Što je vjerojatnost (1)

1. Klasična vjerojatnost

Elementarni uvodi u teoriju vjerojatnosti najčešće se temelje na dva pojma vjerojatnosti, klasičnom  i frekvencijskom. Postoji i treći bejesovski pojam vjerojatnosti, koji vjerojatnost drži „stupnjem plauzibilnosti“ i koji može biti subjektivan ili objektivan. To je najobuhvatniji i najprimjenljiviji, ali i najsloženiji pojam. Počinjemo s klasičnim pojmom.

Za razumijevanje ovoga pojma bitan je pojam slučajnog pokusa (zovemo ga slučajnim zato što je njegov ishod slučajan, a ne zato što je sam pokus slučajan). Na primjer, bacanje igraće kocke smatra se slučajnim pokusom. Svaki mogući ishod bacanja zove se elementarnim događajem toga slučajnog pokusa. Skup svih elementarnih događaja slučajnoga pokusa zove se prostorom elementarnih događajai obično se označava s Ω. Dakle, slučajni pokus bacanja igrače kocke ima 6 elementarnih događaja, tj.

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Bilo koji skup elementarnih događaja, tj. bilo koji podskup od Ω, predstavlja slučajni događaj. Na primjer, slučajni događaj „bačen je neparan broj“ i slučajni događaj „bačen je broj manji od 5“ predstavljeni su skupovima:

N = {1, 3, 5}       i       M = {1, 2, 3, 4}.

Klasičnu vjerojatnost slučajnih događaja definiramo na sljedeći način.

Ako slučajni pokus ima konačno mnogo elementarnih događaja i ako iz simetričnosti pokusa možemo zaključiti da su svi oni jednako vjerojatni, onda je vjerojatnost događaja A jednaka  omjeru broja elementarnih događaja u kojima se dogodio A i broja svih mogućih elementarnih događaja (u donjim formulama broj elemenata u skupu S označen je s k(S)):

Pr (A) = k (A) / k (Ω).

U našem primjeru, Pr (N) = k (N) / k (Ω ) = 3/6 = 0.5 i Pr (M) = k (M) / k (Ω ) = 4/6 = 0.66666 … .

Prednost ove definicije je što ona dokaze glavnih svojstava vjerojatnosti (tzv. aksioma vjerojatnosti) čini vrlo lakima. Naime, očito vrijedi:

              

            

Naravno, (1) – (4) su standardni aksiomi vjerojatnosti (Pr(B|A) je vjerojatnost događaja B pod uvjetom da se dogodio A).

Neobično je koliko se probabilističkih problema može riješiti primjenom ovih jednostavnih ideja. Razmotrimo poznati problem rođendana: Kolika je vjerojatnost da najmanje dvije osobe u skupini od N osoba imaju isti rođendan (zanemarujući prijestupne godine i pretpostavljajući da su datumi rođenja jednako vjerojatni, a rođendani pojedinaca neovisni) ? Ako još niste vidjeli rješenje tog problema, rezultat je iznenađujući.

Najprije izračunajmo vjerojatnost da sve te osobe imaju međusobno različite rođendane. Rođendan prve od N osoba može biti bilo koji od 365 dana. Drugi mora biti različit, pa zato može biti bilo koji od preostala 364 dana. Treći može biti bilo koji od preostala 363 dana, itd. do preostalih 365 – (N – 1) dana. Dakle, ukupni broj načina na koji se mogu realizirati rođendani N osoba, tako da svi budu međusobno različiti, je

365 × 364 × 363 × 362× … × (365-N+1).

S druge strane, ukupni broj načina na koji se mogu realizirati svi mogući rođendani N osoba je

365 × 365 × 365 × 365×  … × 365 = 365^N.

Dakle, vjerojatnost da svi rođendani budu međusobno različiti iznosi

Komplementarna vjerojatnost,

je vjerojatnost da u skupini od  N  osoba postoji bar jedna podudarnost rođendana. U sljedećoj tablici izračunati su iznosi te vjerojatnosti P_N za neke vrijednosti N (kako se ti iznosi mogu izračunati jednostavno, bez glomaznih množenja i dijeljenja vidi u Šikić 2005.).

N	5	10	20	23	30	40	60
PN	0.027	0.117	0.411	0.507	0.706	0.891	0.994

Vidimo da je vjerojatnost bar dva podudarna rođendana veća od 50% već u skupini od 23 osobe, a u skupini od 60 osoba skoro je sigurna.

Postoji mnogo varijacija na ovu temu i najčešće se koriste za analizu iznenađujućih koincidencija. Na primjer, moguće je na sličan način dokazati da je velika vjerojatnost da u Hrvatskoj postoje dvije osobe koje imaju isti rođendan, čiji očevi imaju isti rođendan, a i očevi njihovih očeva imaju isti rođendan.

Prvi značajniji rad u matematici vjerojatnosti koristio se klasičnim pojmom i nalazimo ga u prepisci na tu temu između Blaisea Pascala i Pierra de Fermata, koja je započela 1654. Ona pokazuje kako se naizgled složeni problemi mogu svesti na jednostavne izračune s jednako vjerojatnim elementarnim događajima, ali i da nije uvijek jednostavno odrediti prostor takvih događaja.

Jedan od problema iz njihove prepiske je slavni problem bodova. Dva igrača igraju niz igara, na primjer bacaju kovanicu i prvi se kladi na glavu, a drugi na pismo. Tko pobijedi u pojedinoj rundi dobiva bod, a prvi koji dosegne određeni broj bodova pobjeđuje u igri i uzima uloge. Odigrali su određen broj rundi i igra je zbog nečega prekinuta. Što je pravedna podjela uloga ako se igra ne može nastaviti?

Problem bodova je zbunjivao  mnoge koji su se njime bavili prije Pascala i Fermata. Fra Luca Pacioli je 1494. razmatrao igru koja završava kada jedan igrač osvoji 6 bodova, ali je prekinuta kada je prvi igrač osvojio 5, a drugi 3 boda. Pacioli je smatrao da je pravedna podjela proporcionalna osvojenim bodovima. Dakle, 5 prema 3. Oko 50 godina kasnije Nicolo Tartaglia je prigovorio da, prema Paciolijevom pravilu, ako se igra prekine nakon 1 runde koju je dobio prvi igrač, on treba dobiti cijeli ulog, a to nema smisla. Tartaglia je pokušao modificirati Paciolijevo pravilo, ali je na kraju zaključio da definitivan odgovor nije moguć. Čini se da je problem  zbunjivao sve koji su o njemu razmišljali, do ključnog uvida koji je imao Fermat.

Pretpostavimo da nakon prekida jednom igraču do pobjede nedostaje r bodova, a drugome s. To znači da bi se igra odlučila u sljedećih r + s – 1 rundi.  Svi nizovi od r + s − 1 bacanja kovanica predstavljaju jednako vjerojatne elementarne događaje pa vjerojatnosti pobjede jednog i drugog igrača možemo izračunati kao klasične vjerojatnosti.

Za Paciolijev problem, u kojem za pobjedu treba 6 bodova, a nakon prekida prvi igrač ima 5 bodova, a drugi 3, igra bi se odlučila u sljedeće 3 runde. Od 8 jednako vjerojatnih nizova glava i pisama u te 3 runde:

GGG, GGP, GPG, PGG, GPP, PGP, PPG, PPP,

prvi igrač pobjeđuje u prvih sedam slučajeva , a drugi samo u zadnjem slučaju. Dakle, omjer vjerojatnosti njihovih pobjeda je 7:1 pa Fermat smatra da i pravedna podjela dobitka treba biti u istom omjeru. Dakle, on kao pravedni iznos implicitno koristi očekivanu vrijednost E, koja je vjerojatnostima ponderirani iznos mogućih dobitaka (koji su ulog U ili ništa):

E(prvi igrač) = 7/8 × U + 1/8 × 0          E(drugi igrač) = 1/8 × U + 7/8 × 0

Brojanjem jednako vjerojatnih slučajeva, riješili smo problem. Ali ako imamo veliki broj jednako vjerojatnih slučajeva račun postaje glomazan. Razmotrite Tartaglin primjer. Šest bodova je potrebno za pobjedu, a nakon prekida prvi igrač ima jedan, a drugi nijedan bod. Da bi igra završila trebalo bi odigrati još 10 rundi. Dakle, trebamo analizirati 2¹⁰ = 1024 jednako vjerojatnih nizova glava i pisama. Dosta posla da ih sve ispišemo i prebrojimo povoljne za prvog i drugog igrača. Pascal je smislio bolji način brojanja.

Za prebrojavanje slučajeva u kojima pobjeđuje prvi igrač, Pascal je zbrojio broj slučajeva u kojima prvi igrač ima 5 pobjeda u 10 pokušaja  + broj slučajeva u kojima ima 6 pobjeda u 10 pokušaja  + · · · + broj slučajeva u kojima ima 10 pobjeda u 10 pokušaja . Ovi brojevi se nalaze u 10. redu Pascalovog aritmetičkog trokut (ili Tartaglinog trokuta, ili trokuta Omara Hajjama, svi su oni znali za taj trokut):

i tako dalje

U N-tom red toga trokuta nalaze se brojevi načina na koje možemo iz grupe od N objekata odabrati njih 0, 1, 2, 3, … , N. Dakle, brojevi za Tartaglin problem nalaze se u 10. redu od 5. mjesta na dalje, tj. to su brojevi 252, 210, 120, 45, 10 i 1. Njihov je zbroj 638 pa je vjerojatnost pobjede prvog igrača 638/1024 (oko 63%). On treba dobiti 63% uloga, a drugi igrač 37%.

Pascal i njegovi prethodnici dokazali su da se trokut jednostavno konstruira (jer su sve vrijednosti „uokvirene 1-cama“ zbroj dvaju vrijednosti iznad njih), a nastavljači Pascala i Fermata  razvili su i mnoga druga kombinatorna načela koja omogućavaju jednostavna računanja vjerojatnosti prebrajanjem jednako vjerojatnih slučajeva.

No, problem s klasičnom vjerojatnošću je da vjerojatnost često želimo primijeniti i u situacijama u kojima ne možemo osmisliti slučajni pokus koji bi opisivao tu situaciju i koji bi imao odgovarajuće simetrije iz kojih bismo mogli zaključiti da su svi njegovi elementarni događaji jednako vjerojatni. Ta je simetrija najčešće prisutna u igrama na sreću i sličnim artificijelnim situacijama, a i tada može biti upitna.

Naime, njutnovski determinizam već je u 17.stoljeću doveo u pitanje pojam slučajnog pokusa. Razmislite o bacanju kovanice. Palac udara u kovanicu, ona leti, vrti se i konačno  pada na tlo. Isti slučajni pokus u istim uvjetima trebao bi rezultirati s jednim od dva jednako vjerojatna slučajna ishoda, glavom ili pismom. No, ako palac udari kovanicu na isto mjesto istom snagom, ona će letjeti na isti način i sletjeti na istu stranu. Bacanje novčića je deterministički, a ne slučajni pokus. Za zadanu početnu brzinu v i kutnu brzinu  ω ishod možemo izračunati i rezultat je sljedeći – početni uvjeti koji rezultiraju glavom su šrafirani, a oni koji rezultiraju pismom su bijeli.

Stroj koji izbacuje kovanicu s raznim brzinama v i  ω, tu činjenicu eksperimentalno dokazuje, a kovanica uvijek pada na istu stranu za fiksni v i  ω, usp. Diaconis i koautori 2007. Mnogi mađioničari i kockari, uključujući Diaconisa, također imaju tu „strojnu“ sposobnost, tj. mogu postići da kovanica sleti na koju god žele stranu.

Kako je onda bacanja kovanice postalo paradigmatskim primjerom slučajnog pokusa? Odgovor je pred više od sto godina dao Poincaré 1892. Ako je kovanica bačena snažno, s dovoljno velikom vertikalnom brzinom v i kutnom brzinom ω, osjetljivost na početne uvjete v i  ω bit će velika (tj. šrafirani i bijeli dijelovi gornjeg grafa, u tom području, postaju  nerazlučivi). Tada čak i vrlo mala promjena početnih uvjeta dovodi do promjene ishoda i zato jednaka vjerojatnost ishoda i nije tako loša pretpostavka. Uočite, međutim, da to objašnjenje vjerojatnost vidi kao rezultat našeg nepoznavanja početnih uvjeta bacanja kovanice, a ne kao neko objektivno svojstvo toga bacanja.

Minds, Machines and Gödel

Vrlo popularani argumenti za to da um nije stroj pozivaju se na Gödelove teoreme o nepotpunosti. Ovdje predstavljam neke od najpoznatijih takvih argumenata, kao i njihove najpoznatije kritike. Na kraju, nudim vlastitu rekonstrukciju ovih argumenata i pokazujem zašto ti argumenti nisu valjani. Tekst nisam prevodio jer pretpostavljam da oni koje on zanima dovoljno vladaju engleskim da ga razumiju.

1. Gödel’s theorems

The vast majority of those who use Gödel’s theorems of incompleteness to argue for mind-machine non-equivalence do not fully understand what Gödel’s theorems are claiming. So we will begin by presenting the theorems. Gödel’s first incompleteness theorem reads as follows.

If formal mathematical theory M includes an appropriate amount of arithmetic it contains an explicitly definable sentence G which asserts its own non-provability and is such that, if M is consistent then it is not ⊢ _M G and if M is omega-consistent then it is not ⊢ _M – G, where ⊢ _M is provability in M.

In what follows ⊢ is ⊢ _M , and M is a formal mathematical theory which includes an appropriate amount of arithmetic.

Gödel’s second incompleteness theorem reads as follows.

If formal theory M is consistent it cannot prove its consistency, Con (M), which is expressed by non-provability of contradiction *, -Pr (‘*’), because  Con (M) ↔ G. (About provability predicate Pr (x) see in the appendix.)

Concerning formal unprovability of G and -G, it can be proved that

⊢  -Pr (‘G’) ↔ Con (M)      and       ⊢  – Pr (‘-G’) ↔ Con (M + Con (M)).

Notice that Con (M + Con (M)) is stronger than Con (M) (by the second incompleteness theorem) and it is less strong then –consistency.

Ideas of the proofs of these results are given in the apendix. Let us now turn to “Gödelian dualist” arguments and their refutations.

2. Gödel

We will start with Gödel. In [GG] he admits the possibility that human mind is a machine unable to understand completely its own functioning. He even says it is conceivable that it would be known with empirical certainty:

1. That the brain suffices for the explanation of all mental phenomena and is a machine in the sense of Turing.

2. That such and such is the precise anatomical structure and physiological functioning of the part of the brain which performs mathematical thinking.

Hence, “Gödelian dualist” would have a hard time convincing Gödel himself.

3. Penrose, Boolos and Good

Penrose [PE] claims that we can see that G is true as follows. If G is provable in Peano arithmetic PA then it is false (because it asserts that it is not provable). But that is impossible “because our formal system should not be so badly constructed that it actually allows false propositions to be proved [in other words it should be correct]”. So, G is unprovable and therefore true.

Boolos [B] asks what about Gödel sentence G for ZFC.  It is also unprovable in ZFC and therefore true, if ZFC is correct.But we do not know that. “We could be in the same situation regarding ZFC that Frege was before receiving the letter from Russell”.

Anyway, the argument could be much simpler. If we know that M is correct and therefore consistent then ⊢ Con (M) ↔ G implies that we know that G is true. And that’s it.

Of course, M also “knows” that, because ⊢ Con (M) ↔ G. But, do we know that Con (M) is true? If we know this, we can always extend M to M + Con (M) and our knowledge of the truth of Con (M) is then successfully formalized. Of course, now the question is do we know that Con (M + Con) is true etc. The “Gödelian dualist”  must verify that the Con sentences of all these extensions are true. But [Go] successfully argued that no such proof is possible (since it would imply that the smallest non-constructible ordinal is constructible).

4. Lucas and Lewis

Lucas [L] bypasses this hierarchy of extensions. He defines an effective function Consuch that:

C1. Con (M) is true if and only if M is consistent,

C2. if M is correct then Con (M) is true,

C3. Con (M) is provable if and only if M is inconsistent.

Call C a consistency sentence for set of sentences S iff there is M such that S is the set of its provable sentences and C = Con(M). Then the following rule of inference is sound, by C2:

R. If C is a consistency sentence for S, infer C from S.

Lucas extended PA to LA, with the rule R. The theorems of LA are true because its theorems come from Peano axioms by truth-preserving rules of inference. Now, if LA is a formal theory,its consistency sentence C = Con(LA) would be its theorem, by R, and LA would be inconsistent, by C3. Hence, by C1, the falsehoods would follow from the Peano axioms themselves. Therefore, insofar as we trust the Peano axioms, we know that Lucas arithmetic is not the output of any formal theory.

So if Lucas can verify all the theorems of Lucas arithmetic then Lucas is no machine. But we are given no reason to believe that he can. As Lewis warned in [Le], in order to check whether Lucas’s rule R has been used correctly, a checking procedure would have to decide whether a given set S of sentences is the output of a formal theory and that, we know, is an undecidable problem. So we do not know how many theorems of LA Lucas can produce. He can certainly go beyond PA, but he can go beyond it and still be a machine, because limitations on his ability to verify theoremhood in LA may leave him unable to recognize a lot of theorems of LA.

5. McCall not understanding Godel’s theorem

McCall’s reasoning in [Mc] differs from the earlier “Gödelian dualist’s” arguments in his admission that the recognition of truth of Gfor a formal theory Mdepends essentially on the unproved assumption that the theory Munder consideration is consistent. But McCall notes that we have two different cases:

1. If M is consistent then G is not provable.
2. If M is consistent then – G is not provable.

He claims that both sentences are true. They are not!  Unprovability of -G depends on omega-consistency. He thinks the difference is that the formal version of 1. is a theorem, whereas the formal version of 2. “to the best of [his] knowledge” is not, i.e.

1.  Con (M) ⊢ – Pr (‘G’),     
2.  Con (M) ⊢ – Pr (‘-G’).

McCall thinks that 1. yields the true but unprovable sentence. But, we can recognize the truth of – Pr (‘-G’), if we assume not only the consistency of M, but the omega–consistency of M or the consistency of M + Con (M); which is less strong but suffices. Hence, for the comparison to be fair, it would have to involve a formal theory equipped with whatever assumptions we ourselves have employed in order to see the truth of 2. But we know that

⊢ Con (M + Con (M)) ↔ – Pr (‘-G’)

So, what we can prove, the machine can also prove.

6. My account

My own account of dualists’ argument is as follows. “Gödelian dualist”  argue that no machine M can be identical to a human mathematician H, in the following way. Let M_p be the set of arithmetical sentences provable by M and H_k is to be the set of arithmetical sentences knowable by H (the only property of the notion of knowledge we will need is that knowledge entails truth and that truth does not entail knowledge). Then M_p  H_k or M_p   H_k. In the second case M_p  H_k , hence M  H_. In the first case whatever is provable by M is knowable by H and that means that all sentences in M_p are true. Therefore H knows that M is a correct system. But then H knows that it is a consistent system, i.e. Con (M)  H_k. But Con (M)  M_p, by second Gödel’s theorem, hence M_p  H_k and therefore M  H. Hence, M  H in every case_.

But the above conclusion “Therefore H knows that M is a correct system.” is not justified. From the truth that every sentence provable by M is knowable by H it does not follow that H knows that (and therefore knows that M is correct), because truth does not entail knowledge. It is possible that M_p  H_k and that H does not know that. In some specific cases we may know just enough to conclude that M is a correct system. On the other hand, it remains possible that there may exist, and even be empirically discoverable (cf. Gödel above), mathematical machines which in fact are equivalent to our mathematical intuitions. For example, we could be such machines.

So, “Gödelian dualist” like [L], [PS] pp.189. and 641. or [PE] pp. 107.-108. confused the incorrect argument (1) with the correct argument (2).

(1) There is no machine which could capture all our mathematical intuitions.

(2) There is no machine which could capture all our mathematical intuitions and which we could understand well enough to know that it is consistent (i.e. that G is true).

We may conclude. As far as Gödel’s incompleteness theorem is concerned we could well be machines. But if we are then we are definitely not capable of the complete knowledge of the machines, i.e. of the complete knowledge of ourselves. It is very close to Gödel’s understanding of the problem.

7. Appendix

If formal mathematical theory M includes an appropriate amount of arithmetic it can refer to its expression F with its Gödel’s number ’F’. Furthermore, M can express a diagonal function d such that for any expression F, d(’F’) = ’F(’F’)’.

Gödel defined arithmetical predicate Prv(x, y) which represents “x is proved by y” (within M itself) and proved that:

1. If n is Gödel’s number of a provable formula then Prv (n, m) for some m
2. n is not Gödel’s number of a provable formula then  – Prv (n, m) for every m

Gödel then defined Pr (x), which represents “x is provable”, as Ey Prv (x, y). From 1) it easily follows (B1). From 2), with the help of ω-consistecy, it easily follows (B1′). It is also easy to prove (B2) and somewhat more difficult (B3).

(B1)           X  ⊢  Pr(‘X’),               

(B1’)          Pr(‘X’) ⊢ X    if M is ω-consistent

(B2)         ⊢ Pr(‘X → Y’) → (Pr(‘X’) → Pr(‘Y’)),

(B3)        ⊢  Pr(‘X’) → (Pr(‘Pr(‘X’)’).

Furthermore, Gödel realized that for any predicate P(x), substitution of ‘P(d(x))’ for x in P(d(x)) gives P(d(‘P(d(x))’)), or D for short. It immediately follows that D ↔ P(’D’). It follows that there is a sentence G such that

(DL)        ⊢  G ↔ -Pr(‘G’)

From (DL), (B1) and (B1’) we can deduce the first incompleteness theorem. Namely,

 G  →  Pr(‘G’) ↔   -G

 -G  ↔  Pr(‘G’)  →  G

Both implications contradict the consistency of M. Hence, not ⊢ G and not ⊢ -G. Note that we used (B1’), i.e. -consistency, to prove the unprovability of -G.

From (DL), (B1), (B2) and (B3) we can deduce the second incompleteness theorem:

⊢ G → (Pr(‘G’) → * )

⊢ Pr(‘G’) → (Pr(‘Pr(‘G’)’) → Pr(‘*’))

⊢ Pr(‘G’) → Pr(‘ ’)  

⊢ -Pr(‘*’) → -Pr(‘G’)                 i.e.                ⊢  Con(M) → G

⊢  * → G

⊢ Pr(‘*’) → Pr(‘G’)    

⊢ -Pr(‘G’) → -Pr(‘*’)                 i.e.                ⊢  G → Con(M)

Now, from  not ⊢ G and ⊢ Con (M) ↔ G it immediately follows that  not ⊢ Con (M).

So, by (DL) and  ⊢ Con (M) ↔ G, unprovability of G is provably equivalent to the consistency of M:

⊢ -Pr (‘G’) ↔ Con (M)

What do we know about the unprovability of – G, which is the other part of the first incompleteness theorem? From ⊢ -G ↔ Pr (*), by (B1) and (B2), we get

⊢ -Pr (‘-G’) ↔ – Pr (Pr (‘*’)).

But -Pr (Pr (‘*’)) expresses the consistency of M + Con (M). Namely, if Pr_{M+Con (M)} is the provability predicate of M + Con (M), then the consistency of M + Con (M) is expressed by -Pr_{M+Con (M)}  (‘*’). But,

– Pr (Pr (‘ ’)) ↔ – Pr_M  (-Con (M)) ↔  – Pr_{M+Con (M)}  (‘*’)

Hence

 ⊢ -Pr (‘-G’) ↔ Con (M + Con (M)).

References:

[B] Boolos G. On seeing the truth of the Gödel sentence, Behavioural and Brain Sciences 13, 655-656, 1990.

 [G] Gödel, K. Über formal unentscheidbäre Sätze I. Monatshefte für Mathematik und Physik, 38, 173-198, 1931.

[GG] Gödel, K. Gibbs Lecture, 1951, in Collected Works, Vol. 3: Unpublished Essays and Lectures, Editor-in-chief S. Feferman, Oxford University Press, 1995.

[Go] Good, I. J. Gödel’s theorem is a red herring, The British Journal for the Philosophy of Science 18, 359–73,1969.

[Le] Lewis, D. Lucas against mechanism II. Canadian Journal of Philosophy 9, 373–6.1989.

[L] Lucas, J.R. Minds, machines and Gödel. Philosophy, 36, 112-137, 1961.

[Mc] McCall, S. Can a Turing machine know that the Gödel sentence is true?, Journal of Philosophy 96, 525-532, 1999.

[PE] Penrose, R. The Emperor’s New Mind. Oxford University Press, 1999.

[PS] Penrose, R. Shadows of the Mind: A search for the missing science of consciousness, Oxford University Press, 1994.

O matematici i muzici sa Ščekićem kod Mišaka

Sljedeći tjedan gostujem kod Mišaka s temom “Kalendari”. Do tada podsjetnik na jednu staru temu.

Što je konsonantnost (u glazbi)

Predavanje s gornjim naslovom održano u Matematičkom institutu SANU možete vidjeti ovdje:

https://miteam.mi.sanu.ac.rs/asset/QsKfQSqgZmobWJEtC

Poziv na tribinu

Pozivamo Vas na tribinu ‘ENERGETSKA BUDUĆNOST HRVATSKE’ koja će se održati u četvrtak, 5. svibnja 2022. godine od 10 do 13 sati u organizaciji Hrvatskog pagvaškog društva, Akademije tehničkih znanosti Hrvatske i Svjetske akademije umjetnosti te znanosti pod pokroviteljstvom Ministarstva gospodarstva i održivog razvoj.

Moderatori: prof. dr. sc. Zvonimir Šikić, predsjednik Hrvatskog pagvaškog društva i Ana Jerković, Hrvatsko pagvaško društvo, Svjetska akademija umjetnosti i znanosti

10:00 – Uvodna riječ: akademik Ivo Šlaus, član Međunarodnog savjeta
Pugwash Conferences on Science and World Affairs, počasni predsjednik
Svjetske akademije umjetnosti i znanosti

10:00-10:30 dr. sc. Kristina Čelić, ravnateljica Uprave za energetiku,
Ministarstvo gospodarstva i održivog razvoja

10:30-11:00 prof. dr. sc. Neven Duić, Fakultet strojarstva i brodogradnje Zagreb,
Akademija tehničkih znanosti Hrvatske

11:00-11:30 prof. dr. sc. Davor Grgić, Fakultet elektrotehnike i računarstva
Zagreb, Akademija tehničkih znanosti Hrvatske

11:30-12:00 prof. dr. sc. Frano Barbir, Fakultet elektrotehnike, strojarstva i
brodogradnje Split, Akademija tehničkih znanosti Hrvatske,
Hrvatsko pagvaško društvo

12:00-13:00 Rasprava

Tribina se održava u hibridnom formatu, te dostavljamo link za praćenje putem YouTubea.

YouTube streaming:

Hrvatsko pagvaško društvo

Predavanje u kafiću teatra &TD

Matematika i slikarstvo

Caffe Teatar &TD, Zagreb, četvrtak 21. 4. 2022. u 18h

Zvonimir Šikić

Pokazati ću kako se linearna perspektiva od renesansne eksperimentalne a zatim i teorijske slikarske tehnike razvila u matematičku disciplinu. Sve će biti bogato ilustrirano radovima velikih slikara od antike preko renesanse sve do naših dana.

Zašto većina eksperimentalnih istraživanja u ‘soft’ znanostima nije istinita

Članak pod tim naslovom na:

https://ideje.hr/zasto-vecina-eksperimentalnih-istrazivanja-u-soft-znanostima-nije-istinita/

Priopćenje i apel Hrvatskog pagvaškog društva

HRVATSKO PAGVAŠKO DRUŠTVO
CROATIAN PUGWASH GROUP

PRIOPĆENJE ZA MEDIJE

Hrvatsko pagvaško društvo, ogranak Pugwash Conferences on Science and World Affairs, apelom se oglasilo za žurnu obustavu svih vojnih aktivnosti Ruske Federacije u Ukrajini i bezrezervni povratak diplomaciji u rješavanju sukoba koji je doveo do aktualnih ratnih zbivanja. Hrvatsko pagvaško društvo ovim putem poziva i na svijest o ostalim svjetskim ratnim zbivanjima i jednako tako poziva na poduzimanje aktivnosti za njihovo zaustavljanje, korištenje diplomatskih instrumenata za rješavanje prijepora, kao i saniranje ekonomskih i humanitarnih posljedica (Jemen, Palestina, Sirija, Afganistan, Sirija, Sudan, Nigerija, Irak itd.).

Ovim pak putem upozoravamo i na ozbiljne posljedice vođenja vojnih operacija u blizini nuklearnih elektrana i postrojenja. Nakon Kubanske krize i Zaljevskog rata, ovo je prvi put da se u ratnim zbivanjima sukob događa na prostoru u kojem se nalaze nuklearna postrojenja, ali i da se spominje pripravnost za upotrebu nuklearnog oružja. Kao što je javnosti poznato, nuklearno oružje sposobno je razoriti i ozbiljno onesposobiti čitave gradove i uništiti ogroman broj stanovnika, a razmjena upotrebe nuklearnog oružja između velikih sila dovela bi do trajnog uništenja čitavih regija, čak i država. Također, spomen hipersoničnih ili termobaričnih raketa dodatno pogoršava već postojeće tenzije između Rusije, Ukrajine, Europske unije, SAD-a i NATO-a, a cilj u ovom trenutku treba biti zaustavljanje svih postojećih ratnih operacija.

Svjesni smo da je globalnu utrku u naoružanju u ovom trenutku nemoguće zaustaviti jer je njom kroz povijest stvorena tzv. ravnoteža straha, koja je, koliko god se to činilo kontradiktornim, imala i efekt neposezanja za oružanim sukobima. Proizvodnja i prodaja oružja može se opravdati isključivo ako je vođena obrambenim i sigurnosnim namjerama. Međutim, razvijanje, posjedovanje i širenje nuklearnog oružja ne spada u ovu (obrambenu) kategoriju. Stoga je Pugwash pokret znanstvenika i javnih ličnosti od svog osnutka 1957. do danas bio predvodnik u nastojanjima da svijet bude mjesto bez nuklearnog oružja, zbog čega je i dobio Nobelovu nagradu za mir 1995. godine. Pokret Pugwash je u međuvremenu aktivno radio na podizanju svijesti o važnosti nuklearnog razoružanja, zagovaranju daljnjeg proširenja sporazuma o neširenju nuklearnog oružja (NPT – Treaty on the Non-Proliferation of Nuclear Weapons), zabrani nuklearnog oružja (TPNW), brojni pugwashites sudjelovali su u No First Use kampanji, a prošle godine objavljeno je Otvoreno pismo američkom predsjedniku Bidenu i ruskom predsjedniku Putinu prije njihovog summita 16. lipnja 2021. u Ženevi, potpisnici kojeg su i hrvatski članovi Pugwasha. U ovom pismu dvojica čelnika pozvani su da smanje napetosti između dviju zemalja i rizike nuklearne razmjene, posebice jer su se obvezali da njihove nacije neće upotrijebiti nuklearno oružje ni pod kojim okolnostima (još od vremena Reagana i Gorbačova).

Suočeni sa sadašnjom krizom, ovim putem želimo pružiti punu podršku djelovanju Međunarodne agencije za atomsku energiju (IAEA) koja je izišla sa prijedlogom od sedam točaka u cilju osiguranja stabilnosti funkcioniranja nuklearnih postrojenja (elektrana) te se ponudila da proaktivno osigura tehničku podršku za takvo rješenje. Mišljenja smo da bi se svjetska zajednica, suočena s ovakvom vrstom krize, trebala usuglasiti da u ratnom djelovanju sva nuklearna postrojenja dođu pod protektorat IAEA.

S druge pak strane, Republika Hrvatska kao manja zemlja u ovom trenutku ne može utjecati na ishod ovog vojnog sukoba više nego što može u okviru svog članstva u Europskoj uniji odnosno NATO savezu te se treba prioritetno angažirati u pomoći i zbrinjavanju izbjeglih osoba iz ratom pogođenog područja, nastojanjima u stabilizaciji i rješavanju prijepora u svom susjedstvu i regiji diplomatskim putevima i prijedlozima rješenja, zalaganju za prihvaćanje susjednih i zemalja iz regije kao kandidata za članstvo u Europskoj uniji, rješavanju postojećih unutarnjopolitičkih kriza, a po potrebi reagirati u skladu sa svojim članstvom u Europskoj uniji odnosno NATO savezu. Također, potrebno je u medijima plasirati objektivne i provjerene informacije, kontinuirano smirivati javnost i pozivati na racionalno ponašanje, ophođenje i komunikaciju, ali i odvraćanje naših sugrađana od aktivnog involviranja u ratna zbivanja.

HRVATSKO PAGVAŠKO DRUŠTVO
CROATIAN PUGWASH GROUP

APEL

ZA HITNI PREKID RATA U UKRAJINI

Mi, ovdje potpisani znanstvenici i stručnjaci, pozivamo na hitni prekid rata i vojnih intervencija u Ukrajini, povlačenje vojske s teritorija Ukrajine te povratak diplomatskim aktivnostima u rješavanju otvorenih pitanja između Ruske Federacije i Ukrajine. Pozivamo i međunarodnu zajednicu na još veće napore u uspostavi mira i sigurnosti za sve građane Europe, solidarnost i ujedinjenost u obrani međunarodnog poretka i demokratskih vrednota suvremenog svijeta. Znanstvenicima cijelog svijeta misija je stvoriti svijet bez rata, društvo koje se razvija i surađuje, svjetsko građanstvo i kozmopolitsku svijest. Mir je jedini i apsolutni prioritet, a dijalog sredstvo njegovog postizanja. Stoga izražavamo izrazitu zabrinutost za stanje u Ukrajini, ali i Europi i svijetu, posebno zbog najava stavljanja u pripravnost nuklearnog oružja. Pozivamo na hitnu obustavu svih vojnih aktivnosti i rješavanje ove krize diplomatskim putem, kao i na pomoć Ukrajini u ekonomskom i humanitarnom smislu.

1. Frano Barbir
2. Neven Bilić
3. Neven Duić
4. Branko Guberina
5. Ivan Gušić
6. Ana Jerković
7. Asim Kurjak
8. Budimir Lončar
9. Mirjana Matešić
10. Dunja Mazzocco Drvar
11. Petar Pervan
12. Vladimir Pezo
13. Krunoslav Pisk
14. Marko Rakar
15. Natalija Ryznar
16. Vlatko Silobrčić
17. Zvonimir Šikić
18. Ivo Šlaus

Nadograditi ili razoriti – rosacid u Domagojevoj

Nakon Titove smrti 1981. u Domagojevoj ulici osvanuo je ružičnjak u obliku pokojnikovog imena

T I T O

Žute ruže cvale su i mirisale svakog proljeća, između dva nebodera i dva dječja igrališta. Sa samoga tla TITO nije bio naročito vidljiv, ali jest s viših katova okolnih kuća. Tako je „Tito živio i poslije Tita“ u žutom ružičnjaku u Domagojevoj, do 90-tih. Omrznuti tlačitelj hrvatskoga naroda tada je eliminiran iskapanjem poprečnih linija na slovima T pa je ružičnjak dobio domoljubni i državotvorni oblik

I I I O

No, biologija ne haje ni za domoljublje ni za državotvornost pa su se u slijedećih desetak godina poprečne linije donekle oporavile.

Photo: Goran Stanzl/PIXSELL

Večernjak i drugi mediji pisali su o oporavljenom ružičnjaku 2018. (vjerojatno ni ne znajući da se tek nedavno iz forme I I I O vratio u formu T I T O)  jer je postao trn u oku bivših političkih zatvorenika u Titovoj Jugoslaviji.

“Sama činjenica da se u Gradu Zagrebu, u kojem je odlukom Gradske skupštine uklonjeno ime diktatora Tita sa jednog važnog trga, još uvijek nalazi cvjetnjak s njegovim imenom, negacija je odluke Grada Zagreba o uklanjanju tog imena,” stajalo je u pismu Jugoslavenskih Političkih Zatvorenika tadašnjem gradonačelniku Milanu Bandiću.

Prvo potpisani bio je današnji predsjednik Hrvatskog Helsinškog odbora, Ivan Zvonimir Čičak koji je u Titovoj Jugoslaviji odslužio tri godine zatvora, a potpisnici su tražili da Zrinjevac makne cvjetnjak ili će ga maknuti oni.

No, od svega naposljetku nije bilo ništa i ružičnjak je preživio napad JPZ-a.

(Ružičnjak se nalazi desetak metara od prostorija HHO-a i Čičak je kraj njega prolazio godinama ne uočivši ga; već sam rekao da s tla baš i nije vidljiv. Ja sam Čičku, nekako u to vrijeme, rekao da ću mu ukazati na jednu zanimljivost ako mi obeća da od toga neće praviti skandal. Nevoljko je obećao i tada sam ga upoznao s T I T O- om. Vjerojatno je to potaknulo akciju JPZ-a.)

No, ovih dana je Titov ružičnjak opet osvanuo na portalima i bilo je samo pitanje vremena kada će biti uništen pravednom rukom osvetnika. Dovoljan je bio jedan dan.

Foto: Zagreb.info

Ne znam hoće li biološki oporavak biti spriječen ovim preoravanjem, ali ono me potiče na neka općenitija razmišljanja o raskidu s prošlošću.

Raskinuti s prošlošću možete tako da na staro nadogradite ono što smatrate da će sadašnjost učiniti boljom, ili da staro naprosto razorite. Ovo drugo je mnogo lakše i u Hrvatskoj smo, nažalost, prečesto svjedoci ovog lakšeg puta.

Geofizika i mnoge druge svjetski uspješne firme uništene su umjesto da su razvijane u smjeru koji je smatran boljim u novim vremenima (Geofizika je uništena radi par njenih nekretnina u Zagrebu, čija je vrijednost bila zanemariva prema knowhow-u koji je imala ta firma).

Eklatantna potvrda hrvatskog razaračkog puta je izjava Janka Vranyczany-Dobrinovića, prvog ministar turizma u Republici Hrvatskoj, prilikom posjete Haludovu 1991. „da ćemo sve to srušiti; sve te socijalističke mastodonte“ (v. 10-12 minutu na videu o betonskim spavačima https://www.youtube.com/watch?v=tALx6BbZPB4).

To isto vidimo i na malom primjeru Titovog ružičnjaka. Umjesto da ružičnjak nadopune do nekog oblika u kojem neće biti Tita, hrvatskim muževima koji žele raskrstiti s Titom, mnogo je bliskije razaranje ružičnjaka. Kao i njihovom ministru pl. Dobrinoviću koji se, za razliku od njih, u Hrvatskoj zadržao svega par godina.

(Zanimljivo, da smo ranih 90-tih s pretvaranjem oblika T I T O u oblik I I I O bili manje skloni razaranju pri raskidu s prošlošću.)

Jesmo li lakovjerni?

Uz knjigu „Not born yesterday“ Hugoa Merciera

Jesu li ljudi lakovjerni? Je li nam u prirodi da ne tragamo za istinom, nego bez propitivanja poštujemo autoritete i prihvaćamo većinsko mišljenje? Iako uz lakovjernost lakše učimo, cijena bi ipak bila previsoka. Da bi komunikacija evoluirala, i pošiljatelj i primatelj moraju od nje imati koristi. Kad bi primatelji bili pretjerano lakovjerni, bili bi od pošiljatelja iskorištavani dok ne bi prestali obraćati pažnju na to što im poručuju. Zato nismo toliko lakovjerni koliko se često tvrdi.

Razmislite koliko faktora bez napora odvagnete pri vrednovanju čak i najbanalnije komunikacije. Ako vam kolega kaže da biste se trebali prebaciti drugom tele-operateru jer je sigurniji, vaša će reakcija ovisiti o onome što već znate o novom operateru (jeste li možda čuli da ima teškoća s povezivanjem?), koliko mislite da je vaš trenutni operater nesiguran (je li njegova nesigurnost doista problem?), koja je razina kompetencije vašeg kolege  u ovoj domeni (je li on uopće kompetentan?), koji su njegovi motivi (dobiva li neke povlastice ako vas prebaci novom operateru?) itd. Taj se slijed procjena uključuje, svjesno ili nesvjesno, kad god nešto čujete ili pročitate.

Obdareni smo kognitivnim sposobnostima kojima procjenjujemo ono što čujemo ili čitamo. One nam dopuštaju da budemo dovoljno otvoreni da čujemo informacije koje nam mogu koristiti, ali i da budemo dovoljno oprezni i odbijemo većinu onih koje bi nam mogle štetiti. Kako ta sposobnost (Mercier je zove „sposobnost otvorenosti i opreza“) postaje složenijom, sve se više prepuštamo utjecaju drugih, napuštamo ograničene moduse komunikacije naših predaka i uranjamo u splet sve složenijih ideja.

Kako stvari stoje s masovnim uvjeravanjima? U interakciji s ljudima imamo vremena za poticanje dobre volje, prepoznavanje stručnosti i razmjenu argumenata. Toga nema u kontekstu masovnog uvjeravanja. Kako, na primjer, država može izgraditi povjerenje – kako političari mogu dokazati svoju kompetenciju onima koji politiku prate tek ovlaš? Kako reklamna kampanja može nekoga uvjeriti da kupi reklamirani proizvod?

Izuzetno teško. Velika većina masovnih uvjeravanja, od propagandnih i političkih kampanja do vjerskog prozelitizma završava neuspjehom. Tako skromne uspjehe masovnog uvjeravanja također možemo objasniti funkcioniranjem našeg mehanizma otvorenosti i opreza koji čak i najuspješnije napore čini nedostatnima. Zato učinkovitost masovnih uvjeravanja u velikoj mjeri ovisi o tome da participiraju na već  postojećem konsenzusu, tj. da samo potvrđuju postojeće vrijednosti i učvršćuju postojeće predrasude. U nekim situacijama, kada se bar donekle izgradilo povjerenje, masovno uvjeravanje može promijeniti naše mišljenje, ali samo o pitanjima od male osobne važnosti – kao kad ljudi slijede političke vođe u temama koje ih zapravo malo zanimaju i o kojima još manje znaju. Masovna uvjeravanja, čak kada ih ljudi prihvate, bitno ne utječu na njihove postojeće planove ili uvjerenja.

Uspjeh masovnog uvjeravanja najčešće je mit, ali širenje empirijski upitnih uvjerenja nije. Svi su u nekom trenutku širili zablude – glasine o političarima, preuveličanu opasnost od cijepljenja, razne teorije zavjere i sl. No, uspjeh ovih zabluda nije nužno simptom lakovjernosti. Širenje većine zabluda lako je objasniti njihovim intuitivno privlačnim sadržajem, a ne lakovjernošću onih koji ih šire: političari često jesu pokvaren soj, metoda koja „zarazom“ suzbija zarazu nije ogledni primjer evidentnog postupka, naš strah  od moćnih neprijateljskih koalicija katkada je opravdan. Čak i ravno-zemljaci slijede svoju intuiciju kada gledajući oko sebe ne vide nikakvu zakrivljenost.

Iako mnoge zablude imaju ovu intuitivnu dimenziju, većina ostaje odsječena od ostalih naših spoznaja. To su vjerovanja koja se reflektiraju unutar uskog kruga sličnih ideja i nemaju gotovo nikakav utjecaj na naše druge ideje, niti bitno utječu na naše postupke. Zato ih Mercier zove refleksivnima. Bloger koji tvrdi da je CIA srušila Svjetski trgovački centar, drži je toliko moćnom da je uspjela ušutkati sve uključene u taj zločin, ali ga ne čudi kako njega ne uspijeva ušutkati. Većina onih koji optužuju Hillary Clinton za organiziranje lanca pedofilije ni na koji način ne pokušavaju osujetiti to zlo. Čak i oni za koje je zemlja ravna, u to vjeruju tek refleksivno. Ako ne idu na put oko svijeta ili ne izvode neke astronomske izračune, njihove ideje o obliku Zemlje nemaju ni praktičnih ni kognitivnih posljedica.

Čak i kada je vjerovanje usko povezano s djelovanjem (npr. glasine o zločinima lokalne manjine koje jesu povezane s napadima na tu manjinu, lažne medicinske teorije koje jesu povezane sa štetnim liječničkim praksama ili apsurdna vjerovanja u vladareve moći koja mogu biti povezana s potpunom poslušnosti) djelovanje češće utječe na uvjerenje nego uvjerenje na djelovanje (ljudi koji žele počiniti zločin, ili su ga već počinili, traže njegovo moralno opravdanje, liječnici vole svoje ustaljene prakse poduprijeti odgovarajućim teorijama, ako su politički uvjeti takvi da je svrstavanje među vladareve poslušnike ključna strategija preživljavanja, ona će se vjerodostojno izraziti apsurdnim i odvratnim laskanjima koja se protive zdravom razumu i u koja ne vjeruju ni laskavac ni vladar, no nije to bitno).

Trošak popularnih zabluda mali je za one koji ih se drže, a katkada čak mogu poslužiti njihovim ciljevima. Znači li to da nije vrijedno opovrgavati lažna uvjerenja koja se uspješno šire unatoč našim mehanizmima otvorenosti i opreza? Ne, jer to da u pravilu imaju male ili nikakve troškove za one koji ih se drže ne znači da ne mogu biti ogroman problem za druge. Razumijevanje ekonomije cijelog monetarnog područja kao ekonomije jednog kućanstva intuitivna je i lako prihvatljiva zabluda koja promovira mjere štednje kao razumnu politiku u doba recesije. To ne šteti bogatima, čak im i koristi, ali jako šteti siromašnima. Kada Mao, inspiriran Lysenkom, povjeruje da biljke poput ljudi „najbolje rastu, kad rastu u bliskoj zajednici“ pa naredi sijanje sjemena mnogo bliže nego što je kineski seljak sijao tisućljećima, posljedice su strašne za stanovništvo koje će završiti u gladi.

Što se tiče demokratskih društava, ako političari najčešće donose javnosti nezanimljive odluke, dobivaju li oni carte blanche za proizvoljne politike stvaranjem potpore javnosti na efemernim temama koje nemaju veze s tim politikama?  Ipak ne, jer za većinu pitanja postoji dio biračkog tijela koji ima znanje i motivaciju za informirano mišljenje. Ti ljudi ne slijede slijepo svoje stranke i oni su signal u buci javnog mnijenja koji uvelike usmjerava njegovo kretanje. Zato nedostatak truda drugih građana nije poguban, ali ipak otvara neke neželjene mogućnosti. Kad bi više birača reagiralo kao informirana manjina, promjene u javnom mnijenju bile bi efikasnije i imale bi veći utjecaj na politiku. Ali masovno uvjeravanje je teško, i u dobru i u zlu. Dobiti ljude koji vrlo malo znaju i brinu o politici da napuste komotnu strategiju slijeđenja svojih stranaka nije lako.

Da zaključim, utjecati na ljude nije prelako, nego preteško. Većina zabluda perzistira jer ljudi odbijaju vjerovati onima koji znaju bolje. Uzmimo antivaksere. Ako krenemo od intuitivno razumljive reakcije protiv cijepljenje, problem s antivakserima je da nisu dovoljno otvoreni. Farmaceutske tvrtke se bave raznim praksama koje daju razloge za to nepovjerenje (od neprijavljivanja neuspješnih kliničkih ispitivanja do „kupnje“ liječnika) i promjena tih praksi pomogla bi ublažiti dio nepovjerenja, ali ljudi koji imaju pristup relevantnim medicinskim informacijama, a ipak odbijaju cijepljenje, neopravdano ne ukazuju povjerenje medicinskim profesionalcima i znanstvenom konsenzusu.

Nažalost, gotovo sve znanstvene teorije duboko su neintuitivne. Ipak, znanost je prožela sve slojeva društva, bez obzira što tek mali broj ljudi uopće zna nekog znanstvenika, a još manje ih istinski razumije argumente koji podupiru teoriju relativnosti ili evoluciju prirodnom selekcijom. Široka rasprostranjenost znanstvenih ideja, unatoč njihovoj intuitivnoj neuvjerljivosti, na svu je sreću uglavnom poduprta je čvrstim temeljima povjerenja na kojem počiva odnos znanosti i šire zajednice. No, ovi temelji nisu zajamčeni i moramo ih stalno štititi i ojačavati. Znanost, mediji i druge institucije koje šire istinite, ali često neintuitivne poruke, suočavaju se s teškom bitkom, jer moraju prenijeti ove poruke i sačuvati njihovu vjerodostojnost uzduž dugih i fragilnih lanaca izgradnje povjerenja.