Teorija skupova kao temelj matematike

Danas se aksiomatizirana teorija skupova ZFC (proširena, ako je to potrebno, aksiomima o postojanju velikih kardinalnih brojeva) smatra temeljem matematike. Što to zapravo znači? Najjednostavnije, da se svi matematički pojmovi mogu definirati u toj teoriji te da se iz njenih aksioma mogu izvesti svi matematički teoremi. Nešto detaljnije, da se matematički objekti (poput brojeva, funkcija i sl.) mogu definirati kao određeni skupovi, te da se matematički teoremi (poput osnovnog teorema algebre, analize i sl.) tada mogu promatrati kao izjave o skupovima koje su dokazive iz aksioma teorije skupova. Napomenimo još da je to uranjanje matematike u teoriju skupova danas toliko dobro poznato da često zaboravljamo koliko je ono zapanjujuće.

No, u kojem smislu to uranjanje matematike u teoriju skupova utemeljuje matematiku?

Neki idu tako daleko da uranjanje matematike u teoriju skupova drže njenim ontološkim utemeljenjem. Oni smatraju da je predstavljanje danog matematičkog objekta određenim skupom zapravo otkriće njegovog istinskog identiteta. Benacerraf je upozorio da to ne može biti točno jer, na primjer, Zermelo prirodne brojeve skupovno definira kao ∅, {∅}, {{∅}},. . . , a von Neumann kao ∅, {∅}, {∅, {∅}},. . ., i nema principijelnog razloga da se jedna definicija preferira u odnosu na drugu (postoje praktični razlozi za preferiranje von Neumannovih ordinala, npr. oni se lako generaliziraju na transfinitne ordinale, ali takve stvari nisu pokazatelj toga „što su brojevi zapravo“).

Praksa teorije skupova puna je ovakvih proizvoljnih izbora, poput definicije uređenog para na način Kuratowskog pa je važno upozoriti da su to definicije matematičkih pojmova u teoriji skupova, a ne otkrića identiteta tih pojmova. Iako matematičari u takvim situacijama govore o identifikaciji, npr. realnih brojeva s nizovima nula i jedinica, oni u takvim slučajevima „identifikaciju“ shvaćaju kao „vjernu reprezentaciju“. Naravno, ključno je pitanje što je „vjerna reprezentacija“. Za slučaj uređenih parova to je lako: dva para trebaju biti jednaki ako su im međusobno jednake prve i druge komponente. Slučaj realnih brojeva zahtjevniji je: skup realnih brojeva sa svojim operacijama treba zadovoljiti aksiome potpunog uređenog polja (za koje je prethodno dokazano da su kategorični).

Dakle, uranjanje matematike u teoriju skupova ne daju nikakve duboke ontološke informacije o prirodi matematičkih objekata, uređenih parova, realnih brojeva i sl., niti je to uranjanje tome namijenjeno.

Mnogi “redukciju” klasične matematike na teoriju skupova vide kao nastavak i bar djelomično ostvarenje Fregeovog logicizma. Fregeov projekt bio je epistemološki: ako se matematika može svesti na logiku, tada se matematička spoznaja svodi na logičku (što pobija Kantovu tezu da je ona sintetička a priori). Pod pretpostavkom da je logička spoznaja temeljnija od matematičke to je jasni epistemološki dobitak. Kada se Fregeov logicizam pokazao nekonzistentnim teorija skupova zauzela je njegovo mjesto, ali epistemološka analiza je sačuvana: za matematičke teoreme znamo da su istiniti jer znamo da logički slijede iz aksioma teorije skupova za koje pak znamo da su istiniti. Tako je problem spoznavanja matematičkih istina sveden na problem spoznavanja istinitosti aksioma teorije skupova i valjanosti logičkih dedukcija.

Naravno, već je Russell upozorio (a to zna i svaki matematičar koji je dokazao neki bar donekle složeniji teorem) da naša matematička znanja ne izviru logičkim slijedom iz aksioma, nego se ti aksiomatski sljedovi izgrađuju naknadno, kada je već skupljen veliki fond matematičkih znanja. Dakle, redukcija na teoriju skupova možda je logička, ali sigurno nije epistemološka.

Tako su razmišljali Zermelo i drugi začinjavci, kada su teoriju skupova držali onom granom matematike čiji je zadatak matematički istražiti temeljne pojmove “broj”, “uređaj”, “funkcija” i sl. te na taj način razviti logičke temelje čitave aritmetike i analize. Naknadni razvoj proširio je doseg teorije skupova, u tom smislu, na cijelu klasičnu matematiku. Teorija skupova time je jasno pokazala da je matematika jedinstvena znanost s jedinstvenim predmetom i metodologijom. I ranije su matematičari uspješno povezivali naizgled daleka područja (npr. geometriju, kompleksnu aritmetiku i teoriju funkcija, što je amblematski predstavljeno slavnom formulom e = -1), ali teorija skupova je tome dala jasan i sveobuhvatan matematički okvir.

Tako je postalo moguće da nešto kažete pa i dokažete o cjelokupnoj klasičnoj matematici. Kada ste je skupili u jedan paket, teoriju skupova, mogli ste npr. postaviti pitanje njezine konzistentnosti, što je i učinila Hilbertova škola.  Naravno, Goedel se pobrinuo, svojim teoremima nepotpunosti, da projekt ne uspije onako kako su se nadali Hilbert i njegovi sljedbenici, ali činjenica je da ni Goedelov rezultat (ako je konzistentna, klasična matematika ne može dokazati vlastitu konzistentnost) nije moguć bez uranjanja cijele klasične matematike u teoriju skupova.

Otkako je Goedel dokazao nedokazivost konzistentnosti klasične matematike (u njenom skupovno-teorijski formaliziranom obliku) dokazana je nedokazivost i mnogih drugih specifično matematičkih tvrdnji; u teoriji brojeva, analizi, algebri, infinitarnoj kombinatorici, teoriji skupova itd. Mnoge od njih moguće je dokazati u teoriji skupova proširenoj nekim aksiomom o postojanju skupova velikih kardinaliteta (ZFC + ) čime se, katkada ne veoma neočekivane načine, proširio „sveobuhvatni matematički okvir“. Naime, dosta je neočekivano (iako smo danas na to već navikli) da za dokaz neke tvrdnje o prirodnim brojevima, koji čine najmanji beskonačni skup, katkada trebamo pretpostaviti postojanje enormno velikih beskonačnih skupova

Ako prihvatimo da dokazivanja ovakvih općih tvrdnji o klasičnoj matematici jest nešto za nju „temeljno”, onda ovdje sigurno nalazimo temeljnu ulogu teorija skupova.

No, to nije sve. Već u Dedekinda nalazimo još jednu temeljnu ulogu teorije skupova: „pronalaženje čisto aritmetičkog i savršeno strogog utemeljenja infinitezimalnog računa“. To Dedekind ostvaruje svojom teorijom realnih brojeva kao rezova u području racionalnih brojeva, koja je izgrađena sredstvima teorije skupova.

Na prvi pogled ovo može izgledati kao samo još jedan primjer teoretske redukcije o kojoj smo već govorili, ali zapravo se radi o još nečemu. Tu nemamo samo matematičke objekte (uređene parove ili realne brojeve) koje „identificiramo“ sa skupovima koji ih „vjerno reprezentiraju“. U ovom se slučaju prilično nejasna slika kontinuuma, koja je matematičarima stoljećima dobro služila za razvoj nevjerojatno uspješnog infinitezimalnog računa, uspješno zamjenjuje pojmovima koji su dovoljno precizni za ono što Dedekind traži: stroge dokaze temeljnih teorema.

Dakle, Dedekindova teorija nije samo skupovno-teorijski surogat, osmišljen da „vjerno reprezentira“, nego je teoretsko poboljšanje. Skupovno-teorijsko zamjena nepreciznog pojma preciznim. To je još jedna utemeljujuća uloga teorije skupova: eksplikacija nedovoljno jasnih matematičkih pojmova.

Jedan od najranijih primjera takve eksplikacije je von Staudtovo rješenje problema razumijevanja idealnih elemenata u projektivnoj geometriji. Na primjer, točke u beskonačnosti u kojima se “sijeku” međusobno paralelni pravci von Staudt identificira sa skupom tih paralelnih pravaca, a zadana točka u beskonačnosti nalazi se na nekom pravcu ako je on u skupu s kojim je ta točka u beskonačnosti identificirana. Na ovaj način, von Staudt je uspio od ne-problematičnog materijala (običnih pravaca) izgraditi surogate za do tada problematične objekte (poput točaka u beskonačnosti) i redefinirati relevantne relacije kako bi potvrdio postojeću teoriju.

S vremenom je postalo jasno da su alati potrebni za ovaj proces “gradnje” (alati koje je von Staudt, kao kasnije Frege, smatrao “logičkim”) zapravo alati teorije skupova. Ova zapanjujuća činjenica, da se metode von Staudta i ostalih svode na svega nekoliko principa koje su koristili rani teoretičari skupova i koje je kasnije kodificirao Zermelo, jest ono što je na kraju omogućilo redukciju klasične matematike na teoriju skupova u gore opisanom smislu.

I na kraju, formalno izvođenje u teoriji skupova (barem u načelu) služi i kao zajednički standard onoga što se smatra rigoroznom matematikom. Zamršena i produktivna isprepletenost mnogih grana moderne matematike implicira da više nije dovoljno svaku pojedinu granu rigorozno zasnivati samu za sebe. Kako bi se zajamčilo da strogost neće biti ugrožena u procesu prijenosa rezultata i metoda iz jedne grane u drugu, bitno je da one budu kompatibilne. Jedini očiti način da se osigura ta kompatibilnost jest da se sve grane izvedu iz objedinjenog polazišta. Univerzum teorije skupova taj je (već deklarirani) matematički okvir, a izvodi iz njegove ZFC aksiomatizacije predstavljaju standard dokaza u matematici. Na primjer, prestižni Annals of Mathematics traži da se hipoteze koje izlaze van okvira ZFC-a (poput postojanja velikih kardinaliteta) eksplicitno navode, dok se one unutar ZFC-a prešutno pretpostavljaju. To zapravo znači da je ZFC njihov službeni standard dokazivanja (naravno dokazi se ne ispisuju u ZFC formalizmu, ali se podrazumijeva da bi to bilo moguće napraviti).

Možemo zaključiti: teorija skupova utemeljuje matematiku kao njen sveobuhvatni okvir, kao mjesto eksplikacije matematičkih pojmova i kao standard rigoroznog dokazivanja.

O autoru zsikic

https://www.fsb.unizg.hr/matematika/sikic/
Ovaj unos je objavljen u matematika. Bookmarkirajte stalnu vezu.

Komentiraj

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava /  Izmijeni )

Google photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google račun. Odjava /  Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava /  Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava /  Izmijeni )

Spajanje na %s