Rješenje najtežeg logičkog problema (i postavljanje još težeg)

Nedavno sam pisao o tzv. najtežem logičkom problemu.Sada dajem i njegovo rješenje.

Pogledajmo, za početak, što bi Istiniti (koji uvijek govori istinu), Lažni (koji uvijek govori neistinu), i Slučajni (koji slučajno odabire hoće li govoriti istinu ili neistinu), odgovorili na dva sasvim jednostavna pitanja:

(1) Je li Zagreb u Hrvatskoj?
(2) Je li Zagreb u Sloveniji?

Istiniti : (1) Da. (2) Ne.
Lažni : (1) Ne. (2) Da.
Slučajni: (1) Da/Ne. (2) Ne/Da.

Razmislimo što bi oni odgovorili na dva složenija pitanja:

(1) Bi li „da“ bio tvoj odgovor na pitanje „je li Zagreb u Hrvatskoj“?
(2) Bi li „da“ bio tvoj odgovor na pitanje „je li Zagreb u Sloveniji“?

Istiniti : (1) Da. (2) Ne.
Lažni : (1) Da. (2) Ne.
Slučajni: (1) Da. (2) Ne.

Očito je, dakle, da na složeno pitanje:

Bi li „da“ bio tvoj odgovor na pitanje „je li P“?

sve tri osobe odgovaraju „da“ ako je P istina i odgovaraju „ne“ ako je P neistina.
Potpuno analognim razmišljanjem došli bismo do toga da na složeno pitanje:

Bi li „ne“ bio tvoj odgovor na pitanje „je li P“?

sve tri osobe odgovaraju „ne“ ako je P istina i odgovaraju „da“ ako je P neistina.

Dakle, ako je složeno pitanje sročeno s „da“ onda odgovor „da“ znači da je P istina.

Ako je složeno pitanje sročeno sa „ne“ onda odgovor „ne“ znači da je P istina.

Sve u svemu na složeno pitanje:

Bi li „ku“ bio tvoj odgovor na pitanje „je li P“?

sve tri osobe odgovaraju „ku“ ako je P istina i odgovaraju „lo“ ako je P neistina.

Tako smo otkrili što treba pitati bilo koga od naše trojke da bismo saznali je li P istina.
Dakle, želimo li saznati je li osoba A Slučajni, pitat ćemo je:

(1A) Bi li „ku“ bio tvoj odgovor na pitanje „jesi li ti Slučajni“?

Ako odgovori „ku“, A je Slučajni.
Ako odgovori „lo“, A nije Slučajni

Kako nastaviti ispitivanje ako je odgovor „ku“?
Budući sada znamo da je A Slučajni, drugo pitanje postavljamo osobi B.

(2B) Bi li “ku“ bio tvoj odgovor na pitanje „jesi li ti Istiniti“?

Ako odgovori „ku“ B je Istiniti, pa je C Lažni i sve je riješeno s dva pitanja.
Ako odgovori „lo“ B je Lažni, pa je C Istiniti i opet je sve riješeno s dva pitanja.

Preostalo nam je razmotriti kako nastaviti ispitivanje ako je prvi odgovor bio „lo“.
Iz tog smo odgovora zaključili da A nije Slučajni, pa zato njemu postavljamo i drugo pitanje:

(2A) Bi li „ku“ bio tvoj odgovor na pitanje „jesi li ti Istiniti“?

Ako odgovori „ku“ A je Istiniti.
Ako odgovori „lo“ A nije Istiniti, što znači da je Lažni (jer nije Slučajni).

Treće pitanje postavljamo osobi B:

(3B) Bi li „ku“ bio tvoj odgovor na pitanje „jesi li ti Slučajni“?

Ako odgovori „ku“ B je Slučajni, pa je tada C preostali (jer sada znamo koji su A i B).
Ako odgovori „lo“ B nije Slučajni, nego je to C, dok je B preostali (jer sada znamo koji su A i C).

Time je „najteži logički problem“ riješen.

Primjetimo na kraju da sa Slučajnim nismo imali posebnih problema jer je on (uz slučajni odabir) zapravo istiniti ili lažni.
To znači da metoda koja uspijeva nešto saznati od Istinitog ili Lažnog (ne znajući koji je koji) to isto uspijeva i od Slučajnog. Na primjer, ako Istinitog ili Lažnog pitate:

Hoćeš li na ovo pitanje odgovoriti neistinito?

oba moraju odgovoriti „ne“ pa će tako odgovoriti i Slučajni. Dakle, odgovori Slučajnog baš i nisu nužno slučajni.
Zato su B. I L. Rabern predložili da Pravi Slučajni odgovara tako da slučajno odabere odgovor „ku“ ili „lo“ (a ne da slučajno odabere hoće li govoriti istinu ili neistinu).
I tako dolazimo do sljedećeg problema, koji je teži od najtežeg 🙂 :

Možete li sa tri pitanja odrediti tko je tko ako ste suočeni s Istinitim, Lažnim i Pravim Slučajnim?

COHEN

”There is a crack in everything, that’s how the light gets in.”

“This world is full of conflicts and things that cannot be reconciled
but there are moments, when we can embrace the whole mess.”

“Suzanne”
And you know that she’s half crazy
But that’s why you want to be there
And she feeds you tea and oranges
That come all the way from China

“So Long Marianne”
We met when we were almost young
deep in the green lilac park.
You held on to me like I was a crucifix,
as we went kneeling through the dark.
Oh so long, Marianne, it’s time that we began …

“Bird On The Wire”
I saw a beggar leaning on his wooden crutch,
he said to me, “You must not ask for so much.”
And a pretty woman leaning in her darkened door,
she cried to me, “Hey, why not ask for more?”
Oh like a bird on the wire,
like a drunk in a midnight choir
I have tried in my way to be free.

“Famous Blue Raincoat”
Yes, and thanks, for the trouble you took from her eyes
I thought it was there for good so I never tried.

“Dance Me To The End Of Love”
Dance me to your beauty with a burning violin
Dance me through the panic till I’m gathered safely in
Touch me with your naked hand or touch me with your glove
Dance me to the end of love

“Hallelujah”

I did my best, it wasn’t much
I couldn’t feel, so I tried to touch
I’ve told the truth, I didn’t come to fool you
And even though it all went wrong
I’ll stand before the Lord of Song
With nothing on my tongue but Hallelujah
Hallelujah, Hallelujah …

“I’m Your Man”
If you want a lover
I’ll do anything you ask me to
And if you want another kind of love
I’ll wear a mask for you
If you want a partner
Take my hand
Or if you want to strike me down in anger
Here I stand
I’m your man

Tower Of Song
Well my friends are gone and my hair is grey
I ache in the places where I used to play
And I’m crazy for love but I’m not coming on
I’m just paying my rent every day
Oh in the Tower of Song
I said to Hank Williams: how lonely does it get?
Hank Williams hasn’t answered yet
But I hear him coughing all night long
A hundred floors above me
In the Tower of Song

“The Future”
Give me back the Berlin wall
Give me Stalin and St Paul
Give me Christ
or give me Hiroshima
Destroy another fetus now
We don’t like children anyhow
I’ve seen the future, baby:
it is murder
Things are going to slide …

“Almost Like The Blues”
I saw some people starving
There was murder, there was rape
Their villages were burning
They were trying to escape
I couldn’t meet their glances
I was staring at my shoes
It was acid, it was tragic
It was almost like the blues

„I am ready to die. I hope it’s not too uncomfortable. That’s about it for me.“

Predsjednik Trump

U ožujku 2016. dok Clinton i Trump još nisu bila predsjednički kandidati napisao sam sljedeće:
Trump izgleda nepobjedivo. On je poput strip junaka od kojeg se metci odbijaju i pogađaju one koji su ih ispucali. Njegova izjava „mogao bih nekoga upucati nasred 5. Avenije bez da izgubim ijedan glas“ pokazuje da je toga potpuno svjestan.
Način da se pobijedi Trumpa nisu razložni argumenti, pametne taktike ili grubo ismijavanje. Potrebno je jasno razumijevanje njegove privlačnosti.
Pod njegovim stijegom stupaju bijeli radnici bijesni zbog izgubljenih poslova i smrznutih nadnica „slobodne trgovine i globalizacije“; bijesni zbog dalekih i besmislenih ratova koji čak ne nude ni katarzu pobjede; bijesni zbog elita koje pišu pravila samo u svoju korist zgrčući ogromno bogatstvo „dok poreze plaća mali čovjek“.
Kada Trumpovi republikanski suparnici nude lijekove za ove bolne rane to ne zvuči uvjerljivo, jer su dio establišmenta koji ih je nanio. To znači da će demokratima ostati teška zadaća da ga poraze na izborima u studenom 2016. To bi vjerojatno bilo lakše Bernieju Sandersu koji i sam ukazuje na te nedaće, no posao će najvjerojatnije dopasti Hillary Clinton.
Nema sumnje da će Trump inzistirati na Clintonima kao drugoj strani iste establišment medalje kojoj se on suprotstavlja (čak i u ime radnika koje je davno napustila njihova „radnička stranka“). Biti će to „par koji je unovčio Billovo i isto bi učinio i s Hillarynim predsjedništvom“. Ponavljat će do bola kako je kupio Hillarynu prisutnost na svojem vjenčanju. Ukratko Clintoni su mu idealna meta, a ako se Bill žalio na „zle“ napade dobrice Bernieja teško je i zamisliti što ih čeka u Trumpovom ringu.
No, nije ni Hillary Clinton bez ozbiljne municije. Trumpa nije teško razgolititi kao nasilnog diktatora u nastajanju, ali to nije veliki minus kod njegovih glasača. Važnije je okrenuti se onim bolnim ranama koje ih privlače njegovom opasnom plamenu.
Treba ga razotkriti kao profitera outsourcinga, što on jest. Kao poslovnog čovjeka koji je imao 4 bankrota u zadnjih 20 godina, iza kojih je ostala gomila nezaposlenih i više od 6 milijardi dolara otpisanoga duga (u svim tim bankrotima mali dobavljači i davatelji usluga bili su prisiljeni da apsorbiraju financijski krah iz kojeg je on izašao bez posljedica).
Možemo biti sigurni da će Hillary Clinton podsjećati da „Amerika već ima 19000 milijardi dolara duga i da joj ne trebaju bezobzirne, neodgovorne i nekompetentne poslovne prakse koje bi taj dug još povećale“. Trumpov samoizgrađeni mit faraonskog poslovnog uspjeha sigurno će biti poljuljan.
Teže će biti razoriti sliku autsajdera u borbi protiv korumpiranog sustava aristokratske vlasti (koliko god ta slika bila lažna) i to je još uvijek velika Trumpova šansa.
No bez obzira na sve to, jučer sam bio uvjeren u Clintoninu pobjedu. Navijački sam zaboravio sve ono o ćemu sam pisao u ožujku i ostao potpuno iznenađen Trumpovom pobjedom.
Potpuno u skladu s činjenicom da u Hrvatskoj nikada nisam uspio glasati za stranu koja je pobijedila.
P. S.
Kada u sebi stišam navijača to bih zapravo mogao koristiti kao dobru prediktivnu tehniku: onaj za koga sam sigurno gubi.
Problem je jedino da bi ta tehnika mogla biti samouništavajuća. Naime svijest o tome da je moj izbor „antiprediktivan“ mogla bi utjecati na moj izbor i tako ga učiniti „neprediktivnim“.

NAJTEŽI LOGIČKI PROBLEM

R. Smullyan smislio je problem koji je G.Boolos nazvao „najtežim ikad smišljenim logičkim problemom“ :

Suočeni ste s tri osobe.

Jedna od njih uvijek govori istinu, druga uvijek govori neistinu, a iskazi treće osobe su istiniti ili neistiniti s vjerojatnošću 50%.

Smijete im postaviti točno tri pitanja na koje one odgovaraju s DA ili NE i na temelju tih odgovora trebate zaključiti koja je osoba izricatelj istina, koja neistina, a koja to čini slučajno.

Problem je dodatno zakompliciran time što osobe na pitanja odgovaraju sa KU i LO, a vi ne znate koja od tih riječi znači DA, a koja NE.

POJAŠNJENJA:

  1. Svoja tri pitanja možete uputiti kome želite. Na primjer, svakoj osobi možete postaviti po jedno pitanje ili pak jednoj možete postaviti dva, drugoj jedno i trećoj tada ni jedno itd.
  2. Što je vaše drugo pitanje i kome ćete ga uputiti može ovisiti o odgovoru koji ste dobili na prvo pitanje i isto vrijedi za vaše treće pitanje.

UPUTE:

  1. Prvim pitanjem pokušajte otkriti tko ne odgovara slučajno, a sljedeća dva pitanja postavite tom kojeg ste otkrili kao „neslučajnog“.
  2. Pokušajte s pitanjem oblika „Da te pitam … bi li odgovorio …?“

Šah i domino (rješenje)

Možete li domino pločicama prekriti šahovsku ploču kojoj ste odstranili dva dijametralno suprotna kutna polja?

Odgovor je jednostavan. Svaka domino pločica prekriva jedno bijelo i jedno crno polje, što znači da domino pločicama možete prekriti samo ploče s jednakim brojem crnih i bijelih polja. Ako šahovskoj ploči  odstranite dva dijametralno suprotna kutna polja (koja su oba iste boje) preostaje vam ploča koja nema jednaki broj crnih i bijelih polja, pa je ne možete prekriti domino pločicama. Evo i slike (koja vrijedi tisuću riječi  🙂 ).

sah

Možete li domino pločicama prekriti šahovsku ploču kojoj ste odstranili bilo koja dva polja?

Ne možete ako ste odstranili dva polja iste boje (iz već navedenih razloga).

Ako ste odstranili dva polja raznih boja argument o nejednakom broju crnih i bijelih polja više ne možete koristiti za rušenje hipoteze o mogućnosti prekrivanja.

No, to ne znači da ne postoji neki drugi argument za rušenje te hipoteze.

Ipak ne postoji jer je u tom slučaju prekrivanje moguće. Evo i dokaza te činjenice.

Domino pločice nižite krenuvši od prvog polja koje slijedi nakon crnog odstranjenog polja (na slici je to polje A) u smjeru koji vam diktira labirint na slici. Kada dođete do bijelog odstranjenog polja (na slici je to polje B) prekrit ćete sva polja na svom putu od A do B (primijetite da bi vam jedno polje ostalo nepokriveno da je B iste boje kao i A). Zatim preskočite odstranjeno B polje i nastavite pločice nizati prema A. Kada opet dođete do pred početno odstranjeno polja A prekrili ste sva polja na šahovskoj ploči osim polja A i B.

sah-o

Šah i domino

Ako jedna domino pločica prekriva dva šahovska polja onda je očito da s 32 domino pločice možete prekriti cijelu šahovsku ploču.

Možete li domino pločicama prekriti i šahovsku ploču kojoj ste odstranili dva dijametralno suprotna kutna polja?

Razmislite, a možete i eksperimentirati ako su vam pri ruci šah i domino. Točan odgovor na ovo pitanje ima veoma jednostavno obrazloženje.

Pretpostavljam da ga mnogi znaju, jer je riječ o dobro poznatom problemu.

Manje poznat je sljedeći problem.

Možete li domino pločicama prekriti šahovsku ploču kojoj ste odstranili bilo koja dva polja?

Ako je za neka odstranjena polja to moguće, a za neka nije, za koja je moguće a za koja nije?

Razmislite, a možete i eksperimentirati. Točni odgovori opet imaju veoma jednostavna obrazloženja.

Ako ih ne nađete sami (ili ih možda već znate) moći ćete ih pročitati ovdje sljedećeg petka.

Dylan

Blowin’ in the Wind
How many roads must a man walk down
Before you call him a man?
How many seas must a white dove sail
Before she sleeps in the sand?
Yes, and how many times must the cannon balls fly
Before they’re forever banned?

The answer, my friend, is blowin’ in the wind
The answer is blowin’ in the wind.

It’s Alright, Ma (I’m Only Bleeding)
Darkness at the break of noon
Shadows even the silver spoon
The handmade blade, the child’s balloon
Eclipses both the sun and moon
To understand you know too soon
There is no sense in trying.

So don’t fear if you hear
A foreign sound to you ear
It’s alright, Ma, I’m only sighing.

Tangled Up In Blue
Then she opened up a book of poems
And handed it to me
Written by an Italian poet
From the fifteenth century
And every one of them words rang true
And glowed like burning coal
Pouring off of every page
Like it was written in my soul from me to you
Tangled up in blue.

Don’t Think Twice, It’s All Right
And it ain’t no use in turning on your light, babe
The light I never knowed
And it ain’t no use in turning on your light, babe
I’m on the dark side of the road

But I wish there was somethin’ you would do or say
To try and make me change my mind and stay
But we never did too much talking anyway
But don’t think twice, it’s all right.

Workingman’s Blues #2
Now the place is ringed with countless foes
Some of them may be deaf and dumb
No man, no woman knows
The hour that sorrow will come
In the dark I hear the night birds call
I can feel a lover’s breath
I sleep in the kitchen with my feet in the hall
Sleep is like a temporary death

Talkin’ World War III Blues
Some of the people can be all right part of the time
But all of the people can’t be all right all of the time
I think Abraham Lincoln said that
“I’ll let you be in my dreams if I can be in yours”
I said that.

Positively Fourth Street
I wish that for just one time
You could stand inside my shoes
And just for that one moment
I could be you
Yes, I wish that for just one time
You could stand inside my shoes
You’d know what a drag it is
To see you.

Chimes Of Freedom
Far between sundown’s finish an’ midnight’s broken toll
We ducked inside the doorway, thunder crashing
As majestic bells of bolts struck shadows in the sounds
Seeming to be the chimes of freedom flashing

Just Like a Woman
And she takes just like a woman
And she aches just like a woman
And she wakes just like a woman
But she breaks just like a little girl

Mr Tambourine Man
Yes, to dance beneath the diamond sky with one hand waving free,
Silhouetted by the sea, circled by the circus sands,
With all memory and fate driven deep beneath the waves,
Let me forget about today until tomorrow.

One Too Many Mornings
It’s a restless hungry feeling
That don’t mean no one no good
When ev’rything I’m a-sayin’
You can say it just as good
You’re right from your side
I’m right from mine
We’re both just too many mornings
An’ a thousand miles behind.

Love Minus Zero, No Limit
The bridge at midnight trembles
The country doctor rambles
Bankers’ nieces seek perfection
Expecting all the gifts that wise men bring
The wind howls like a hammer
The night wind blows cold n’ rainy
My love, she’s like some raven
At my window with a broken wing

Subterranean Homesick Blues
Better stay away from those
That carry around a fire hose
Keep a clean nose
Wash the plain clothes
You don’t need a weather man
To know which way the wind blows.

The Times They Are a-Changin’
The line it is drawn
The curse it is cast
The slow one now
Will later be fast
As the present now
Will later be past
The order is
Rapidly fadin’
And the first one now
Will later be last
For the times they are a-changin’.

I Forgot More Than You’ll Ever Know

You think you know the smile on her lips
The thrill and the touch of her fingertips
But I forgot more than you’ll ever know about her

Like a Rolling Stone
You used to laugh about
Everybody that was hangin’ out
Now you don’t talk so loud
Now you don’t seem so proud
About having to be scrounging for your next meal.

How does it feel?
How does it feel
To be without a home
Like a complete unknown
Like a rolling stone ?

Lay Lady Lay
Whatever colors you have in your mind
I’ll show them to you and you’ll see them shine.

Melancholy Mood
Melancholy mood forever haunts me
Steals upon me in the night, forever taunts me
Oh, what a lonely soul am I, stranded high and dry
By a melancholy mood

Forever Young
May you grow up to be righteous
May you grow up to be true
May you always know the truth
And see the lights surrounding you
May you always be courageous
Stand upright and be strong
May you stay forever young

Ribićevo pismo Ostojiću

Vilim Ribić, predsjednik Matice hrvatskih sindikata, poslao je Ranku Ostojiću sljedeće otvoreno pismo (s kojim se potpuno slažem)  :

Poštovani gospodine Ostojiću!

U sindikatima ne možemo biti ravnodušni spram događanja u Socijaldemokratskoj partiji barem u onom dijelu koji se tiče pitanja socijalne pravde, socijalnog dijaloga i odnosa sa sindikatima. Pretpostavljam da Vam je, kao nominalnom socijaldemokrati, jasno zašto je to tako.

Obraćam Vam se javno zbog Vaših izjava protekli tjedan povodom najave kandidature za predsjednika SDP-a.

Htio bih Vas upozoriti da nije moguće tvrditi da će pod Vašim vodstvom SDP biti lijeva i socijalno orijentirana stranka, da ćete se vratiti socijalnim pitanjima pa i sindikatima, a istovremeno tvrditi da je Zoran Milanović bio veliki političar, državnik čiju ćete socijaldemokratsku politiku nastaviti. Naime, Zoran Milanović nije bio socijalni demokrata. Sam sebe je nazivao liberalom, kalvinistom, konzervativnom glavom, a u zadnje vrijeme samo što se nije nazvao i hrvatskim nacionalistom.

Unatoč takvog galimatijaša u njegovoj glavi, možda će netko misliti da je bio veliki u realizaciji konkretnih političkih ciljeva. Međutim, gospodine Ostojiću, u funkciji ostvarenja političkog cilja veliki političar okuplja, mobilizira i povezuje sve ljude koji mogu cilju pridonijeti i smanjuje broj onih koji bi mogli odmoći. Zoran Milanović radio je suprotno. Budući da je bauljao u eklekticizmu političkih vrijednosti nemoguće mu je bilo artikulirati velike ciljeve koji odgovaraju nacionalnoj situaciji, nije bio u stanju prebaciti težište društvenih preokupacija na najveće probleme većine hrvatskih ljudi. U okolnostima emocionalnih i socijalnih deficita, izostanku potrebnih socijalnih i ekonomskih znanja, ili, jednostavnije, uslijed nezrelosti za ozbiljnu politiku, lik i djelo Zorana Milanovića postali su politički cilj sami za sebe, i njemu i stranci. Narcisoidno dokazivanje vlastite superiornosti odvijalo se preko leđa običnih ljudi. Svako malo, zajedno s Karamarkom, spuštao je razinu hrvatskog političkog diskursa. A okolina oko njega, koju si je formirao netolerancijom spram drugačijeg mišljenja, održavala ga je devet godina. Ona je postala nalik na njega samoga, ispražnjena od socijaldemokratske dimenzije.

Naštetio je vlastitoj stranci, ali i socijalnoj demokraciji, zbunjujući ljude i birače, kojima nije omogućio jasnu orijentaciju naspram vlastitih interesa i pripadajućih političkih koncepcija.

Sve ljude sklone socijalnoj demokraciji sigurno zanima hoćete li i Vi biti tako veliki političar, ako dobijete izbore, te kao i Milanović pokidati sve komunikacijske kanale u zemlji i stranci, smjenjivati, izbacivati, podcjenjivati, vrijeđati, podmetati, ignorirati…ukratko odbijati umjesto okupljati.

Hoćete li i Vi, baš kao i on, socijalnu pravdu unaprjeđivati politikom smanjenja cijene rada u cijeloj zemlji, voditi ekonomsku politiku stiskanja remena, uslijed toga smanjivati proizvodnju, tako povećati udio javnog duga, siromaštvo i nejednakosti u zemlji.

Gospodin Milanović nije vodio politiku u korist narodne većine, u polit-ekonomskom i socijalno-ekonomskom smislu vodio je politiku neoliberalnih dogmi bezrezervno slušajući zahtjeve eurokrata, a onda na manje važnim pitanjima glumatao nekakav otpor Briselu. Hoćete li i Vi biti tako neovisni?

Milanovićeva politika produljila je krizu, niste se bili u stanju s njome nositi i nanijeli ste neprocjenjive štete stotinama tisuća običnih ljudi. Uzeli ste im najdragocjenije – nadu. Tek je dolaskom Lalovca nastupila pozitivna promjena, ali u Milanovićevoj glavi to nije bilo zbog promjene ideja već zbog nadolazećih izbora.

Socijalnim demokratima stalo je posebno do demokracije. Hoćete li i nju unaprjeđivati kao vaš veliki političar, tako da se protivite referendumima građana? Hoćete li unaprjeđivati moral u politici na način da na vlasti radite sasvim suprotno od onoga što ste zagovarali u oporbi?

Socijalni demokrati staraju o vladavini prava. Hoćete li imati dva mjerila pri tome, jednu za obaveze prema radnim ljudima, a drugu prema krupnim poslodavcima? Hoćete li i dalje zakonima poništavati kolektivne ugovore?

Hoćete li u štrajku podcjenjivati radne ljude koji štrajkaju? Hoćete li im odbijati dnevnice svaki puta osim u štrajku pred izbore?

Najavljujete poboljšanje odnosa sa sindikatima. Hoćete li to raditi potkopavanjem sindikata i zloupotrebom medija koji su vam skloni? Hoćete li i vi kao i on lažima voditi intenzivnu propagandu protiv čestitih sindikalnih organizacija i ljudi u njima? Hoćete li i dalje šutjeti kada se gazi dostojanstvo rada etiketiranjem 300 tisuća ljudi kao parazita i uhljeba?

Gospodine Ostojiću! Odlaskom Karamarka i Milanovića Hrvatska je dobila nadu. Pazite da Vam ta spoznaja ne pobjegne. Nemojte ju vi pozivanjem na Milanovića ponovno oduzeti.

Mislim da ćete se ipak u predstojećim danima morati odlučiti i distancirati ili od socijalne demokracije ili od Milanovića. Jedno s drugim ne ide i to Vam ljudi znaju, čak i u Vašoj stranci.

U Zagrebu, 18. 9. 2016.

 

Gauss i Eulerov identitet

Gaussu, po mnogima najvećem matematičaru svih vremena, pripisuje se sljedeća izjava:

Ako vam Eulerov identitet:

e = -1    tj.    iπ = ln(-1)

nije intuitivno očit nikada nećete postati prvoklasni matematičar.

S druge strane, Eulerov identitet mnogi matematičari, kao i mnogi filozofi matematike, navode kao tipičan primjer matematičke tvrdnje koja je istinita i krajnje neintuitivna.

Naime, -1 pripada aritmetici, (kompleksna jedinica) i pripada algebri, π pripada geometriji, e pripada analizi i pravo je čudo da su sve te discipline ujedinjene ovim identitetom.

Poznati filozof matematike Marc Steiner čak koristi „evidentnu“ neintuitivnost Eulerovog identiteta kao kriterij realiteta broja π.

Matematički objekt je (po Steineru) realan ako:

(1) ima bar dvije potpuno neovisne matematičke definicije,

(2) postoji dokaz da one opisuju isti objekt,

(3) ali ne postoji takav intuitivni (tj. eksplanatorni) dokaz.

Dakle:

(1) π možemo definirati kao poluopseg jediničnog kruga, ali i kao  ln(-1) / i ,

(2) postoje dokazi Eulerovog identiteta (koji dokazuju da se radi o istom objektu π),

(3) ali nijedan od tih dokaza nije intuitivan (tj. eksplanatoran).

Što je onda na umu Gaussu, koji misli da je Eulerov identitet intuitivno jasan i stoga eksplanatoran?

Na umu mu je (u njegovo doba) standardna definicija logaritma:

file-page17

Zatim i  jednostavni izračun integrala koji definira lnZ:

file-page18

Iz kojeg lako slijedi:

file-page19

I sada je potpuno očito da se u oba slučaja radi o poluopsegu jediničnoga kruga.

Sve je intuitivno i eksplanatorno!

Pikettyjevi zakoni kapitalizma

Pikettyjev Kapital u 21.stoljeću napadan je s mnogih strana. Napadi na podatke, koji su najveća vrijednost njegovih istraživanja, pokazali su se promašenima pa je težište napada prebačeno na njihovu interpretaciju i iz njih izvedenu argumentaciju.

Argumentacija proizlazi iz Pikettyjevih temeljnih zakona kapitalizma, a da bismo ih objasnili moramo definirati neke pojmove.

NACIONALNI KAPITAL (poznat i kao nacionalno bogatstvo) je sve što se u zemlji posjeduje, a što ima vrijednost u smislu prodaje ili razmjene i označavat ćemo ga s K.

NACIONALNI PRIHOD je godišnji prihod u zemlji i označavat ćemo ga s P. Sastoji  se od prihoda od rada P1 i prihoda od kapitala P2; dakle P=P1+P2.

OMJER KAPITALA I PRIHODA označava se s β, tj. β = K/P.

PRINOS OD KAPITALA označava se s  r , tj. r = P2/K.

KAPITALNI DIO PRIHODA označava se s α, tj. α = P2/P.

 

1.TEMELJNI ZAKON KAPITALIZMA                  α = rβ

 

Zakon je trivijalna posljedica definicija : r = P2/K = (P2/P)/(K/P) = α/β.

Za formulaciju  2.temeljnog zakona trebamo definirati još dvije veličine.

RAST ŠTEDNJE je godišnje povećanje kapitala u odnosu na prihod koje se označava sa s, tj. s = ∆K/P = (∆K/t∆)/P =K’/P.

GODIŠNJI RAST je godišnje relativno povećanje prihoda koje se označava sa g, tj. g = ∆P/P = (∆P/∆t)/P = P’/P.

(U gornjim formulama je ∆t=1 godina, a  K’ i P’ su derivacija od K i P po vremenu.)

 

2.TEMELJNI ZAKON KAPITALIZMA                  β = s/g

 

Prije nego objasnim zašto vrijedi (tj.kako se izvodi) 2. zakon, objasnit ću kako ga Piketty koristi za obrazloženje rasta od α, tj.rasta prihoda od kapitala u odnosu na prihod od rada.

(Usput, 2. zakon nije Pikettyjev izum. Još prije 2.svjetskog rata formulirali su ga Harrod i Domar.)

Dakle, iz α = βr (1. zakon) slijedi da α raste ako raste β (uz relativno stalni kapitalni prinos r), a povijesna je činjenica da β u razvijenim kapitalističkim zemljama raste već više desetljeća (i to je glavni rezultat istraživanja samog Pikettyja i njegovih suradnika.)

Pikettyjevo objašnjenje zašto β raste temelji se na 2. zakonu. Naime, iz β = s/g slijedi da β raste ako s pada sporije od g i to je Pikettyjevo objašnjenje rasta od β.

Jedno od medijski eksponiranijih opovrgavanja Pikettyja jest ono Smitha i Krusella koji opovrgavaju Pikettyjev argument „da će s i dalje rasti bez obzira što g pada prema nuli“ (a pritom negiraju i temeljni karakter 2. zakona, što je i naslov njihovoga članka).

Od desetak prijatelja i poznanika (koji sigurno nisu pročitali ni Pikettyja ni Smith-Krusella), dobio sam mailove o „konačnom rušenju Pikettyjevog temeljnog zakona pa stoga i čitave njegove teorije“,  što jasno govori o velikom medijskom promoviranju ovoga rezultata.

Smith i Krusell kritiziraju Pikettyjevo stajalište da s raste i kada q pada“ (iz kojega prema 2. zakonu  β = s/g slijedi da β raste ). Pozivaju se pritom na nobelovca Solowa koji je još 50-ih godina tvrdio da kada g pada prema nuli i s pada prema nuli.

Pikettyjev je odgovor gotovo banalan „da bi β = s/g rastao, dovoljno je da s pada sporije od g“ (i apsolutno je nepotrebno da s raste i kada g pada).

No, sve skupa možemo zaista razumjeti tek ako dobro razumijemo 2. zakon.

Dakle, iz β = K/P (što je definicija od β) običnim deriviranjem slijedi:

β’ = (K’P – KP’)/P2 = K’/P – KP’/P2 = s – gK/P = s – gβ

i β je rješenje ove diferencijalne jednadžbe.

Jedino stacionarno rješenje (u kojem se β stabilizira, tj. β’=0) zadovoljava jednadžbu

0 = s – gβ   tj.  β = s/g

i to je 2. zakon.

Piketty u svojoj knjizi jasno upozorava na pretpostavku stacionarnosti tj. da je s/g vrijednost prema kojoj β dugoročno konvergira uz stabilne s i g.

Opće (nestacionarno) rješenje diferencijalne jednadžbe β’ = s – gβ  je

(1)                                                       s – gβ = (s – gβ0)e –gt

odakle slijedi da β konvergira prema s/g  (tj. s – gβ konvergira prema nuli) samo za g>0; tj.  samo za pozitivni rast.

(U slučaju negativnog „rasta“ g<0, β eksponencijalno raste, a u slučaju nultog „rasta“ g=0, β raste linearno jer je tada β’=s.)

Uočite da sve to vrijedi za konstantne (stabilne) s i g , a nas zanima kako se β mijenja kada se s i g mijenjaju.

Analiza koja se koristi stacionarnim zakonom za dinamičke zaključke ima smisla ako o toj dinamici mislimo kao o tranziciji iz stabilnog β = s/g u sljedeći stabilni β + Δβ = (s + Δs)/(g + Δg) (u skladu s prijelaznim zakonom (1) ), pa zatim u sljedeći itd.

Tako rezoniraju ekonomisti. Oni redovito iz matematičkog modela nekog ravnotežnog stanja izvode dinamičke zaključke tako da mijenjaju parametre ravnotežnog stanja, koliko god to bilo matematički upitno (usp. npr. standardnu “statičku”

demand curve

vs. nestandardnu “dinamičku” analizu zakona ponude i potražnje).

Dakle, Pikettyjeva argumentacija je ekononomski standard i Smith-Krusell taj argument ne dovode u pitanje. S druge strane, ono što dovode u pitanje nije utemeljeno.

Što na kraju reći o 2. zakonu?

Za stacionarno stanje on vrijedi i to je matematički lako izvedivo. Za izvođenje zaključka o dinamici parametara β, s i g na temelju 2. zakona nema matematičkih (bar meni vidljivih) argumenata.

(Na primjer, konkretni račun prema tranzicijskom zakonu (1), za β0 = 4, s = 10% i g = 1,5% pokazuje da će proći 100 godina dok β dođe do 6.6±0.05, gdje je 6.6 = 0.1/0.015 sljedeća stacionarna vrijednost.)

Sve u svemu Pikettyjeva argumentacija nije matematička nego znanstvena, što znači da je u krajnjoj liniji empirijsko pitanje (tj. njegova se hipoteza samo empirijski može potvrditi ili oboriti).

Uostalom Piketty svoj rad i vidi kao odmak od apstraktnih matematičkih modela (koji su uglavnom daleko od ekonomske stvarnosti) prema povijesno-ekonomskoj analizi same stvarnosti.