti samorazumljivo istiniti, a drugi samorazumljivo smisleni. Peti Euklidov postulat o paralelama tu je u lošem položaju, kao jedini kojem nedostaje samorazumljivost. Sam Euklid implicitno je priznao da je taj postulat problematičan, budući da u ranim dijelovima 1. knjige Elemenata što god može radi bez pozivanja na taj postulat. Počinje ga koristiti (jer mora) tek da bi dokazao teorem o zbroju kutova u trokutu.

Mnogi kasniji autori, od antičkih do modernih vremena, pokušavali su dokazati postulat o paralelama, no uspijevali su ga tek zamijeniti nekim ekvivalentnim postulatom, koji nije bio bitno očigledniji od onoga što je zamijenio. Najpoznatija od ovih ekvivalentnih alternativa, vjerojatno je Playfairov postulat: kroz točku izvan pravca postoji točno jedan pravac paralelan s tim pravcem. Neki autori, među kojima se osobito ističe Girolamo Saccheri, pokušavali su izvesti kontradikciju iz negacije postulata o paralelama (i tako reductiom ad absurdum dokazati sam postulat). U Playfairovoj formulaciji ta negacija ima dva dijela:

(1)  nema paralele kroz zadanu točku i

(2)  kroz zadanu točku postoje mnoge paralele.

Iz njih su izvedene mnoge posljedice koje danas znamo kao teoreme (1) eliptičke geometrije u kojoj je zbroj kutova u trokutu uvijek veći od dva prava kuta, a što je veći trokut veći je i višak, i (2) hiperboličke geometrije u kojoj je zbroj kutova u trokutu uvijek manji od dva prava kuta, a što je veći trokut veći je i manjak.

Saccherijevi napori da izvede kontradikciju iz (1) i (2) nisu uspijevali jer su i eliptična i hiperbolična geometrija konzistentne. Ta konzistentnost oba oblika neeuklidske geometrije na kraju je i strogo dokazana (pod pretpostavkom  konzistentnosti same euklidske geometrije) konstrukcijom modela obaju geometrija unutar euklidske geometrije. Eliptična geometrija modelirana je sfernom geometrijom (u kojoj je “ravnina” sfera, a “pravci” su „dvostruko shvaćene“ velike kružnice). Hiperbolična geometrija je modelirana Poincaréovim diskom (u kojem je “ravnina” područje unutar kruga, a “pravci” su oni lukovi kružnica koji su okomiti na granični krug). I prije nego što su dani ti strogi  dokazi konzistentnosti Janos Bolyai i Nikolaj Lobačevski bili su u nju toliko uvjereni da se nisu libili objaviti svoja djela o novoj hiperboličkoj geometriji.

Carl Friedrich Gauss, koji je na kocki imao veću reputaciju, svoje djelo nije objavio, iz straha od sukoba s Kantovim filozofskim sljedbenicima. Iako konzistentnost neeuklidske geometrije zapravo potvrđuje polovicu Kantovog pogleda na Euklidsku geometriju kao “sintetičku”, a ne “analitičku” (što znači da se ona ne sastoji samo od logičnih posljedica definicija), upitna je druga polovica Kantovog pogleda na euklidsku geometriju, naime, njegova tvrdnja da je ona “a priori”, a ne “a posteriori” (što znači da se njeni principi ne izvode induktivno iz osjetilnog iskustva, nego su spoznatljivi čistim mišljenjem). Konzistentnost neeuklidske geometrije logički ne implicira da je euklidska geometrija „a posteriori“, no čim su matematičari prihvatili konzistentnost neeuklidske geometrije, neki od njih počeli su propitivati ​​imaju li Kantijanci doista uvjerljivih osnova da tvrde da je euklidska geometrija „a priori“.

Gauss je odbacio tvrdnju da je euklidska geometrija „a priori“ tvrdeći da ona ima isti status kao i mehanika. To znači da je istinitost ili neistinitost njenih tvrdnji podložna empirijskom testu i o tome konačno trebaju odlučiti prirodoslovci, a ne matematičari. Na primjer, geodeti bi trebali izmjeriti je li suma kutova koji tvore tri planinska vrha 180 ° ili nije. Gauss je to i pokušao s vrhovima Hoher Hagen, Grosser Inselsberg i Brocken. No, što je Gauss potpuno razumio, neeuklidske geometrije impliciraju da je prostor lokalno euklidski, tako da neeuklidski karakter prostora možda eksperimentalno neće biti prepoznat jer naša mjerenja nisu dovoljno opsežna (a ni dovoljno točna).

Dakle, nijedna geometrijska teorija ne implicira nikakva empirijska predviđanja sama za sebe (bez ikakvih fizičkih hipoteza). Čak i predloženi geodetski eksperiment  pretpostavlja da svjetlost putuje po pravcima, što znači da uz geometriju uključuje i optiku, tj. elektromagnetsku teoriju, a pokazalo se da je geometrija isto tako neodvojiva od gravitacijske teorije.

Tako se pojavila distinkcija, implicitna već u Gaussovom stajalištu, između matematičkih geometrija i fizičke geometrije. Matematike je postala istraživanje raznih matematičkih “prostora”, euklidskih, neeuklidskih, 2, 3, 4 i više dimenzionalnih itd., dok je uloga fizike bila odlučiti koji je od njih najprikladniji kao model fizičkog prostora u kojem živimo.

Dakle, vrijedi li postulat o paralelama u fizičkom prostoru nije stvar o kojoj trebaju odlučiti matematičari. Fizika mora prosuditi koji je matematički prostor prikladan za modeliranje fizičkog prostora, ali jednako je važna spoznaja da matematički prostor koji nije primjeren model fizičkog prostora možda može poslužiti kao model nekog drugog empirijskog fenomena. Na primjer, predstavljanje ekonomskih podataka točkama u višedimenzionalnom Euklidskom prostoru može imati sasvim nepredviđene aplikacije u društvenim znanostima.

Tako dolazi do nove podjele rada. Matematičar proučava neki matematički sustav. Empirijski znanstvenik predlaže hipotezu da taj sustav na neki način modelira određene prirodne ili društvene fenomene, a zatim primjenjuje matematičke rezultate o tom sustavu kako bi došao do empirijskih predviđanja. Ako se predviđanja pokažu netočnima, empirijska hipoteza mora se modificirati ili napustiti i tražiti neki drugi model. No, matematički rezultati o matematički istraženom sustavu ostaju i možda će se jednog dana upotrijebiti u modeliranju nečeg drugog.

Ovaj novi način rada jasno pretpostavlja da matematičar u izvođenju teorema, ni u jednom trenutku ne koristi hipotezu empirijskog znanstvenika da predmetni matematički sustav dobro modelira neki poznati prirodni ili društveni fenomen. Ništa se ne smije pretpostaviti u dokazima matematičkog sustava samo zato što se čini da je odgovarajuća tvrdnja točna o empirijskom fenomenu koji on modelira (ako želimo biti sigurni da matematički rezultat vrijedi čak i ako se ta empirijska tvrdnja pokaže netočnom). Posebno, prostorno-vremenske intuicije ne smiju biti uključene u dokaze. Ako matematika i empirijska znanost žele raditi zajedno uz opisanu podjelu rada, prihvatljivi su samo rigorozni dokazi koji svaki teorem izvode iz eksplicitnih pretpostavki o matematičkom sustavu o kojem je riječ.

O autoru zsikic

https://www.fsb.unizg.hr/matematika/sikic/
Ovaj unos je objavljen u matematika, znanost. Bookmarkirajte stalnu vezu.

Komentiraj

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava /  Izmijeni )

Google photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google račun. Odjava /  Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava /  Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava /  Izmijeni )

Spajanje na %s