Koristeći se jednom probabilističkom igrom, u prethodnom sam postu pokušao ukazati na to da je naša sposobnost predviđanja budućih događaja, na temelju poznavanja prethodnih događaja, katkada čista iluzija. Naravno, takva su predviđanja često moguća, no ima slučajeva kada nisu iako nam se čini evidentnim da jesu. Takav je slučaj predviđanje rasta neke dionice korištenjem samo tehničke analize ili uspješnost pogađanja veća od 50% u spomenutoj probabilističkoj igri.

Podsjetimo se igre. U bubnju je 100 bijelih i 100 crnih kuglica. Svakih pet minuta jedna kuglica biva izbačena iz bubnja (slučajnim odabirom, kao na lotu poslije dnevnika). Vi imate potpuni pregled nad nizom izbačenih kuglica. Dakle, u svakom trenutku znate koliko je u bubnju preostalo bijelih a koliko crnih kuglica. Kada mislite da će sljedeća izbačena kuglica vjerojatnije biti bijela vi zaustavljate igru i bubanj tada izbacuje još samo jednu kuglicu. Ako je ona bijela dobili ste, a ako nije izgubili ste. Zaustaviti igru možete u bilo kojem trenutku (čak i prije prvog izbacivanja), ali je u nekom trenutku morate zaustaviti (dakle, najkasnije prije izbacivanja posljednje kuglice iz bubnja).

Kao evidentno uspješna strategija, mnogima na pamet odmah pada sljedeća strategija: zaustavite igru čim bubanj izbaci više crnih nego bijelih kuglica. Već sam upozorio da je problem s tom strategijom što bubanj možda nikada neće izbaciti više crnih nego bijelih kuglica.

Uostalom, iskušajmo tu strategiju na jednostavnijem slučaju 2 bijele i 2 crne kuglice (umjesto 100 bijelih i 100 crnih kuglica). Tada možemo lako popisati sve moguće redoslijede kojima bubanj izbacuje te četiri kuglice. Ima ih točno šest:

BBCC    BCBC    BCCB    CBBC    CBCB    CCBB

Uspješnost naše strategije svodi se na sljedeće pitanje: u koliko je od tih šest slučajeva naša strategija uspješna, a u koliko nije? U prvom slučaju očito nije, jer bubanj nikada ne izbaci više crnih nego bijelih kuglica (nizovi izbacivanja su B, BB i BBC), pa ćemo igru zaustaviti tek prije posljednje kuglice koja je C i izgubiti. Analiziramo li svaki od šest redoslijeda na taj način doći ćemo do sljedećih rezultata:

BBCC    zaustavljamo prije drugog C tj. strategija je neuspješna

BCBC    zaustavljamo prije drugog C tj. strategija je neuspješna

BCCB    zaustavljamo prije drugog B tj. strategija je uspješna

CBBC    zaustavljamo prije prvog B tj. strategija je uspješna

CBCB    zaustavljamo prije drugog B tj. strategija je uspješna

CCBB    zaustavljamo prije drugog C tj. strategija je neuspješna

Dakle, strategija je u 3 slučaja uspješna a u 3 neuspješna, tj. šanse za uspjeh su nam 50%.

Slična se analiza može provesti za bilo koji broj crnih i bijelih kuglica (npr. za 100 bijelih i 100 crnih kuglica, ali teško ćemo to izvesti bez računala) i rezultat će biti isti. Strategija će za 50% redoslijeda biti uspješna, a za 50% neuspješna, tj. šanse su nam 50%.

Većinu ljudi ova analiza uvjeri da strategija „zaustavi čim je izbačeno više crnih nego bijelih kuglica“ nema šanse veće od 50%. No, mnogi i dalje vjeruju da postoji neka pametnija strategija sa šansama većim od 50%.

Njih će možda uvjeriti (a možda i neće) sljedeći argument. Zamislite da igru umjesto s kuglicama igrate s kartama. Ja sam ih dobro promiješao i sada vam s vrha špila okrećem (dakle pokazujem) jednu po jednu kartu. Vi vidite sve karte koje sam okrenuo i kada mislite da je vjerojatnost sljedeće crvene karte veća od 50% zaustavljate me. Ja tada okrenem još jednu kartu i ako je ona crvena dobili ste, a ako je ona crna izgubili ste. (Umjesto 100 bijelih i 100 crnih kuglica, sada imamo 26 crvenih i 26 crnih karata; no mogu igrati i sa četiri špila bez pik i herc asova, pa ću imati točno 100 crvenih i 100 crnih karata.)

Što će se promijeniliti ako nakon vašeg zaustavljanja igre ja ne okrenem „sljedeću kartu“ nego „posljednju kartu“ ? Ništa! Kakva je god vaša strategija, u trenutku u kojem je primijenite i zaustavite igru, sve preostale neokrenute karte imaju jednaku vjerojatnost da budu crvene. Dakle, jednaku vjerojatnost da budu crvene imaju i „sljedeća karta“ i „posljednja karta“. No, koja je karta posljednja odlučeno je (miješanjem špila) već na početku igre i vjerojatnost da je ona crvena iznosi 50%.

Ako vas ni to nije uvjerilo, mogu samo ponoviti da postoji i strogi matematički dokaz da je vjerojatnost da sljedeća kuglica bude bijela uvijek 50%.

(Za one koji znaju nešto vjerojatnosti evo izračuna vjerojatnosti da je druga kuglica bijela:

pr(2. bijela) = pr(2. bijela/1. bijela) x pr(1. bijela) + pr(2. bijela/1. crna) x pr(1. crna)

= (99/199) x (1/2) + (100/199) x (1/2) = (199/199) x (1/2) = 1/2,

a tako induktivno možemo nastaviti i za sve daljnje kuglice. Rezultat će uvijek biti1/2.)

Dakle, iako smo sigurni da možemo bolje od 50%, zapravo ne možemo.

Možda je ovdje zanimljivo upozoriti da ima i slučajeva u kojima smo sigurni da ne možemo bolje od 50% a zapravo možemo. Evo i takvog primjera:

Ja odabirem dva broja između 0 i 1 (npr. 0.72 i 0.135) i papiriće na koje sam ih zapisao stavljam u lijevu i desnu ruku. Vi birate jednu ruku i ja vam pokažem broj koji je u toj ruci. Vi tada morate pogoditi je li taj broj veći ili manji od mojeg drugog broja.

Možete li u tom pogađanju biti uspješniji od 50%? Većina je uvjerena da ne može. No, matematički je dokazivo da ovaj put možete biti uspješniji od 50%. Razmislite o tome do sljedećeg petka.

Odgovori

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava / Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava / Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava / Izmijeni )

Google+ photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google+ račun. Odjava / Izmijeni )

Spajanje na %s