NAJTEŽI LOGIČKI PROBLEM

R. Smullyan smislio je problem koji je G.Boolos nazvao „najtežim ikad smišljenim logičkim problemom“ :

Suočeni ste s tri osobe.

Jedna od njih uvijek govori istinu, druga uvijek govori neistinu, a iskazi treće osobe su istiniti ili neistiniti s vjerojatnošću 50%.

Smijete im postaviti točno tri pitanja na koje one odgovaraju s DA ili NE i na temelju tih odgovora trebate zaključiti koja je osoba izricatelj istina, koja neistina, a koja to čini slučajno.

Problem je dodatno zakompliciran time što osobe na pitanja odgovaraju sa KU i LO, a vi ne znate koja od tih riječi znači DA, a koja NE.

POJAŠNJENJA:

  1. Svoja tri pitanja možete uputiti kome želite. Na primjer, svakoj osobi možete postaviti po jedno pitanje ili pak jednoj možete postaviti dva, drugoj jedno i trećoj tada ni jedno itd.
  2. Što je vaše drugo pitanje i kome ćete ga uputiti može ovisiti o odgovoru koji ste dobili na prvo pitanje i isto vrijedi za vaše treće pitanje.

UPUTE:

  1. Prvim pitanjem pokušajte otkriti tko ne odgovara slučajno, a sljedeća dva pitanja postavite tom kojeg ste otkrili kao „neslučajnog“.
  2. Pokušajte s pitanjem oblika „Da te pitam … bi li odgovorio …?“

Šah i domino (rješenje)

Možete li domino pločicama prekriti šahovsku ploču kojoj ste odstranili dva dijametralno suprotna kutna polja?

Odgovor je jednostavan. Svaka domino pločica prekriva jedno bijelo i jedno crno polje, što znači da domino pločicama možete prekriti samo ploče s jednakim brojem crnih i bijelih polja. Ako šahovskoj ploči  odstranite dva dijametralno suprotna kutna polja (koja su oba iste boje) preostaje vam ploča koja nema jednaki broj crnih i bijelih polja, pa je ne možete prekriti domino pločicama. Evo i slike (koja vrijedi tisuću riječi  🙂 ).

sah

Možete li domino pločicama prekriti šahovsku ploču kojoj ste odstranili bilo koja dva polja?

Ne možete ako ste odstranili dva polja iste boje (iz već navedenih razloga).

Ako ste odstranili dva polja raznih boja argument o nejednakom broju crnih i bijelih polja više ne možete koristiti za rušenje hipoteze o mogućnosti prekrivanja.

No, to ne znači da ne postoji neki drugi argument za rušenje te hipoteze.

Ipak ne postoji jer je u tom slučaju prekrivanje moguće. Evo i dokaza te činjenice.

Domino pločice nižite krenuvši od prvog polja koje slijedi nakon crnog odstranjenog polja (na slici je to polje A) u smjeru koji vam diktira labirint na slici. Kada dođete do bijelog odstranjenog polja (na slici je to polje B) prekrit ćete sva polja na svom putu od A do B (primijetite da bi vam jedno polje ostalo nepokriveno da je B iste boje kao i A). Zatim preskočite odstranjeno B polje i nastavite pločice nizati prema A. Kada opet dođete do pred početno odstranjeno polja A prekrili ste sva polja na šahovskoj ploči osim polja A i B.

sah-o

Šah i domino

Ako jedna domino pločica prekriva dva šahovska polja onda je očito da s 32 domino pločice možete prekriti cijelu šahovsku ploču.

Možete li domino pločicama prekriti i šahovsku ploču kojoj ste odstranili dva dijametralno suprotna kutna polja?

Razmislite, a možete i eksperimentirati ako su vam pri ruci šah i domino. Točan odgovor na ovo pitanje ima veoma jednostavno obrazloženje.

Pretpostavljam da ga mnogi znaju, jer je riječ o dobro poznatom problemu.

Manje poznat je sljedeći problem.

Možete li domino pločicama prekriti šahovsku ploču kojoj ste odstranili bilo koja dva polja?

Ako je za neka odstranjena polja to moguće, a za neka nije, za koja je moguće a za koja nije?

Razmislite, a možete i eksperimentirati. Točni odgovori opet imaju veoma jednostavna obrazloženja.

Ako ih ne nađete sami (ili ih možda već znate) moći ćete ih pročitati ovdje sljedećeg petka.

Dylan

Blowin’ in the Wind
How many roads must a man walk down
Before you call him a man?
How many seas must a white dove sail
Before she sleeps in the sand?
Yes, and how many times must the cannon balls fly
Before they’re forever banned?

The answer, my friend, is blowin’ in the wind
The answer is blowin’ in the wind.

It’s Alright, Ma (I’m Only Bleeding)
Darkness at the break of noon
Shadows even the silver spoon
The handmade blade, the child’s balloon
Eclipses both the sun and moon
To understand you know too soon
There is no sense in trying.

So don’t fear if you hear
A foreign sound to you ear
It’s alright, Ma, I’m only sighing.

Tangled Up In Blue
Then she opened up a book of poems
And handed it to me
Written by an Italian poet
From the fifteenth century
And every one of them words rang true
And glowed like burning coal
Pouring off of every page
Like it was written in my soul from me to you
Tangled up in blue.

Don’t Think Twice, It’s All Right
And it ain’t no use in turning on your light, babe
The light I never knowed
And it ain’t no use in turning on your light, babe
I’m on the dark side of the road

But I wish there was somethin’ you would do or say
To try and make me change my mind and stay
But we never did too much talking anyway
But don’t think twice, it’s all right.

Workingman’s Blues #2
Now the place is ringed with countless foes
Some of them may be deaf and dumb
No man, no woman knows
The hour that sorrow will come
In the dark I hear the night birds call
I can feel a lover’s breath
I sleep in the kitchen with my feet in the hall
Sleep is like a temporary death

Talkin’ World War III Blues
Some of the people can be all right part of the time
But all of the people can’t be all right all of the time
I think Abraham Lincoln said that
“I’ll let you be in my dreams if I can be in yours”
I said that.

Positively Fourth Street
I wish that for just one time
You could stand inside my shoes
And just for that one moment
I could be you
Yes, I wish that for just one time
You could stand inside my shoes
You’d know what a drag it is
To see you.

Chimes Of Freedom
Far between sundown’s finish an’ midnight’s broken toll
We ducked inside the doorway, thunder crashing
As majestic bells of bolts struck shadows in the sounds
Seeming to be the chimes of freedom flashing

Just Like a Woman
And she takes just like a woman
And she aches just like a woman
And she wakes just like a woman
But she breaks just like a little girl

Mr Tambourine Man
Yes, to dance beneath the diamond sky with one hand waving free,
Silhouetted by the sea, circled by the circus sands,
With all memory and fate driven deep beneath the waves,
Let me forget about today until tomorrow.

One Too Many Mornings
It’s a restless hungry feeling
That don’t mean no one no good
When ev’rything I’m a-sayin’
You can say it just as good
You’re right from your side
I’m right from mine
We’re both just too many mornings
An’ a thousand miles behind.

Love Minus Zero, No Limit
The bridge at midnight trembles
The country doctor rambles
Bankers’ nieces seek perfection
Expecting all the gifts that wise men bring
The wind howls like a hammer
The night wind blows cold n’ rainy
My love, she’s like some raven
At my window with a broken wing

Subterranean Homesick Blues
Better stay away from those
That carry around a fire hose
Keep a clean nose
Wash the plain clothes
You don’t need a weather man
To know which way the wind blows.

The Times They Are a-Changin’
The line it is drawn
The curse it is cast
The slow one now
Will later be fast
As the present now
Will later be past
The order is
Rapidly fadin’
And the first one now
Will later be last
For the times they are a-changin’.

I Forgot More Than You’ll Ever Know

You think you know the smile on her lips
The thrill and the touch of her fingertips
But I forgot more than you’ll ever know about her

Like a Rolling Stone
You used to laugh about
Everybody that was hangin’ out
Now you don’t talk so loud
Now you don’t seem so proud
About having to be scrounging for your next meal.

How does it feel?
How does it feel
To be without a home
Like a complete unknown
Like a rolling stone ?

Lay Lady Lay
Whatever colors you have in your mind
I’ll show them to you and you’ll see them shine.

Melancholy Mood
Melancholy mood forever haunts me
Steals upon me in the night, forever taunts me
Oh, what a lonely soul am I, stranded high and dry
By a melancholy mood

Forever Young
May you grow up to be righteous
May you grow up to be true
May you always know the truth
And see the lights surrounding you
May you always be courageous
Stand upright and be strong
May you stay forever young

Ribićevo pismo Ostojiću

Vilim Ribić, predsjednik Matice hrvatskih sindikata, poslao je Ranku Ostojiću sljedeće otvoreno pismo (s kojim se potpuno slažem)  :

Poštovani gospodine Ostojiću!

U sindikatima ne možemo biti ravnodušni spram događanja u Socijaldemokratskoj partiji barem u onom dijelu koji se tiče pitanja socijalne pravde, socijalnog dijaloga i odnosa sa sindikatima. Pretpostavljam da Vam je, kao nominalnom socijaldemokrati, jasno zašto je to tako.

Obraćam Vam se javno zbog Vaših izjava protekli tjedan povodom najave kandidature za predsjednika SDP-a.

Htio bih Vas upozoriti da nije moguće tvrditi da će pod Vašim vodstvom SDP biti lijeva i socijalno orijentirana stranka, da ćete se vratiti socijalnim pitanjima pa i sindikatima, a istovremeno tvrditi da je Zoran Milanović bio veliki političar, državnik čiju ćete socijaldemokratsku politiku nastaviti. Naime, Zoran Milanović nije bio socijalni demokrata. Sam sebe je nazivao liberalom, kalvinistom, konzervativnom glavom, a u zadnje vrijeme samo što se nije nazvao i hrvatskim nacionalistom.

Unatoč takvog galimatijaša u njegovoj glavi, možda će netko misliti da je bio veliki u realizaciji konkretnih političkih ciljeva. Međutim, gospodine Ostojiću, u funkciji ostvarenja političkog cilja veliki političar okuplja, mobilizira i povezuje sve ljude koji mogu cilju pridonijeti i smanjuje broj onih koji bi mogli odmoći. Zoran Milanović radio je suprotno. Budući da je bauljao u eklekticizmu političkih vrijednosti nemoguće mu je bilo artikulirati velike ciljeve koji odgovaraju nacionalnoj situaciji, nije bio u stanju prebaciti težište društvenih preokupacija na najveće probleme većine hrvatskih ljudi. U okolnostima emocionalnih i socijalnih deficita, izostanku potrebnih socijalnih i ekonomskih znanja, ili, jednostavnije, uslijed nezrelosti za ozbiljnu politiku, lik i djelo Zorana Milanovića postali su politički cilj sami za sebe, i njemu i stranci. Narcisoidno dokazivanje vlastite superiornosti odvijalo se preko leđa običnih ljudi. Svako malo, zajedno s Karamarkom, spuštao je razinu hrvatskog političkog diskursa. A okolina oko njega, koju si je formirao netolerancijom spram drugačijeg mišljenja, održavala ga je devet godina. Ona je postala nalik na njega samoga, ispražnjena od socijaldemokratske dimenzije.

Naštetio je vlastitoj stranci, ali i socijalnoj demokraciji, zbunjujući ljude i birače, kojima nije omogućio jasnu orijentaciju naspram vlastitih interesa i pripadajućih političkih koncepcija.

Sve ljude sklone socijalnoj demokraciji sigurno zanima hoćete li i Vi biti tako veliki političar, ako dobijete izbore, te kao i Milanović pokidati sve komunikacijske kanale u zemlji i stranci, smjenjivati, izbacivati, podcjenjivati, vrijeđati, podmetati, ignorirati…ukratko odbijati umjesto okupljati.

Hoćete li i Vi, baš kao i on, socijalnu pravdu unaprjeđivati politikom smanjenja cijene rada u cijeloj zemlji, voditi ekonomsku politiku stiskanja remena, uslijed toga smanjivati proizvodnju, tako povećati udio javnog duga, siromaštvo i nejednakosti u zemlji.

Gospodin Milanović nije vodio politiku u korist narodne većine, u polit-ekonomskom i socijalno-ekonomskom smislu vodio je politiku neoliberalnih dogmi bezrezervno slušajući zahtjeve eurokrata, a onda na manje važnim pitanjima glumatao nekakav otpor Briselu. Hoćete li i Vi biti tako neovisni?

Milanovićeva politika produljila je krizu, niste se bili u stanju s njome nositi i nanijeli ste neprocjenjive štete stotinama tisuća običnih ljudi. Uzeli ste im najdragocjenije – nadu. Tek je dolaskom Lalovca nastupila pozitivna promjena, ali u Milanovićevoj glavi to nije bilo zbog promjene ideja već zbog nadolazećih izbora.

Socijalnim demokratima stalo je posebno do demokracije. Hoćete li i nju unaprjeđivati kao vaš veliki političar, tako da se protivite referendumima građana? Hoćete li unaprjeđivati moral u politici na način da na vlasti radite sasvim suprotno od onoga što ste zagovarali u oporbi?

Socijalni demokrati staraju o vladavini prava. Hoćete li imati dva mjerila pri tome, jednu za obaveze prema radnim ljudima, a drugu prema krupnim poslodavcima? Hoćete li i dalje zakonima poništavati kolektivne ugovore?

Hoćete li u štrajku podcjenjivati radne ljude koji štrajkaju? Hoćete li im odbijati dnevnice svaki puta osim u štrajku pred izbore?

Najavljujete poboljšanje odnosa sa sindikatima. Hoćete li to raditi potkopavanjem sindikata i zloupotrebom medija koji su vam skloni? Hoćete li i vi kao i on lažima voditi intenzivnu propagandu protiv čestitih sindikalnih organizacija i ljudi u njima? Hoćete li i dalje šutjeti kada se gazi dostojanstvo rada etiketiranjem 300 tisuća ljudi kao parazita i uhljeba?

Gospodine Ostojiću! Odlaskom Karamarka i Milanovića Hrvatska je dobila nadu. Pazite da Vam ta spoznaja ne pobjegne. Nemojte ju vi pozivanjem na Milanovića ponovno oduzeti.

Mislim da ćete se ipak u predstojećim danima morati odlučiti i distancirati ili od socijalne demokracije ili od Milanovića. Jedno s drugim ne ide i to Vam ljudi znaju, čak i u Vašoj stranci.

U Zagrebu, 18. 9. 2016.

 

Gauss i Eulerov identitet

Gaussu, po mnogima najvećem matematičaru svih vremena, pripisuje se sljedeća izjava:

Ako vam Eulerov identitet:

e = -1    tj.    iπ = ln(-1)

nije intuitivno očit nikada nećete postati prvoklasni matematičar.

S druge strane, Eulerov identitet mnogi matematičari, kao i mnogi filozofi matematike, navode kao tipičan primjer matematičke tvrdnje koja je istinita i krajnje neintuitivna.

Naime, -1 pripada aritmetici, (kompleksna jedinica) i pripada algebri, π pripada geometriji, e pripada analizi i pravo je čudo da su sve te discipline ujedinjene ovim identitetom.

Poznati filozof matematike Marc Steiner čak koristi „evidentnu“ neintuitivnost Eulerovog identiteta kao kriterij realiteta broja π.

Matematički objekt je (po Steineru) realan ako:

(1) ima bar dvije potpuno neovisne matematičke definicije,

(2) postoji dokaz da one opisuju isti objekt,

(3) ali ne postoji takav intuitivni (tj. eksplanatorni) dokaz.

Dakle:

(1) π možemo definirati kao poluopseg jediničnog kruga, ali i kao  ln(-1) / i ,

(2) postoje dokazi Eulerovog identiteta (koji dokazuju da se radi o istom objektu π),

(3) ali nijedan od tih dokaza nije intuitivan (tj. eksplanatoran).

Što je onda na umu Gaussu, koji misli da je Eulerov identitet intuitivno jasan i stoga eksplanatoran?

Prije svega, u njegovo doba standardnu definicija logaritma:

file-page17

Zatim i  jednostavni izračun integrala koji definira lnZ:

file-page18

Iz kojeg lako slijedi:

file-page19

I sada je potpuno očito da se u oba slučaja radi o poluopsegu jediničnoga kruga.

Sve je intuitivno i eksplanatorno!

Pikettyjevi zakoni kapitalizma

Pikettyjev Kapital u 21.stoljeću napadan je s mnogih strana. Napadi na podatke, koji su najveća vrijednost njegovih istraživanja, pokazali su se promašenima pa je težište napada prebačeno na njihovu interpretaciju i iz njih izvedenu argumentaciju.

Argumentacija proizlazi iz Pikettyjevih temeljnih zakona kapitalizma, a da bismo ih objasnili moramo definirati neke pojmove.

NACIONALNI KAPITAL (poznat i kao nacionalno bogatstvo) je sve što se u zemlji posjeduje, a što ima vrijednost u smislu prodaje ili razmjene i označavat ćemo ga s K.

NACIONALNI PRIHOD je godišnji prihod u zemlji i označavat ćemo ga s P. Sastoji  se od prihoda od rada P1 i prihoda od kapitala P2; dakle P=P1+P2.

OMJER KAPITALA I PRIHODA označava se s β, tj. β = K/P.

PRINOS OD KAPITALA označava se s  r , tj. r = P2/K.

KAPITALNI DIO PRIHODA označava se s α, tj. α = P2/P.

 

1.TEMELJNI ZAKON KAPITALIZMA                  α = rβ

 

Zakon je trivijalna posljedica definicija : r = P2/K = (P2/P)/(K/P) = α/β.

Za formulaciju  2.temeljnog zakona trebamo definirati još dvije veličine.

RAST ŠTEDNJE je godišnje povećanje kapitala u odnosu na prihod koje se označava sa s, tj. s = ∆K/P = (∆K/t∆)/P =K’/P.

GODIŠNJI RAST je godišnje relativno povećanje prihoda koje se označava sa g, tj. g = ∆P/P = (∆P/∆t)/P = P’/P.

(U gornjim formulama je ∆t=1 godina, a  K’ i P’ su derivacija od K i P po vremenu.)

 

2.TEMELJNI ZAKON KAPITALIZMA                  β = s/g

 

Prije nego objasnim zašto vrijedi (tj.kako se izvodi) 2. zakon, objasnit ću kako ga Piketty koristi za obrazloženje rasta od α, tj.rasta prihoda od kapitala u odnosu na prihod od rada.

(Usput, 2. zakon nije Pikettyjev izum. Još prije 2.svjetskog rata formulirali su ga Harrod i Domar.)

Dakle, iz α = βr (1. zakon) slijedi da α raste ako raste β (uz relativno stalni kapitalni prinos r), a povijesna je činjenica da β u razvijenim kapitalističkim zemljama raste već više desetljeća (i to je glavni rezultat istraživanja samog Pikettyja i njegovih suradnika.)

Pikettyjevo objašnjenje zašto β raste temelji se na 2. zakonu. Naime, iz β = s/g slijedi da β raste ako s pada sporije od g i to je Pikettyjevo objašnjenje rasta od β.

Jedno od medijski eksponiranijih opovrgavanja Pikettyja jest ono Smitha i Krusella koji opovrgavaju Pikettyjev argument „da će s i dalje rasti bez obzira što g pada prema nuli“ (a pritom negiraju i temeljni karakter 2. zakona, što je i naslov njihovoga članka).

Od desetak prijatelja i poznanika (koji sigurno nisu pročitali ni Pikettyja ni Smith-Krusella), dobio sam mailove o „konačnom rušenju Pikettyjevog temeljnog zakona pa stoga i čitave njegove teorije“,  što jasno govori o velikom medijskom promoviranju ovoga rezultata.

Smith i Krusell kritiziraju Pikettyjevo stajalište da s raste i kada q pada“ (iz kojega prema 2. zakonu  β = s/g slijedi da β raste ). Pozivaju se pritom na nobelovca Solowa koji je još 50-ih godina tvrdio da kada g pada prema nuli i s pada prema nuli.

Pikettyjev je odgovor gotovo banalan „da bi β = s/g rastao, dovoljno je da s pada sporije od g“ (i apsolutno je nepotrebno da s raste i kada g pada).

No, sve skupa možemo zaista razumjeti tek ako dobro razumijemo 2. zakon.

Dakle, iz β = K/P (što je definicija od β) običnim deriviranjem slijedi:

β’ = (K’P – KP’)/P2 = K’/P – KP’/P2 = s – gK/P = s – gβ

i β je rješenje ove diferencijalne jednadžbe.

Jedino stacionarno rješenje (u kojem se β stabilizira, tj. β’=0) zadovoljava jednadžbu

0 = s – gβ   tj.  β = s/g

i to je 2. zakon.

Piketty u svojoj knjizi jasno upozorava na pretpostavku stacionarnosti tj. da je s/g vrijednost prema kojoj β dugoročno konvergira uz stabilne s i g.

Opće (nestacionarno) rješenje diferencijalne jednadžbe β’ = s – gβ  je

(1)                                                       s – gβ = (s – gβ0)e –gt

odakle slijedi da β konvergira prema s/g  (tj. s – gβ konvergira prema nuli) samo za g>0; tj.  samo za pozitivni rast.

(U slučaju negativnog „rasta“ g<0, β eksponencijalno raste, a u slučaju nultog „rasta“ g=0, β raste linearno jer je tada β’=s.)

Uočite da sve to vrijedi za konstantne (stabilne) s i g , a nas zanima kako se β mijenja kada se s i g mijenjaju.

Analiza koja se koristi stacionarnim zakonom za dinamičke zaključke ima smisla ako o toj dinamici mislimo kao o tranziciji iz stabilnog β = s/g u sljedeći stabilni β + Δβ = (s + Δs)/(g + Δg) (u skladu s prijelaznim zakonom (1) ), pa zatim u sljedeći itd.

Tako rezoniraju ekonomisti. Oni redovito iz matematičkog modela nekog ravnotežnog stanja izvode dinamičke zaključke tako da mijenjaju parametre ravnotežnog stanja, koliko god to bilo matematički upitno (usp. npr. standardnu “statičku”

demand curve

vs. nestandardnu “dinamičku” analizu zakona ponude i potražnje).

Dakle, Pikettyjeva argumentacija je ekononomski standard i Smith-Krusell taj argument ne dovode u pitanje. S druge strane, ono što dovode u pitanje nije utemeljeno.

Što na kraju reći o 2. zakonu?

Za stacionarno stanje on vrijedi i to je matematički lako izvedivo. Za izvođenje zaključka o dinamici parametara β, s i g na temelju 2. zakona nema matematičkih (bar meni vidljivih) argumenata.

(Na primjer, konkretni račun prema tranzicijskom zakonu (1), za β0 = 4, s = 10% i g = 1,5% pokazuje da će proći 100 godina dok β dođe do 6.6±0.05, gdje je 6.6 = 0.1/0.015 sljedeća stacionarna vrijednost.)

Sve u svemu Pikettyjeva argumentacija nije matematička nego znanstvena, što znači da je u krajnjoj liniji empirijsko pitanje (tj. njegova se hipoteza samo empirijski može potvrditi ili oboriti).

Uostalom Piketty svoj rad i vidi kao odmak od apstraktnih matematičkih modela (koji su uglavnom daleko od ekonomske stvarnosti) prema povijesno-ekonomskoj analizi same stvarnosti.

Taxi broj 1729

Slavnog indijskog matematičara Ramanujana 1917. godine u bolnici je posjetio jednako slavni matematičar i dobar prijatelj Hardy. Neugodnu poćetnu tišinu Hardy je razbio riječima:

„Dovezao me taxi broj 1729. Čini se prilično dosadan broj.“

taxi_cab

„Ne Hardy, 1729 je očaravajuć broj. To je najmanji broj koji se na dva načina može prikazati kao zbroj dvaju kubova.“

Taj Ramanujanov odgovor često se navodi kao primjer matematičke genijalnosti.

Takav trenutni uvid u netrivijalno svojstvo slučajno odabranog broja čini se ljudski nemogućim. No, razmislimo li malo o tome vidjet ćemo da tu nema nikakvog čuda.

Razmišljajući već desetljećima o brojevima Ramanujan je sigurno odavno memorirao listu poćetnih kubova (kao što mnogi od nas iz škole pamte listu poćetnih kvadrata 1, 4, 16, 25, …):

1³ = 1×1×1 = 1

2³ = 2×2×2 = 8

3³ = 3×3×3 = 27

4³ = 4×4×4 = 64

5³ = 5×5×5 = 125

6³ = 6×6×6 = 216

7³ = 7×7×7 = 343

8³ = 8×8×8 = 512

9³ = 9×9×9 = 729

10³ = 10×10×10 = 1000

11³ = 11×11×11 = 1331

12³ = 12×12×12 = 1728

Ako vam je ta lista „u glavi“ odmah ćete uočiti da je

1728 + 1 = 1729   tj.   1729 = 12³ + 1³

te da je

1000 + 729 = 1729   tj.   1729 = 10³ + 9³

Da je to najmanji takav broj možete  zaključiti tako da provjerite da nijedna druga dva broja iz gornje liste nisu jednaka zbroju neka druga dva broja iz te liste (možda će vam trebati koja minuta, ipak niste Ramanujan).

Nemate li „u glavi“ listu kubova kao Ramanujan i numerolozi svih mogućih vrsta, „čaroliju broja1729“ mogli biste otkriti i ovim jednostavnim argumentom (i to je ono što bi učinio prosječni matematičar):

1729 = 1000 + (810-81) = 10³ + 81×(10-1) =

10³ + 9²×9 = 10³ + 9³ =

(1 + 9)³ + 9³ = 1 + 3×9 + 3×9² + 9³ + 9³ =

1 + (3³ + 3×3²×9 + 3×3×9² + 9³) =

1 + (3 + 9)³ = 1³ + 12³ 

Naravno, trebate uočiti da je 729 + 81 = 810 i sjetiti se srednjoškolskog identiteta:

(a + b)³  = a³ + 3×a²×b + 3×a×b² + b³.

Čarolija ove anegdote potpuno se rasplinjava kada saznamo da je ovaj račun posthumno nađen u Ramanujanovim bilježnicama iz njegove indijske mladosti.

Nije to bio račun trenutno izveden u bolesničkoj postelji nego aritmetička činjenica koju je Ramanujan odavno znao i naprosto je se sjetio potaknut Hardyjevom opaskom.

Znači li to da bismo svi mi uz adekvatan trening mogli biti Ramanujani?

Vjerojatno ne, ali to zvuči manje apsurdno ako se sjetimo da danas svaki gimnazijalac zna više matematike nego matematički eksperti srednjega vijeka.

 

Privatna panaceja

Uvriježeno je mišljenje da su radnici u javnom sektoru u mnogo boljem položaju od onih u privatnom.

Njihova radna mjesta su sigurnija, manje rade i bolje su plaćeni. Potvrdilo je to i istraživanje Ekonomskog instituta u Zagrebu iz 2014. prema kojem je prosječna neto plaća u javnom sektoru čak 25% veća nego u privatnom.

Osim toga, javnih uhljeba ima previše i doprinositelji iz privatnog sektora više ne mogu uzdržavati te mnogobrojne i skupe trošitelje.

Omjer je nevjerojatan. „Na svakog radnika u privatnom sektoru dolaze trojica iz javnog“, kako je otkrio Jutarnji list 27. 2. 2014. pod naslovom Najnovije istraživanje Jutarnjeg lista.

Tu tvrdnju mnogi uporno ponavljaju (vjerojatno i ne znajući njen izvor).

No, važno je znati i neke činjenice.

U analizi Ekonomskog instituta postoji razlika između „neprilagođene“ i „prilagođene“ razlike u plaćama. Neprilagođena ne uzima u obzir obrazovnu strukturu radnika ni vrste njihovih radnih mjesta i ta je neprilagođena razlika zaista 25%.

Tih 25% je jedino što ste mogli naći u medijima i stoga se jedino to pamti.

Prilagođena razlika u plaćama, koja uzima u obzir obrazovnu strukturu, iskustvo i druge karakteristike radnika, pokazuje da su 2012. neto plaće u javnom sektoru bile 5% veće od onih u privatnom.

Dapače, ta se razlika godinama smanjuje, tako da je 2004. iznosila 10%, 2008. je bila 6%, a 2012. (od kada su zadnji podaci iz istraživanja) pala je na 5%. S obzirom na politiku rezanja u zadnje 4 godine, danas je taj postotak vjerojatno manji.

Osim toga, analiza Ekonomskog instituta temeljila se na anketnim podacima, a ne na administrativnim podacima, npr. onima Porezne uprave. I sam dr. Nestić, voditelj istraživanja, vjeruje “da u anketi nisu evidentirane najveće plaće, najčešće one iz privatnog sektora”.

(U Ekonomskom Institutu su u daljnjim istraživanjima planirali analizirati i administrativne podatke, te ih usporediti s podacima dobivenim putem ankete. Ne znam je li taj plan ikada ostvaren.)

Što se tiče ogromnog broja javnih uhljeba, koji je potvrdilo „istraživanje“ Jutarnjeg lista, nalaz Ekonomskog instituta je: 24,1% u 2004., 22,3% u 2008. i 23,7% u 2012. U privatnom sektoru postoci su: 50,8% u 2004., 57,7% u 2008. i 56.8% u 2012.

Dakle, prema zadnjim podacima imali smo 23,7% radnika u javnom i njih 56,8% u privatnom sektoru. To znači da na 1 radnika u privatnom sektoru ne dolaze 3 Jutarnja nego 0,42 stvarna radnika u javnom sektoru.

„Istraživanje“ Jutarnjeg promašilo je više od 7 puta. Nekako mi se čini da i nije bilo istraživanja.

Možda su u Jutarnjem mislili da firme koje su u djelomičnom ili potpunom državnom vlasništvu spadaju u javni sektor? To nitko nigdje ne smatra, pa tako ni Ekonomski institut u svojem istraživanju.

Prema nalazu Ekonomskog instituta riječ je o 25,1% radnika u 2004., 20,0% u 2008. i 19,6% u 2008 (što je smanjenje od 22% u 8 godina).

Ako i te radnike proglasimo „javnima“, u skladu s Jutarnjim razumijevanjem „javnoga“, opet ne dolazimo do 3 Jutarnja nego do svega 0.76 „javnih“ parazita na 1 privatnog kontributora.

Promašaj za gotovo 4 puta. I dalje mi se čini da nije bilo istraživanja.

Ovakvom propagandom naši su mediji, uz svesrdnu pomoć političara, uspjeli u glave naših građana duboko usaditi ideju da su radnici privatnog sektora (i pogotovo njihovi poslodavci) stvaratelji i doprinositelji, dok su radnici javnog sektora (i pogotovo njihovi poslodavci) trošitelji i nametnici.

Mnogi moji poznanici, čak i prijatelji, često mi se hvale da „nikada nisu bili na državnim jaslama i tuđoj grbači“ nego „su sami zaradili sve što imaju“ i dosta „im je financiranja tih državnih jasli“. Iskreno su uvjereni da oni financiraju javni sektor.

Kada ih upitam misle li uistinu da je npr. proizvođač  ili prodavač čarobnih magnetskih pločica protiv migrene automatski stvaratelj i doprinositelj (samo zato jer je privatnik), dok je neurolog s Rebra automatski trošitelj i nametnik (samo zato jer je na državnim jaslama), malo se zbune i kažu da nisu mislili na liječnike i naravno učitelje (ipak razgovaraju s učiteljem 🙂 ).

Ubrzo odustaju i od policajaca, vojnika, … ali na kraju ipak nisu uvjereni. Ideja je preduboko usađena.

Ne uspijeva ni argument da u mrskom socijalizmu sitni obrnici (tada jedini privatnici) valjda nisu financirali svo preostalo stanovništvo. Naime, to mračno razdoblje nije argument ni za što.

Katkada pomislim da bi jedina uspješna argumentacija bila da se na 10 godina sve privatizira (zdravstvo, školstvo, policija, vojska, sudstvo, mirovine, itd.) pa da nakon tih 10 godina građani odluče jesu li još uvijek za tu panaceju (no bojim se da bi došlo do oružanih sukoba prije isteka tih 10 godina).

P.S.

Ukoliko je nekom promaklo 🙂 , ovdje se nisam bavio ozbiljnim ekonomskim i političkim aspektima javnog i privatnog (koji su složeni i izuzetno važni) nego tek banalno stupidnom idejom da javni sektor parazitira na privatnom.

Gotovo mi je neugodno da polemiziram s idejom za koju će mnogi reći da je nitko razuman ne zastupa. Nažalost moje je iskustvo da je ona duboko usađena i u mnoge inače veoma razumne glave.

Kada se ideja jasno eksplicira te je glave razumno odbace, ali ona i dalje implicitno formira mnoge njihove stavove.

Ta je ideja poput religije čije eksplicitne dogme razumno odbacujete, ali ona i dalje implicitno formira mnoge vaše stavove.

Istinite laži

Neke tvrdnje prenose lažnu poruku iako su istinite. Mogli bismo ih zvati istinitim lažima.

Pojasnit ću to na jednostavnom matematičkom primjeru.

Krumpir sadrži 99% vode. Da biste ga isušili toliko da mu udio vode padne na 98%, za koliko mu morate smanjiti ukupnu masu?

Istinit i veoma neintuitivan odgovor je da mu ukupnu masu morate smanjiti za 50%.

Kako je to moguće?

Matematički argument je jednostavan:

Ako u kilogramu krumpira imate 99 dkg vode i 1 dkg suhe tvari onda morate ispariti 50 dkg vode da bi vam ostalo 49 dkg vode i 1 dkg suhe tvari, što je traženih 98% vode i 2% suhe tvari.

Možda ćete to lakše razumijeti ako o 99 dkg vode i 1 dkg suhe tvari mislite kao o 99 zrna graška i 1 kamenčiću.

Redom počnite uklanjati zrna graška dok ne dođete do željenih 98%.

Kada uklonite 25 zrna imat ćete 74 zrna graška i 1 kamenčić. Koliki je to udio zrna?

74/75 = 0,987 = 98,7%. Nedovoljno, morate nastaviti s uklanjanjem zrna.

Kada uklonite 50 zrna imat ćete 49 zrna graška i 1 kamenčić. Koliki je to udio zrna?

49/50 = 0,98 = 98%. To je to!

Morate ukloniti 50 zrna, tj. 50% ukupne mase.

(Kada uklonite 98 zrna, tj. 98% svih sastojaka, imat ćete 1 zrno i 1 kamenčić i udio zrna će tada biti 50%. Dakle, želite li udio vode u krumpiru svesti na 50% masu mu morate smanjiti za 98%. Naravno, želite li udio vode u krumpiru svesti na 0% masu mu morate smanjiti za 99%.)

Sve je intuitivnije ako razmišljate „u suprotnom smjeru“.

Zamislite da imate 49 zrna i 1 kamenčić. Dakle, udio zrna je 98%. Što će se desiti ako dodate 50 zrna, tj. udvostručite „masu“?

Bez ikakvog računjanja znate da će se udio zrna povećati, što znači da će biti između 98% i 100% , tj. cca. 99%.

No, ako porast od 98% do cca. 99% zahtijeva udvostručenje mase onda pad od cca. 99% na 98% zahtijeva prepolavljanje mase.

Neintuitivno je to što „malenom“ pomaku od 99% do 98% udjela vode odgovara „veliki“ pomak od 100% do 50% ukupne mase.

Ali, taj „maleni“ pomak za koncentraciju vode „veliki“ je pomak za koncentraciju suhe tvari. Ona se mora udvostručiti (porasti s 1% na 2%).

Budući da je količina suhe tvari fiksna, koncentracija se može udvostručiti samo tako da se ukupna količina prepolovi.

U kojoj je to vezi s istinitim lažima s počeka posta? Gdje je tu istina koja zapravo prenosi lažnu poruku?

Ako netko želi prikriti istinu da će se krumpir prepoloviti, može istinito reči da će mu se koncentracija vode smanjiti za zanemarivih 1%. Tako će uistinu veliku promjenu lažno prikazati kao gotovo zanemarivu i to je primjer istinite laži.

Različite formulacije istoga problema rješenje čine manje ili više očitim; katkada očito “istinitim” i očito “lažnim”. Zato je sposobnost preformulacije, koju posebno razvija matematika, ključna za razotkrivanje onih koji istinu sakrivaju načinom njene formulacije.

U doba sveprisutnih propagandnih, političkih i inih laži ta je sposobnost prevažna.

P. S.

Dodajmo na kraju da je udio vode u krumpiru zapravo 80%, pa njegovo isušivanje do udjela vode od 79%  (tj. smanjenje udjela za 1%) zahtijeva smanjenje njegove ukupne mase za samo 5%. Metodu već znate:

Sada o 80 dkg vode i 20 dkg suhe tvari mislite kao o 80 zrna graška i 20 kamenčića.

Redom počnite uklanjati zrna graška dok ne dođete do željenih 79%.

Kada uklonite 5 zrna imat ćete 75 zrna graška i 20 kamenčića. Koliki je to udio zrna?

75/95 = 0,79 = 79%. To je to!

Morate ukloniti 5 zrna, tj. 5% ukupne mase.