Zamislite neki troznamenkasti broj, obrnite ga, oduzmite manji od većeg, opet obrnite i zbrojite. Koji ste broj konačno dobili? Dobili ste broj 1089! Na primjer:
| Zamisli broj: | 782 | |
| Obrni ga: | – 287 | |
| Oduzmi: | 495 | |
| Opet obrni: | + 594 | |
| Zbroji: | 1 089 |
Evo još dva primjera:
| Zamisli broj: | 614 | |
| Obrni ga: | – 416 | |
| Oduzmi : | 198 | |
| Opet obrni: | + 891 | |
| Zbroji: | 1 089 |
| Zamisli broj: | – 467 | |
| Obrni ga: | 764 | |
| Oduzmi (manji od većeg): | 297 | |
| Opet obrni: | + 792 | |
| Zbroji: | 1 089 |
Uvijek se dobije 1089. Jedini je problem ako zamislite broj koji počinje i završava istom znamenkom. Na primjer:
| Zamisli broj: | 242 | |
| Obrni ga: | – 242 | |
| Oduzmi: | 000 | |
| Opet obrni: | + 000 | |
| Zbroji: | 000 |
Vidjeli smo samo tri primjera koji vode k broju 1089, a tvrdimo da svi primjeri (osim onih s istom početnom i završnom znamenkom) vode k broju 1089. Zašto smo u to uvjereni?
Zato što to možemo i dokazati. Pokušajte sami do sljedećeg petka.
Oglasi
Nisam ekspert za matematička dokazivanja, ali logikom se ovdje prilično lako može doći do objašnjenja. Ne znam da li je moja laička verbalna analiza barem donekle korektna.
Dvije su stvari na prvi pogled jasne: dva zrcalna troznamenkasta broja UVIJEK imaju identičnu srednju znamenku, i drugo, veći broj MORA imati manju desnu (zadnju) znamenku nego što je ima manji broj. Pošto uvijek oduzimamo od većeg broja manji broj, iz dvije gornje činjenice izravno slijedi da srednja znamenka razlike ta dva zrcalna broja UVIJEK MORA biti 9! To je UVJET 1.
Presudna stvar za rješavanje ‘Tajne’ je da uočimo još jedan detalj koji nije toliko samorazumljiv na prvu loptu, ali se da primijetiti iz navedenih primjera (i bilo kojih drugih), a to je da zbroj lijeve i desne znamenke razlike također UVIJEK MORA biti jednak 9! To je UVJET 2. Kada smo to skontali lako je ispisati sva moguća rješenja oduzimanja, sa devetkom u sredini, to su: 099, 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792, 891. Jedini broj koji zadovoljava oba uvjeta, a ne može se pojaviti kao rezultat oduzimanja je broj 990 jer zadnja znamenka ne može biti nula, što je posljedica činjenice da zrcalni brojevi koje oduzimamo nužno imaju različite desne (zadnje) znamenke (barem za naš zadatak, jer inače pravilo ne vrijedi).
Sada je sve lako: kada bilo koji od 9 gore navedenih troznamenkastih brojeva (koje smo dobili oduzimanjem 2 troznamenkasta zrcalna broja) zbrojimo sa vlastitim zrcalnim brojem (npr. 297+792) MORAMO dobiti magični broj1089! Zbroj lijevih znamenki je uvijek 9, zbroj desnih znamenki je također uvijek 9, ali zbroj srednjih znamenki je uvijek 18 (9+9), pišem 8 i pamtim 1, pa je zbroj lijevih znamenki u konačnici 10, i tako uvijek dobijemo broj 1089.
***Nije teško objasniti zašto MORA vrijediti UVJET 2, da zbroj lijeve i desne znamenke razlike zrcalnih brojeva mora biti jednak 9. Recimo da od troznamenkastog broja ABC oduzimamo njegov manji zrcalni broj CBA i dobijemo troznamenkasti broj E9D. Dakle, E i D su lijeva i desna znamenka razlike, a srednja znamenka razlike uvijek je 9. Znamenka C manja je od znamenke A pa za oduzimanje vrijedi (C+10)-A=D, i A-C=E, i uvijek MORA biti E+D=10. Ali pošto je srednja znamenka obaju brojeva ista (znamenka B), kod oduzimanja B od B pišem 9, pamtim 1, pa smanjujemo znamenku E za 1 te dobivamo da uvijek vrijedi E+D=9.
Nadam se da sve ovo ima nekakvog smisla:)
sve je ok osim da u trećem retku odzada piše “uvijek MORA biti E+D=10” a u redu ispod njega “E+D=9”
to zbunjuje (iako je jasno što ste mislili)
bolje je:
” Recimo da od troznamenkastog broja ABC oduzimamo njegov manji zrcalni broj CBA i dobijemo troznamenkasti broj E9D. Dakle, E i D su lijeva i desna znamenka razlike, a srednja znamenka razlike uvijek je 9. Znamenka C manja je od znamenke A pa za oduzimanje vrijedi (C+10)-A=D, i A-(C+1)=E i uvijek MORA biti E+D=9″.
s ovim dodatkom bih, ako se slažete, u sljedećem postu objavio i vaše rješenje
moje je u biti isto, samo s manje riječi i više “slika” 🙂
Oh, bit će mi čast! I ja sam skloniji dokazima sa što manje riječi, matika se uvijek tako izriče. Vaša primjedba je na mjestu, iskomplicirao sam malo na kraju…
Možda još spomenuti činjenicu da ima čak 810 troznamenkastih brojeva koji imaju različite prvu i zadnju znamenku, a eto samo 9 rješenja oduzimanja tih troznamenkastih zrcalnih brojeva.
211 – 112 = 99 –> 99 + 99 = 198
312 – 213 = 99 –> 99 + 99 = 198
352 – 253 = 99 –> 99 + 99 = 198
796 – 697 = 99 –> 99 + 99 = 198
i tako dalje. Rješenje je jedino u obavezne tri znamenke ispisa, dakle “099” umjesto “99”. Naprimjer: 796 – 697 = 099 –> 099 + 990 = 1089
točno, uvijek troznamenkasti tj, 99 je 099, 🙂
Mislim da ste zaboravili jedan uvjet. 😉
473 je troznamenkast. Obrnem, 374. Oduzmem, 99. Obrnem, 99. Zbrojim, 198. A ne 1089. ;-]
brojevi su uvijek troznamenkasti tj, 99 je 099, 🙂